新高考数学一轮复习 专项分层精练第19课 三角函数的图形与性质（2份打包，原卷版+解析版）

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【一层练基础】
一、单选题
1．（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象大致形状是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R.定义域关于原点对称，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，故排除选项B、D，
当 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时，两个相邻的零点为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故排除选项A，
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由定义得到 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性，排除BC，代入特殊点，排除D，得到正确答案.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的定义域为R，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，排除BC；
又 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，D错误.
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足在区间 SKIPIF 1 < 0 内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
B．将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后关于原点对称
C． SKIPIF 1 < 0 图象的一个对称中心为 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
【答案】D
【分析】根据题意可求出 SKIPIF 1 < 0 的值，从而可得到 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再根据解析式逐项分析即可．
【详解】依题可知 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B，将 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度后得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不关于原点对称，故B错误；
对于C，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 图象的一个对称中心，故C错误；
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故D正确．
故选：D．
4．（2023秋·北京·高三校考开学考试）函数 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．奇函数，且最小值为 SKIPIF 1 < 0 B．奇函数，且最大值为 SKIPIF 1 < 0
C．偶函数，且最小值为 SKIPIF 1 < 0 D．偶函数，且最大值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，由三角函数值域即可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结果.
【详解】由题可知， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，关于原点对称，
且 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 为偶函数；
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得函数 SKIPIF 1 < 0 最小值为0，无最大值.
故选：C
二、多选题
5．（2023秋·湖北恩施·高三校联考期末）将函数 SKIPIF 1 < 0 的图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 是奇函数D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有4个零点
【答案】ACD
【分析】A选项，代入检验，得到 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，A正确；
B选项，计算出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两者不一定相等，
C选项，根据函数平移变换求出 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
D选项，令 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，共4个零点，D正确.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，A正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不一定相等，
故 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不一定相等，B错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是奇函数，C正确；
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，共4个零点，D正确.
故选：ACD
6．（2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在 SKIPIF 1 < 0 时刻相对于平衡位置的高度 SKIPIF 1 < 0 可以田 SKIPIF 1 < 0 确定，则下列说法正确的是（ ）
A．小球运动的最高点与最低点的距离为 SKIPIF 1 < 0
B．小球经过 SKIPIF 1 < 0 往复运动一次
C． SKIPIF 1 < 0 时小球是自下往上运动
D．当 SKIPIF 1 < 0 时，小球到达最低点
【答案】BD
【分析】根据正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】小球运动的最高点与最低点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项A错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以小球经过 SKIPIF 1 < 0 往复运动一次，因此选项B正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以选项D正确，
故选：BD
7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图像关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 单调递减
B． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 有两个极值点
C．直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 的对称轴
D．直线 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．
对A，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由正弦函数 SKIPIF 1 < 0 图象知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递减；
对B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，由正弦函数 SKIPIF 1 < 0 图象知 SKIPIF 1 < 0 只有1个极值点，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 为函数的唯一极值点；
对C，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 不是对称轴；
对D，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
从而得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ,
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
切线方程为： SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：AD．
三、填空题
8．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调函数，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 .
【答案】4
【分析】化简函数得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后由余弦函数的单调性求得 SKIPIF 1 < 0 的范围，得最大值．
【详解】由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调，于是 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是4，
故答案为：4．
9．（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 ，当y取最大值时，x的取值集合是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】把 SKIPIF 1 < 0 作为一个整体，结合二次函数性质求解．
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题
10．（2023·上海奉贤·统考一模）已知 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，其中 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期和 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）根据 SKIPIF 1 < 0 列关于 SKIPIF 1 < 0 的等式，即可求出解析式，得到周期；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 然后再求解.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简得到求出 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
【二层练综合】
一、单选题
1．（2020·全国·统考高考真题）设函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由图可得：函数图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 图象与 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴的第一个交点即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用三角函数周期公式即可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，
将它代入函数 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 图象与 SKIPIF 1 < 0 轴负半轴的第一个交点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
二、多选题
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的一个周期B．函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称
C．函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为减函数D．函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【分析】计算 SKIPIF 1 < 0 可判断A;计算 SKIPIF 1 < 0 可判断B;将 SKIPIF 1 < 0 化简为 SKIPIF 1 < 0 ，结合正弦函数的性质可判断C,D.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的一个周期，故A正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，故B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，故C错误；
由C的分析可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故D正确，
故选：ABD．
三、填空题
3．（2023春·河北衡水·高一校考开学考试）直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图像的相邻两个交点的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则m的最大值为 ．
【答案】1
【分析】利用三角函数的图像的周期性质，求出 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出 SKIPIF 1 < 0 的范围，进而可求出 SKIPIF 1 < 0 的范围.
【详解】因为直线 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 的图像的相邻两个交点的距离为一个周期，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴m的最大值为1．
故答案为：1
四、解答题
4．（2023春·江西宜春·高二江西省丰城中学校考阶段练习）在 SKIPIF 1 < 0 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ．求：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【分析】（1）由正弦定理及正弦的2倍角公式可求解；
（2）由正弦定理及正弦的两角差将问题转化为求 SKIPIF 1 < 0 的范围，再利用2倍角公式化为 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由正弦定理， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【三层练能力】
一、多选题
1．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的部分图象如图所示，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增
C．将函数 SKIPIF 1 < 0 图象上各点横坐标变为原来的 SKIPIF 1 < 0 （纵坐标不变），再将所得图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，可得函数 SKIPIF 1 < 0 的图象
D．函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为7
【答案】ABD
【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再分析判断ABC；换元并构造函数，利用导数结合图形判断D作答.
【详解】观察图象知，函数 SKIPIF 1 < 0 的周期 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
显然 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 单调递增，B正确；
将 SKIPIF 1 < 0 图象上各点横坐标变为原来的 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，再将所得图象向右平移 SKIPIF 1 < 0 个单位长度，得 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，显然当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即恒有 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无零点，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上都递减，即有 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，因此存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 递减，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
于是存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 递增， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一零点，而函数 SKIPIF 1 < 0 周期为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，如图，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
从而函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上各有一个零点，又0是 SKIPIF 1 < 0 的零点，即函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域上共有7个零点，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为7，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
二、填空题
2．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有三个不同的实根，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】结合函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性，化简后画出函数在 SKIPIF 1 < 0 上的图象，数形结合求出实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，画出 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的图象如图所示，
要想保证方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有三个不同的实根，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0