2025届高考数学一轮复习教师用书第五章第二节三角函数的同角关系、诱导公式讲义（Word附解析）

第二节　三角函数的同角关系、诱导公式【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:__sin2α+cos2α=1__. (2)商数关系:sinαcosα=tan α(α≠π2+kπ,k∈Z).2.三角函数的诱导公式(k∈Z)【微点拨】诱导公式的记忆口诀:“奇变偶不变,符号看象限.”其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列说法错误的有(　　)A.使sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角B.若α∈R,则sin(π2-α)=sinαC.若α∈R,则sin2α+cos2α=1D.若α∈R,则tan α=sinαcosα恒成立【解析】选ABD.因为α∈R,sin(π+α)=-sin α成立,所以选项A错误;因为α∈R,sin(π2-α)=cos α,所以选项B错误;由同角三角函数间的关系可知,选项C正确;因为tan α=sinαcosα在α≠π2+kπ(k∈Z)时成立,所以选项D错误.2.(必修第一册P183例6变题型)已知α是第四象限角,且sin α=-12,则cos α=32. 【解析】已知α是第四象限角,且sin α=-12,所以cos α=1-sin2α=32.3.(必修第一册P186T15变结论)已知tan α=-2,则2sinα+cosαcosα-sinα=(　　)A.-4 B.-12 C.-1 D.-13【解析】选C.2sinα+cosαcosα-sinα=2tanα+11-tanα=-4+11-(-2)=-1.4.(记错公式)下列等式恒成立的是(　　)A.cos(-α)=-cosαB.sin(360°-α)=sin αC.tan(2π-α)=tan(π+α)D.cos(π+α)=cos(π-α)【解析】选D.因为cos(-α)=cos α;sin(360°-α)=-sin α;tan(2π-α)=-tan α,tan(π+α)=tan α;cos(π+α)=-cos α,cos(π-α)=-cos α.【巧记结论·速算】sin2α=1-cos2α=(1+cos α)(1-cos α);cos2α=1-sin2α=(1+sin α)(1-sin α);(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.【即时练】若sin α+cos α=22,则sin αcos α等于(　　)A.-12 B.-14 C.22 D.2【解析】选B.因为sin α+cos α=22,所以(sin α+cos α)2=12,即sin2α+cos2α+2sin αcos α=12,即1+2sin αcos α=12,所以sin αcos α=-14.【核心考点·分类突破】考点一　同角三角函数间的关系[例1](1)已知sin α+cos α=-713,α∈(π2,π),则sin α-cos α=(　　)A.1213 B.-1213 C.1713 D.-1713【解析】选C.因为sin α+cos α=-713,所以(sin α+cos α)2=(-713)2,即sin2α+cos2α+2sin αcos α=(-713)2,2sin αcos α=-120169,所以sin2α+cos2α-2sin αcos α=289169,即(sin α-cos α)2=289169,因为α∈(π2,π),所以sin α-cos α>0,sin α-cos α=1713.(2)已知sin θ+cos θ=15,θ∈(π2,π),则tan θ=-43. 【解析】因为θ∈(π2,π),且sin θ+cos θ=15>0,平方可得sin θcos θ=-1225,且sin θ>0,cos θ