[数学][期末]山东省烟台招远市(五四制)2023-2024学年八年级下学期期末试题(解析版)

这是一份[数学][期末]山东省烟台招远市(五四制)2023-2024学年八年级下学期期末试题(解析版)，共20页。试卷主要包含了 一元二次方程的根是， 已知，则的值为， 一元二次方程 的根的情况为，8B， 若成立，则的取值范围是等内容，欢迎下载使用。

1. 某零件长 60 厘米，若该零件在设计图上的长是4 毫米，则这幅图的比例尺是（ ）
A. 1：15B. 1：150C. 150：1D. 1：1500
【答案】B
【解析】由，所以这幅图的比例尺为．
2. 一元二次方程的根是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】，
或∴，，
3. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. D. 19
【答案】A
【解析】∵，∴，
设，得到，，
∴，
4. 一元二次方程 的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】，
，
一元二次方程没有实数根，
5. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图 2 中的数据可得x的值为（ ）

A. 0.8B. 0.72C. 1.8D. 2
【答案】B
【解析】，
，，
6. 若成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】成立，
，，解得：，
7. 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）

A. 甲对，乙不对B. 甲不对，乙对C. 两人都对D. 两人都不对
【答案】A
【解析】甲：根据题意得，，，，
∴，，
∴，
∴甲说法正确；
乙：根据题意得，，，则，，
∴，，
∴，
∴新矩形与原矩形不相似，
∴乙说法不正确；

8. 观察下表，一元二次方程 的解的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据图表可知：当时，，
当时，，
∴的解的范围是，
9. 如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）
A. 第5条B. 第6条C. 第7条D. 第8条
【答案】C
【解析】如图，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边长为，即，过点A作于点G，交于点F，
由题意得，，，
∴设从顶点到这个正方形的的线段长为，
∵，∴，
∴，即，
解得，
∴，
∵，
∴则这张正方形纸条第7条，
10. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（ ）步．
A. 300B. 250C. 225D. 150
【答案】A
【解析】，，
，
正方形中，，过点，
，则，
，
，
分别是正方形的边的中点，设，
，
步，步，
，
即，解得负舍去值，
正方形城邑边长步
二．填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 写出一个能够说明“”不成立的x的值：________．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】∵，
12. 如图，线段相交于点，连接，请添加一个条件，使与相似，且点的对应点为点，这个条件可以是________．（写出一个条件即可）
【答案】（或或）
【解析】∵，且点的对应点为点，
∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似，
∴可以添加或或
13. 若a、b是方程的两个实数根，则代数式的值为________．
【答案】1
【解析】∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
14. 如图，在中，D是边中点，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；
②以点D为圆心，以的长为半径作弧，交于点；
③以点为圆心，以的长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；
④过点作射线交于点 E：
若四边形的面积是60，则的面积为________．
【答案】20
【解析】∵D是边中点，∴，
根据尺规作图的步骤可得：，
∴，
，
∴，
∴，
∵四边形的面积是60，
∴．
15. 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…，第n 行有n个点…，容易发现10是三角点阵中前4行的点数和．则三角点阵中前________行的点数和是 325．
【答案】25
【解析】由于第一行有1个点，第二行有2个点第行有个点，
则前五行共有个点，
前10行共有个点，
，
前行共有个点，
然后求它们的和，
前行共有个点，
由题意可得：，
整理得，
，
，，
为正整数，．
是前25行的点数之和；
16. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，_____．
【答案】或5．
【解析】①AB=5，BC=12，则AC=13，
当△CEB′为直角三角形时，只能是∠EB′C为直角，
即A、B′、C三点共线，
设：BE=a=BE′，则CE=12-a，AB=AB′=5，
B′C=AC-AB′=13-5=8，
由勾股定理得：（12-a）2=a2+82，解得：a=，
②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．
此时ABEB′为正方形，
∴BE=AB=5．
综上所述，BE的长为或5．
三．解答题（本大题共9个小题，共72分.请在答题卡指定区域内作答.）
17. （1）计算：．
（2）解方程：（请用配方法解方程）
解：（1）原式
．
（2）∵
∴，
∴
∴，
∴，
∴，．
18. 在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、，位置如图所示．
（1）将绕点O顺时针旋转 得到，作出，并写出点的坐标 ．
（2）将的三个顶点坐标分别乘以，得到对应的点、、，请画出，并判断与具有怎样的位置关系？并请直接写出与的位似中心的坐标以及相似比．
解：（1）如图，即为所求做的三角形；
∴
（2）由题意得：，
如图，即为所要求做的三角形．
与位似，位似中心为原点，相似比为．
19. 关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值；
（3）若方程的两个实数根为，且，求此时的值．
解：（1）根据题意得：， 解得；
（2）∵是符合条件的最大整数，∴的值为6，
∴方程变形为，
解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当时，，解得；
当时，，解得，
∵，
∴，∴的值为．
（3）∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，∴，
∵；∴的值为．
20. 如图，和相交于点，为上一点，连接、、．其中．
（1）请根据题意从图中找到一对相似三角形，并给予证明；
（2）若，，求线段的长．
解：（1）或；（找到一对证明即可）
理由：∵，
∴；
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由（1）可得 ；
∴，
∴，∴．
21. 某商店销售某种商品，平均每天可售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发托现销售单价每降低0.5元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为2100元？
解：（1）（件）．
（2）设每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为2100，根据题意，得
，
解得，，
∵，，
∴，
即当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润2100元．
22. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
因为；所以，
所以，；所以，
所以．
请你根据小明的分析和解答过程，解决如下问题：
（1）化简：（结果的分母中不含根号）；
（2）若，求的值
解：（1）；
（2）因为，所以，
所以，即，所以，
所以．
23. 如图①，在中，.求作菱形，使点D在边上，点E、F在边AB上，点G在边上．小明的作法如下：
1.如图②，在边上取一点D，过点D作交于点G．
2.以点D为圆心，的长为半径画弧，交AB于点E．
3.在上截取，连接，则四边形为所求作的菱形．

请结合小明的作法，解决以下问题：
（1）证明小明所作的四边形是菱形．
（2）若小明所作的四边形恰好是正方形，你能求出线段CD的长吗？
（1）证明：，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图，当四边形是正方形时，设正方形的边长为．

，
，
∴，
∴
在中，，
，
∴，
∴
同理可求得：
，
∴
∴，
∴，
∴线段的长为时，四边形恰好是正方形．
24. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多的考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．
定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为 0．请根据此定义解决下列问题：
（1）方程的倒方程是 ．
（2）若是的倒方程的解，求出c的值；
（3）若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值．
解：（1）方程的倒方程是；
（2）由题意得：方程的倒方程为，
把代入方程得 ：，
∴
（3）由题意得：方程的倒方程为，
∵m，n是方程的两个实数根，
∴， ，
∴
∴
；
25. 【基础巩固】
（1）如图 1，和是直角三角形，一锐角顶点重合于点 A，，，求证：；
【尝试应用】
（2）如图2，在和中，直角顶点重合于点C，，点D在上，，且，连接，若，求的长；
【拓展提高】
（3）如图3，在中，，点D为边上一点，，E为延长线上一点，，过点A作，交延长线于点Q．请直接写出的值．
证明：（1）∵，，
∴，
∴，，
∴
∴，∴
（2）∵，，
∴
∴，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
∵∴设，，
在中，由勾股定理得∶，
即
∴，
∴
∴
（3）解：如图3，在上截取，连接，
∵，∴，
设，则，
∴，
，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
∴，
，
，
， ，
26. 已知关于 x，y 的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________．
解：把变形得，，
∵关于 x，y 的方程组的解为，
∴，∴
27. 如图，在正方形中，点E、F分别为对角线BD、的三等分点，连接并延长交CD于点G，连接，．若．则用含的代数式表示为________．
解：设与BD的交点为，
∵正方形中， 点E， F分别为对角线BD，的三等分点，
，，
，
，
，
，
∵点分别为对角线的三等分点，
，
∵正方形，
∴，，
∴，，
，
，
，
，
，
，
，
∴
28. 如图，在中，，，，点、分别是，上动点，且，连接，，则的最小值是________．
解：延长，取，连接，在上取，连接，过点作，取，连接，如图所示：
，，，
，
又，，
垂直平分，
，
，
又，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
当最小时，最小，
当、、三点共线时，最小，且最小值为，
的最小值为：
，