重庆市南开中学2025届高三上学期7月月考数学试卷（Word版附解析）

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第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每道题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复合函数定义域化简，由指数函数值域化简集合，结合交集的概念即可求解.
【详解】或x≥1，，
所以.
故选：B
2. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出定义域，由复合函数单调性得到单调递增区间.
【详解】，解得或，故定义域为，
因为在上单调递增，
又在上单调递增，在上单调递减，
由同增异减可知的单调递增区间为.
故选：C
3. 命题p：“函数在区间上单调递增”是命题q：“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先求出恒成立时的取值范围，再用集合法判断充要条件即可
【详解】命题在内单调递增，
则，即在上恒成立，
令，由于，则，
则，
的最小值为0，则必有，
所以是的充分不必要条件．
故选：A
4. 已知fx是定义在R上的奇函数，当时，，则（ ）
A. 4B. C. 5D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求出时，函数的解析式，结合导数运算法则求导函数，代入可得结论.
【详解】因为函数fx为奇函数，
所以，
当时，，
又x>0时，,
所以当时，，
所以当时，，
所以，
故选：A.
5. 若正实数x，y满足，则xy的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由基本不等式得到，求出答案.
【详解】，，
由基本不等式得，即，
解得.
故选：D
6. 若函数在时有极小值，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出，再根据极值定义列等式求出和，然后检验此时在时是否有极小值，即可确定和的值，进而得到.
【详解】，因为在时有极小值，
所以，即，解得，
此时，
或时，，时，，
在时有极小值成立，所以，，.
故选：B.
7. 已知函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，则实数（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可以转化为有一个解，进而解等式即可.
【详解】依题意有一个解
即有一个根
即
所以有一个根
所以有一个根
所以
解得
当时，的定义域为
与的定义域没有交集
此时与的图象没有交点
所以不符合题意
故选：D
8. 已知函数是R上的偶函数，且，当时，，函数f（x）在区间的零点个数为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据的对称轴和对称中心，结合函数的图象即可判断的零点个数.
【详解】因为函数是R上的偶函数，所以，
所以关于直线对称，
因为，x=2时，
由，当时，，故，
又关于直线对称，所以，
由对称性可得在上的大致图象如下图所示，
则在区间的零点个数为9.
故选：C.
二、多项选择题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关于幂函数的说法正确的有（ ）
A. 函数的定义域为RB. 函数的值域为
C. 函数为偶函数D. 不等式的解集为
【答案】BC
【解析】
【分析】AB选项，根据幂函数的指数特征求出定义域和值域；C选项，利用函数奇偶性定义进行判断；D选项，解不等式，得到不等式解集.
【详解】A选项，的定义域为，A错误；
B选项，，故值域为，B正确；
C选项，定义域为，关于原点对称，又，
故为偶函数，C正确；
D选项，不等式，故，解得或，D错误.
故选：BC
10. 已知函数在定义域1,+∞内恒大于0，且满足，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意构造函数，根据其单调性比较大小即可.
【详解】令，则
由 得
所以 在 (1,+∞) 上单调递减,
所以 , 即
所以 , 故 正确, 错误;
又 , 即 ,
所以 ,故 正确, 错误.
故选：.
11. 已知函数（且），则（ ）
A. 当时，函数有3个零点
B. 当时，函数在上单调递减
C. 当函数在Px0,y0处的切线经过坐标原点时，有或
D. 当时，若函数恰有两个零点、，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由零点概念可判断；利用导数判断函数的单调性，可判断；利用导数求在某处的切线方程可判断；利用导数结合三角函数的图象及性质，分析函数的单调性和极值点，画出函数的草图，分析图象可判断.
【详解】
当时，，
由图知，与的图象只有一个交点，即只有一个零点，
令，解得或，即共有两个零点，
故有3个零点，故正确；
当时，，
对于，则，即在上单调递减，
即时，函数在上单调递减，故正确；
若，，则，
则在Px0,y0处的切线方程为：，
切线方程过原点，则，
化简得，即；
若，，则，
则在Px0,y0处的切线方程为：，
切线方程过原点，则，即，故错误；
函数恰有两个零点，即与的图象有两个交点，
，则，
令，即，又，
由正弦函数图象知有两个极值点，
设这两个极值点为，且，则，
当时，，
当时，，
故函数在和上单调递增，在上单调递减.
当时，；当时，；当时，；当时，；
在上单调递增，在 上单调递减.
当时，；当或时，，
由以上性质画出的草图，如图 ：
由图得，与的图象要有两个交点，且，
则，，或，，或，，或，
都有，即若函数恰有两个零点、，则，故正确.
故选：
【点睛】方法点睛：求切线方程要注意审题，一般分为两种情况：
（1）求在某处的切线方程：
①求出；
②写出切点；
③切线斜率；
④切线方程为.
（2）求过某点的切线方程：
①设切点为，则切线斜率，
切线方程为；
②因为切线过点，所以，解得或；
③当时，切线方程为，
当时，切线方程为.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，则的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用换元法求函数解析式即可.
【详解】令，则，因为，
所以，故，
故答案为：．
13. 已知函数的值域为，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】令，由的奇偶性，得到，进而得到，即求得的值.
【详解】令，的定义域关于原点对称，
，
所以为奇函数，，
，，即.
故答案为：2.
14. 已知函数，若且，有恒成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】将条件转化为在0,+∞上单调递增，再转化为在0,+∞上恒成立，利用导数求函数的最小值，可得结论.
【详解】不妨设，则不等式可化为，
所以，
设，由已知可得在0,+∞上单调递增，
所以在0,+∞上恒成立，
所以在0,+∞上恒成立，
所以在0,+∞上恒成立，
设，则，
设，则，
所以函数在0,+∞上单调递增，
又，，
所以存在，满足，
即，所以，
设，则，
所以在0,+∞上单调递增，又，
所以，
所以当时，，h′x>0，函数在上单调递增，
当时，，h′x<0，函数在上单调递减，
所以，又，
所以，
所以，所以，
所以实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将条件转化为在0,+∞上单调递增，进一步转化为在0,+∞上恒成立.
四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在点处的切线与直线平行．
（1）求的值及切线的方程；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1），
（2）单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出，即可求出，再由点斜式求出切线方程；
（2）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间与极值.
【小问1详解】
因为，所以，
则，故在处的切线斜率为，
，解得，即，
因此，
所以函数在点处的切线：，即．
【小问2详解】
由（1）可得，定义域为，
又，
令，解得或；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极大值，在处取得极小值，
即极大值为，极小值为，
综上所述，的单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为．
16. 已知函数为偶函数．
（1）求a的值及函数f（x）的值域；
（2）设，若，都有恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据函数偶函数求出参数，再结合基本不等式求出值域；
（2）先应用不等式恒成立化简不等式，再设新参数结合（1）的范围求出自变量范围，再应用导数求出最值即可求参.
【小问1详解】
∵f（x）为偶函数，，
，，
即对恒成立，．
（当且仅当时取等）
故值域为．
【小问2详解】
，令，则．
对恒成立，即对恒成立．
，故原式子又等价于对恒成立．
令，则，则h（t）在上单调递增．
故，．故m的取值范围为．
17. 2024年4月26日至10月28日，世界园艺博览会在成都主办，主题为“公园城市，美好人居”．本次展览的主会场内部规划了中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区等7个展区．暑假期间，甲乙两人相约游览世园会，恰逢7月6日小暑至，“花语成都”诗词活动正在火热进行，一场场沉浸式、高互动的成都行歌正在线下演绎．
（1）由于园区太大，甲乙两人决定在7个展区中随机选出3个展区游玩，求他们至少选中中华园艺展区，国家园艺展区，天府人居展区，公园城市展区这4个展区中2个展区的概率．
（2）甲乙两人各自独立参加了诗词活动中的“诗词填白”游戏，参加的人只要准确填出抽中的诗中空白的诗句，则视为闯关成功．已知甲和乙闯关成功的概率分别为p和．
（i）记甲乙两人闯关成功的人数之和为X，求X的分布列；
（ii）若甲乙两人闯关成功的人数之和的期望大于1，求p的取值范围．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）求出所有可能性，然后根据古典概型的概率计算公式计算即可；
（2）（i）根据题意，写出分布列即可；（ii）根据分布列计算数学期望，然后解不等式即可.
【小问1详解】
记“他们至少选中其中的两个园区”为事件A．
则．
【小问2详解】
（i）由可知：X可取0，1，2．
列出分布列如下：
（ⅱ）由（ⅰ）可知，解得．
18. 已知椭圆C：，、分别为椭圆C的左、右焦点，过作与x轴不重合的直线l与椭圆交于A、B两点．当l垂直于x轴时，．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点D、E分别为线段、的中点，点M、N分别为线段AE、BD的中点．
（i）求证：为定值；
（ii）设面积为S，求S的取值范围．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）根据通径以及焦点即可求解，
（2）（i）根据中点坐标公式可得的坐标，进而根据坐标关系以及斜率公式可证，即可根据弦长公式求解，
（ii）根据点斜式得直线的方程，进而可得其恒过定点，即可利用面积之比以及面积的表达式得，由对勾函数的性质即可求解.
【小问1详解】
在椭圆C中，令，可得y=±b2a，故有，而，，解得，，，故椭圆C的标准方程为．
【小问2详解】
（ⅰ）设l：，将l与C联立可得：．
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，．
则，，，．
①当l与x轴垂直时，，此时，故；
②当l与x轴不垂直时，也有．
综上，．故，
而，故．
（ⅱ）由（ⅰ）可知：，故：．
令，解得．
恒过定点．设到MN与AB的距离分别为与，的面积为，则．
故
．
令，则，
因为在上单调递增，故，则．
综上所述，S的取值范围为．
【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
19. 定义可导函数p（x）在x处的函数为p（x）的“优秀函数”，其中为p（x）的导函数．若，都有成立，则称p（x）在区间D上具有“优秀性质”且D为（x）的“优秀区间”．已知．
（1）求出f（x）的“优秀区间”；
（2）设f（x）的“优秀函数”为g（x），若方程有两个不同的实数解、．
（ⅰ）求m的取值范围；
（ⅱ）证明：（参考数据：）．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据“优秀函数”的定义，求出的“优秀函数”，再利用作差法比较和的大小关系，构造函数，对的分子分母分别判断正负，进而求得f（x）的“优秀区间”；
（2）（ⅰ）对分离常数，求出，构造函数，由的单调性求得的最值，进而得到m的取值范围；
（ⅱ）先分析出要证，即证，再构造函数，根据的单调性，求得，再构造函数，根据的单调性，求得，可推得，又由的单调性，求得，从而得到，进而得证.
【小问1详解】
当时，
的“优秀函数”为，
，
令，则，
令，解得；令，解得，
所以当时，h（x）单调递减；当时，h（x）单调递增，
故．
当时，ex−1<0，则，，f（x）不具有“优秀性质”；
当时，ex−1>0，则，，f（x）具有“优秀性质”．
故f（x）的“优秀区间”为．
【小问2详解】
（ⅰ）即，所以，
所以，故，
令，则，
令，解得；令，解得，
故当时，k（x）单调递减；时，k（x）单调递增．
，
当时，；时，，
，故．
即m的取值范围为．
（ⅱ）由、为方程的两个解可知：，
要证，即证，
令，，
令，，
则N（x）在单调递增，故，
所以时，，故M（x）在上单调递增，
则．
令，
，
令，则，
故G（x）在上单调递增，．即，
故Q（x）在上单调递增．故，
即，成立，
因为，则，
又，，k（x）在（0，1）单调递减，则，即，
故,所以，
所以.
【点睛】方法点睛：本题主要考查了函数新定义问题以及利用导数研究不等式问题，通常首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的不等式；对含有参数的函数，也可先分离变量，再构造函数，直接把不等式转化为函数的最值问题.X
0
1
2
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