2025届高考数学一轮复习教师用书第五章第三节第1课时两角和与差的三角函数讲义（Word附解析）

第三节　三角恒等变换第1课时　两角和与差的三角函数【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α-β):cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β; (2)公式C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β; (3)公式S(α-β):sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β; (4)公式S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β; (5)公式T(α-β):tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ;(6)公式T(α+β):tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ.2.辅助角公式asin α+bcos α=a2+b2sin(α+φ),其中sin φ=ba2+b2,cos φ=aa2+b2.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的有(　　)A.存在α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin βB.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角C.两角和与差的正切公式中的角α,β是任意角D.公式asin x+bcos x=a2+b2sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关【解析】选AB.当α=β=0时,sin(α+β)=sin α+sin β,所以选项A正确;由两角和与差的正弦、余弦、正切公式成立的条件可知,选项B正确,选项C错误;由辅助角公式可知,asin x+bcos x=a2+b2sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值有关,所以选项D错误.2.(必修第一册P219例4改条件)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°等于(　　)A.-32 B.32 C.-12 D.12【解析】选D.原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=12.3.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sinβ,则(　　)A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1【解析】选C.方法一:因为sin(α+β)+cos(α+β)=22cos(α+π4)sin β,所以2sin(α+β+π4)=22cos(α+π4)sin β,即sin(α+β+π4)=2cos(α+π4)sin β,所以sin(α+π4)cos β+sin βcos(α+π4)=2cos(α+π4)sin β,所以sinvα+π4)cos β-sin βcos(α+π4)=0,所以sin(α+π4-β)=0,所以α+π4-β=kπ,k∈Z,所以α-β=kπ-π4,所以tan(α-β)=-1.方法二:由题意可得,sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2(cos α-sin α)sin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,所以sin(α-β)+cos(α-β)=0,故tan(α-β)=-1.4.(记错公式形式导致错误)若将sin x-3cos x写成2sin(x-φ)的形式,其中0≤φ