2025届高考数学一轮复习教师用书第五章第三节第2课时简单的三角恒等变换讲义（Word附解析）

第2课时　简单的三角恒等变换【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin 2α=2sin αcos α. (2)公式C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(3)公式T2α:tan2α=2tanα1-tan2α.2.常用的部分三角公式(1)1-cos α=2sin2α2,1+cos α=2cos2α2.(升幂公式)(2)1±sin α=(sinα2±cosα2)2.(升幂公式)(3)sin2α=1-cos2α2,cos2α=1+cos2α2,tan2α=1-cos2α1+cos2α.(降幂公式)3.半角公式sin α2=±1-cosα2,cos α2=±1+cosα2,tan α2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是 (　　)A.半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的B.存在实数α,使tan 2α=2tan αC.cos2θ2=1-cosθ2D.tan α2=sinα1+cosα=1-cosαsinα【解析】选ABD.由半角公式、二倍角公式可知,选项A正确;因为当α=0时,tan 2α=2tan α=0,所以选项B正确;因为由二倍角公式可知:cos θ=2cos2θ2-1,所以cos2θ2=1+cosθ2,因此选项C错误;因为tan α2=sin α2cos α2=2sin α2cos α22cos2α2=sinα1+cosα,tan α2=sin α2cos α2=2sin α2cos α22cos2α2=1-cosαsinα,所以选项D正确.2.(必修第一册P223练习5改条件)cos2π12-cos2 5π12= (　　)A.12 B.33 C.22 D.32【解析】选D.因为cos 5π12=sin(π2-5π12)=sinπ12,所以cos2π12-cos25π12=cos2π12-sin2π12=cos(2×π12)=cosπ6=32.3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α为锐角,cos α=1+54,则sin α2= (　　)A.3-58 B.-1+58 C.3-54 D.-1+54【解析】选D.cos α=1+54,则cos α=1-2sin2α2,故2sin2α2=1-cos α=3-54,即sin2α2=3-58=(5)2+12-2516=(5-1)216,因为α为锐角,所以sin α2>0,所以sin α2=-1+54.4.(忽视隐含条件)已知2sin α=1+cos α,则tan α2= (　　)A.2 B.12C.2或不存在 D.12或不存在【解析】选D.当α=2kπ+π(k∈Z)时,满足2sin α=1+cos α,此时tan α2不存在;当α≠2kπ+π(k∈Z)时,tan α2=sinα1+cosα=12.【核心考点·分类突破】考点一　三角函数式的化简[例1](1)函数f(x)=sin2x+3sin xcos x-12可以化简为 (　　)A.f(x)=sin(2x-π3)B.f(x)=sin(2x-π6)C.f(x)=sin(2x+π3)D.f(x)=sin(2x+π6)【解析】选B.f(x)=sin2x+3sin xcos x-12=1-cos2x2+32sin 2x-12=32sin 2x-12cos 2x=sin(2x-π6).(2)已知0