2025届高考数学一轮复习教师用书第四章第三节导数与函数的极值、最值讲义（Word附解析）

第三节　导数与函数的极值、最值【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.函数的极值与导数【微点拨】①函数的极大值和极小值都可能有多个,极大值和极小值的大小关系不确定.②对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【微点拨】函数的最值是对定义域而言的整体概念,而极值是局部概念,在指定区间上极值可能不止一个,也可能一个也没有,而最值最多有一个,并且有最值的未必有极值;有极值的未必有最值.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是(　　)A.对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x0为极值点B.函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值C.函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值D.函数f(x)在区间[a,b]上一定存在最值【解析】选AC.2.(2022·全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=aln x+bx取得最大值-2,则f'(2)=(　　)A.-1 B.-12 C.12 D.1【解析】选B.因为函数fx的定义域为(0,+∞),所以依题可知,f1=-2,f'1=0,而f'x=ax-bx2,所以b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以f'x=-2x+2x2,因此函数fx在0,1上单调递增,在1,+∞上单调递减,当x=1时取最大值,满足题意,即有f'2=-1+12=-12.3.(选择性必修二·P98T6·变形式)已知f(x)=x3-12x+1,x∈[-13,1],则f(x)的最大值为13427,最小值为-10. 【解析】f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),因为x∈[-13,1],所以f'(x)1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当00,若x∈(1a,+∞),则f'(x)0时,函数y=f(x)有一个极大值点,且为1a.角度3 已知极值(点)求参数(规范答题)[例3](1)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,则c的值为(　　)A.2 B.4 C.6 D.2或6【解析】选A.由题意,f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)·(3x-c),则f'(2)=(2-c)(6-c)=0,所以c=2或c=6.若c=2,则f'(x)=(x-2)(3x-2),当x∈(-∞,23)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(23,2)时,f'(x)0,g(x)单调递增;当x>1时,g'(x)1时,g(x)>0,当x→+∞时,g(x)→0,当x→0时,g(x)→-∞,所以00,故V(r)在(0,5)上单调递增;当r∈(5,53)时,V'(r)