2025届高考数学一轮复习教师用书第五章第四节三角函数的图象与性质讲义（Word附解析）

第四节　三角函数的图象与性质【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0), (π2,1),(π,0), (3π2,-1),(2π,0).在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1), (π2,0),(π,-1), (3π2,0),(2π,1).【微点拨】函数y=sin x,x∈[0,2π],y=cos x,x∈[0,2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点(最值点).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(表中k∈Z)【微点拨】(1)写单调区间时,不要忘记k∈Z;(2)y=tan x无单调递减区间;(3)正切函数的图象是由直线x=kπ+π2(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列说法错误的有 (　　)A.y=cos x在第一、二象限内单调递减B.若非零常数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期C.函数y=sin x图象的对称轴方程为x=2kπ+π2(k∈Z)D.函数y=tan x在整个定义域上是增函数【解析】选ACD.因为y=cos x在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减,而不是在第一、二象限内单调递减,所以选项A错误;由周期定义可知:若非零常数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期,所以选项B正确;因为函数y=sin x图象的对称轴方程为x=kπ+π2(k∈Z),所以选项C错误;因为y=tan x在(kπ-π2,kπ+π2)(k∈Z)上是增函数,不是在整个定义域上是增函数,所以选项D错误.2.(2023·天津高考)已知函数f(x)的一条对称轴为直线x=2,一个周期为4,则f(x)的解析式可能为 (　　)A.sin(π2x) B.cos(π2x)C.sin(π4x) D.cos(π4x)【分析】由已知结合正弦函数及余弦函数的对称性及周期公式分别检验各选项即可判断.【解析】选B.若f(x)=sin(π2x),则T=2ππ2=4,令π2x=π2+kπ,k∈Z,则x=1+2k,k∈Z,显然x=2不是对称轴,故A不符合题意;若f(x)=cos(π2x),则T=2ππ2=4,令π2x=kπ,k∈Z,则x=2k,k∈Z,故x=2是一条对称轴,B符合题意;f(x)=sin(π4x),则T=2ππ4=8,故C不符合题意;f(x)=cos(π4x),则T=2ππ4=8,故D不符合题意.【点评】本题主要考查了正弦及余弦函数的对称性及周期性,属于基础题.3.(忽视系数的符号致误)下列区间中,函数f(x)=7sin(π6-x)的单调递减区间是(　　)A. (0,π2) B. (π2,π) C. (π,3π2) D. (3π2,2π)【解析】选A.f(x)=7sin(π6-x)=-7sin(x-π6),因此函数f(x)=7sin(π6-x)的单调递减区间即为函数y=7sin(x-π6)的单调递增区间.令-π2+2kπ≤x-π6≤π2+2kπ,k∈Z,得-π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ,k∈Z.取k=0,则-π3≤x≤2π3.因为(0,π2)⊆ [-π3,2π3],所以(0,π2)是函数f(x)的单调递减区间.4.(必修第一册P213习题T4改编)函数y=3-2cos(x+π4)的最大值为________,此时x=________. 【解析】函数y=3-2cos(x+π4)的最大值为3+2=5,此时x+π4=π+2kπ(k∈Z),即x=3π4+2kπ(k∈Z).答案:5　3π4+2kπ(k∈Z)【巧记结论·速算】正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期.【即时练】若x1=π4,x2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω= (　　)A.2 B.32 C.1 D.12【解析】选A.由题意及函数f(x)=sin ωx的图象与性质可知,12T=3π4-π4,所以 T=π,所以 2πω=π,所以 ω=2.【核心考点·分类突破】考点一　三角函数的定义域与值域[例1](1)函数y=lg(sin x-cos x)的定义域是________. 【解析】要使函数有意义,必须使sin x-cos x>0.利用图象,在同一坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示:在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x为π4,5π4,在(π4,5π4)内sin x>cos x,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以定义域为{x|π4+2kπ