新高考数学二轮复习热点7-3 双曲线及其应用（8题型+满分技巧+限时检测）（2份打包，原卷版+解析版）

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双曲线及其应用是高考数学的重点与难点，在近几年高考数学试卷中，双曲线的相关题型几乎年年都会考到，属于热点问题。题型比较丰富，选择题、填空题、解答题都出现过，主要通过双曲线的定义、方程及性质考查数学运算能力及转化思想，难度中等偏难。
【题型1 双曲线的定义及概念辨析】
【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是（ ）
A．射线 B．直线 C．椭圆 D．双曲线的一支
【答案】A
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知动点M满足 SKIPIF 1 < 0 |，
故动点M的轨迹是射线.故选：A.
【变式1-1】（2023·四川绵阳·高三南山中学校考阶段练习）双曲线C： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的一条渐近线过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是C的左右焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若双曲线上一点M满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
又因为双曲线的渐近线过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 在左支上， SKIPIF 1 < 0 ，符合要求，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 在右支上， SKIPIF 1 < 0 ，不符合要求，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B.
【变式1-2】（2023·河北·模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的上、下焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线过点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】11
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得双曲线的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线的渐近线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线的上、下焦点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）.
【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 、圆 SKIPIF 1 < 0 外切，则圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 、圆 SKIPIF 1 < 0 外切，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的双曲线的右支，
又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以其轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1-4】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）（多选）已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．方程 SKIPIF 1 < 0 表示的 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点的轨迹是圆
B．方程 SKIPIF 1 < 0 表示的 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点的轨迹是椭圆
C．方程 SKIPIF 1 < 0 表示的 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支
D．方程 SKIPIF 1 < 0 表示的 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点的轨迹是抛物线
【答案】AC
【解析】由复数模的几何意义知， SKIPIF 1 < 0 表示复平面内点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 之间的距离为定值2，
则 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确；
由复数模的几何意义知， SKIPIF 1 < 0 表示复平面内点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，不满足椭圆的定义 SKIPIF 1 < 0 ，故B不正确；
由复数模的几何意义知， SKIPIF 1 < 0 表示复平面内点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的距离之差为1，
又 SKIPIF 1 < 0 ，满足双曲线的定义 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
表示复平面内点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的距离相等，轨迹是直线，故D不正确，故选：AC.
【题型2 利用定义求距离和差最值】
【例2】（2023·天津南开·统考一模）已知拋物线 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点， SKIPIF 1 < 0 是双曲线右支上的一动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】D
【解析】拋物线 SKIPIF 1 < 0 的准线为 SKIPIF 1 < 0 ，
则点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【变式2-1】（2023·江西赣州·统考一模）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上运动.当 SKIPIF 1 < 0 的周长最小时， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由双曲线 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，左焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
设右焦点 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 的周长最小时， SKIPIF 1 < 0 取到最小值，
所以只需求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值即可.
SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【变式2-2】（2023·四川南充·校考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 是离心率为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支上一点，则 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离与 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离之和的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【变式2-3】（2022·天津南开·高三统考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，点F是C的右焦点，若点P为C左支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．8 D．10
【答案】A
【解析】由双曲线 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
设双曲线左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设一条渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为E，即 SKIPIF 1 < 0 ，
作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足为H，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点P为C左支上的动点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，即E和H点重合时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，
最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：A．
【变式2-4】（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，其一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点为A，左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P在其右支上，点 SKIPIF 1 < 0 ，三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则当 SKIPIF 1 < 0 取得最大值时点P的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，
则由三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又双曲线一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 .
又由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 共线且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中间时取得等号.
此时直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中间可得 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
【题型3 双曲线标准方程的求解】
【例3】（2023·全国·高三对口高考）与 SKIPIF 1 < 0 有相同渐近线，焦距 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】（1）若焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，设所求双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同渐近线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设该双曲线的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为焦距 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，设所求双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同渐近线，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，设该双曲线的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为焦距 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
综上，双曲线标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
【变式3-1】（2023·湖北荆州·高三松滋市第一中学校考阶段练习）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ．过 SKIPIF 1 < 0 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】如图，因为 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
【变式3-2】（2023·天津宁河·高三芦台第一中学校考期末）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合，抛物线准线与一条渐近线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合，
可得双曲线的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线的准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为抛物线准线与一条渐近线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即交点为 SKIPIF 1 < 0 ，代入渐近线方程，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【变式3-3】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l交双曲线的右支于M，N两点，若 SKIPIF 1 < 0 的周长为36，则双曲线C的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的周长为36，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
【变式3-4】（2023·四川乐山·统考三模）设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点．过 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一条切线 SKIPIF 1 < 0 ，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由圆 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴在直角 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
由正弦定理， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴由双曲线定义， SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 为直角，∴易知 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
∴由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入，解得 SKIPIF 1 < 0 .
∴双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【题型4 双曲线的焦点三角形问题】
【例4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线左支于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若双曲线的实轴长为8，那么 SKIPIF 1 < 0 的周长是（ ）
A．5 B．16 C．21 D．26
【答案】D
【解析】由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【变式4-1】（2023·重庆·高三重庆八中校考期中）设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的右支上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A．2 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线定义可得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
【变式4-2】（2023·四川成都·高三校考期中）设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右两个焦点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A．5 B．10 C． SKIPIF 1 < 0 D．20
【答案】A
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以原点为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的交点，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即它们也在 SKIPIF 1 < 0 点所在的圆上，且 SKIPIF 1 < 0 为直径，
所以 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，
如上图， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【变式4-3】（2023·广东湛江·高三统考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0 分别为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线在 SKIPIF 1 < 0 轴上方交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】由题意得：因为该双曲线的一条渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由过点 SKIPIF 1 < 0 且垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线在 SKIPIF 1 < 0 轴上方交双曲线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，可知M的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程即可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又有 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
【变式4-4】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左支交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的内切圆周长为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】如图所示：
设内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线定义有 SKIPIF 1 < 0 ；
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ，
从而直角三角形 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径是
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的内切圆周长为 SKIPIF 1 < 0 .
【题型5 求双曲线的离心率与范围】
【例5】（2023·天津北辰·高三统考期中）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆与 SKIPIF 1 < 0 的左支的一个公共点为 SKIPIF 1 < 0 ，若原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于实半轴的长，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】如图：∵原点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离等于实半轴的长，
∴ SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆与 SKIPIF 1 < 0 的左支的一个公共点为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线定义的 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是其右支上一点．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由双曲线的几何性质，可知点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B项正确.故选：B.
【变式5-2】（2023·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，圆 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左支于点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则由双曲线的定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 交双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左支于点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D.
【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，P为双曲线C的右支上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．
【变式5-4】（2023·河南洛阳·高三洛阳市第八中学校考开学考试）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的上下焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 的下支上，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】如图，过点 SKIPIF 1 < 0 作渐近线的垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .
由双曲线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【题型6 双曲线的中点弦问题】
【例6】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交双曲线E于A、B两点.若 SKIPIF 1 < 0 的中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则E的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线的方程为： SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
【变式6-1】（2024·陕西宝鸡·校考一模）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上两点，下列四个点中，可为线段 SKIPIF 1 < 0 中点的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
对于选项A： 可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故C正确；
对于选项D：可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
由双曲线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故D错误；故选：C.
【变式6-2】（2023·陕西渭南·统考二模）已知直线 SKIPIF 1 < 0 过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 的左､右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 两点，设 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为底边的等腰三角形，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ,
由 SKIPIF 1 < 0 均在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，
得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 为锐角，
∵ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为底边的等腰三角形，
∴直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴由对称性知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
【变式6-3】（2023·上海·高三七宝中学校考二模）不与 SKIPIF 1 < 0 轴重合的直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上存在两点A，B关于 SKIPIF 1 < 0 对称，AB中点M的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是AB垂直平分线，有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【变式6-4】（2023·全国·校联考模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，虚轴的上端点为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的两点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的两条浙近线的斜率之积为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的两点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ①， SKIPIF 1 < 0 ②， SKIPIF 1 < 0 ③， SKIPIF 1 < 0 ④，
所以，② SKIPIF 1 < 0 ③得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，虚轴的上端点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的两条浙近线分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 的两条浙近线的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0
【题型7 直线与双曲线相交弦长】
【例7】（2023·山东临沂·统考一模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 的左、右两支分别交于点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去x得 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
【变式7-1】（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的坐标为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】双曲线双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
而直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为60°，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 联立，化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 （舍去）或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
故点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式7-2】（2023·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过其右焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，已知 SKIPIF 1 < 0 ，若这样的直线 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 条，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】记 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴重合，此时， SKIPIF 1 < 0 ；
若直线 SKIPIF 1 < 0 轴时，将 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，此时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长和通径长不可能同时为 SKIPIF 1 < 0 ；
当直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴不重合时，记 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 由四个不等的实数解.
当 SKIPIF 1 < 0 时，即当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，即当 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 .
【变式7-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .过 SKIPIF 1 < 0 的直线l交C的右支于M，N两点，且当l垂直于x轴时，l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为4.
（1）求C的方程；
（2）证明： SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析， SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）根据题意有 SKIPIF 1 < 0 ，C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将 SKIPIF 1 < 0 代入两个渐近线方程得到交点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
l与C的两条渐近线所围成的三角形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 轴时，显然MN与 SKIPIF 1 < 0 不垂直.
当l不垂直于x轴时，设l的方程为 SKIPIF 1 < 0 时，
代入C的方程有： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时有： SKIPIF 1 < 0 ①，
由 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，
整理有 SKIPIF 1 < 0 ②，
由①，②可得 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【变式7-4】（2023·山东青岛·高三统考开学考试）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为4，记动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 为第一象限，且纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得： SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，显然不符合题意；
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 联立得： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
由韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为线段 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限，且纵坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【题型8 直线与双曲线综合问题】
【例8】（2023·江苏南通·高三江苏省如皋中学校考阶段练习）如图，双曲线C： SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1 SKIPIF 1 < 0 的中心O为坐标原点，离心率 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线C上．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若直线l与双曲线C交于P，Q两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为点 SKIPIF 1 < 0 在双曲线C上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线OP的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线OQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ＝1，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
【变式8-1】（2023·湖北·高三天门中学校联考期中）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过F且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交C于A，B两点，且当 SKIPIF 1 < 0 时，A的横坐标为3.
（1）求C的方程；
（2）设O为坐标原点，过A且平行于x轴的直线与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点D，P为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点Q，证明： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析
【解析】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
将A代入C的方程有， SKIPIF 1 < 0 ①，
且由双曲线的几何性质可知 SKIPIF 1 < 0 ②，
由①，②得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，①
所以 SKIPIF 1 < 0 ，②
SKIPIF 1 < 0 .③
直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与 SKIPIF 1 < 0 方程联立有： SKIPIF 1 < 0 ，
将①代入得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
方法1：所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
要证 SKIPIF 1 < 0 ，只需证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，④
由②③知④成立，所以 SKIPIF 1 < 0 .
方法2：由题设可知A，B，F，Q四点共线，
且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的左顶点， SKIPIF 1 < 0 的离心率为2.设过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的右支于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，其中 SKIPIF 1 < 0 在第一象限.
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）是否存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；否则，说明理由.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时，
对曲线 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
在三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，故可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立；
当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，不妨设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
假设存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则一定有： SKIPIF 1 < 0 ，也即 SKIPIF 1 < 0 ；
又 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；
又点 SKIPIF 1 < 0 的坐标满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ；
故假设成立，存在实数常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立；
综上所述，存在常数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
【变式8-3】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，动点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离与它到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴右侧），在线段 SKIPIF 1 < 0 上取异于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，证明：点 SKIPIF 1 < 0 恒在一条直线上.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析
【解析】（1）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 .
所以，曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）证明：如下图所示：
因为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，点 SKIPIF 1 < 0 在定直线 SKIPIF 1 < 0 上.
【变式8-4】（2023·云南大理·统考一模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，其渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上.
（1）求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过点 SKIPIF 1 < 0 的两条直线AP，AQ分别与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析
【解析】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
依题意， SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0
（2）依题意可知 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，
设方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①，
所以 SKIPIF 1 < 0
设直线AP，AQ的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，故有：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 舍去，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 ，
此时，将 SKIPIF 1 < 0 代入①得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意.
∴直线PQ过定点 SKIPIF 1 < 0
（建议用时：60分钟）
圆锥曲线练习
1．（2023·陕西汉中·统考一模）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线的斜率为2，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．－4 B．4 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】根据 SKIPIF 1 < 0 ,得到 SKIPIF 1 < 0 ,
则焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴，故渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
2．（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点到焦点的最近距离为2，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由离心率 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
由双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点到焦点的最近距离为2，得 SKIPIF 1 < 0 ，
根据这两个方程解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
3．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过原点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 的右支交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，则点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3 D．5
【答案】A
【解析】设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 为等腰三角形，则 SKIPIF 1 < 0 （线段 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 显然不相等），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ．
由双曲线的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A．
4．（2023·广东佛山·统考一模）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，O为坐标原点，点P是双曲线C上的一点， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为4，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2 C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】C
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 的面积为4，所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为8.
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
5．（2023·山西临汾·校考模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 与C的一条渐近线相交，且弦长不小于4，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设双曲线 SKIPIF 1 < 0 的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
且双曲线 SKIPIF 1 < 0 的焦点在x轴上，所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
可知圆 SKIPIF 1 < 0 关于x轴对称，不妨取渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心 SKIPIF 1 < 0 到渐近线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C的一条渐近线相交弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
6．（2023·全国·模拟预测）已知直线 SKIPIF 1 < 0 过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，且与双曲线右支交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．若 SKIPIF 1 < 0 ，则双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程中，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．故选:B．
7．（2023·安徽滁州·校考一模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有共同的焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的公共点，且 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】由题意设焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆长轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在双曲线的右支上，由双曲线的定义 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆定义 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
亦即 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
8．（2023·安徽·高三怀远第一中学校联考阶段练习）（多选）在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹为直 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹为圆
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹为椭圆 D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹为双曲线
【答案】AD
【解析】选项A：设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得： SKIPIF 1 < 0 ，所以点P的轨迹为直线，故A正确；
选项B：当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 不存在时，动点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 存在时，设点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得： SKIPIF 1 < 0 ，
同理当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
化简可得： SKIPIF 1 < 0 ，
因此点P轨迹为圆 SKIPIF 1 < 0 上的一段弧( SKIPIF 1 < 0 )或 SKIPIF 1 < 0 上的一段弧( SKIPIF 1 < 0 )，故B错误；
选项C：由 SKIPIF 1 < 0 ，可知点P轨迹为线段AB，故C错误；
选项D：由 SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线的定义可知，
点P轨迹为双曲线，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点P轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确．故选：AD.
9．（2023·广东广州·统考模拟预测）（多选）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右支相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线相互垂直，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D．当 SKIPIF 1 < 0 变化时， SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】依题意， SKIPIF 1 < 0 ，
A选项，若双曲线的两条渐近线相互垂直，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
B选项，若 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实轴长 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
C选项，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
D选项，根据双曲线的定义可知， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 周长的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.故选：ACD
10．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）（多选）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列论述错误的是（ ）
A．双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为3
B．顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为 SKIPIF 1 < 0
C．直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点
D．过点 SKIPIF 1 < 0 有两条直线与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相切
【答案】ABD
【解析】由题易得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 错误；
顶点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 与焦点到渐近线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，距离之比为 SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与渐近线 SKIPIF 1 < 0 平行，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左支仅有1个交点，
与右支没有交点.又直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 都过点 SKIPIF 1 < 0 ，
且直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角比直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角小，
直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的交点， SKIPIF 1 < 0 正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 位于双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支的右侧位置，
显然过点 SKIPIF 1 < 0 的直线不可能与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相切，D错误.故选:ABD.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知方程 SKIPIF 1 < 0 表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为方程 SKIPIF 1 < 0 表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023·全国·高三专题练习）以 SKIPIF 1 < 0 为中点的双曲线 SKIPIF 1 < 0 的弦所在直线的方程为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在双曲线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故以 SKIPIF 1 < 0 中点的双曲线的弦所在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以以 SKIPIF 1 < 0 为中点的双曲线的弦所在的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
13．（2023·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 轴垂直的弦长为12．
（1）求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
（2）过 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线交于 SKIPIF 1 < 0 两点，问在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 为定值，若存在，请求出 SKIPIF 1 < 0 点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在， SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）由题意知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）假设存在点 SKIPIF 1 < 0 满足条件，设其坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为定值时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 成立，
SKIPIF 1 < 0 存在满足条件的点 SKIPIF 1 < 0 ，其坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 为0.
14．（2023·海南·校联考模拟预测）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的焦点F到双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线的距离是 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求p的值；
（2）已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的中垂线与E的准线l交于点P，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为M，设 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】（1）E的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
由点到直线的距离公式得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ．
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 消去x并整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
易得M点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的中垂线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
从而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
15．（2023·河北保定·高三校联考开学考试）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为2，其左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的渐近线上一点， SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）过 SKIPIF 1 < 0 的左顶点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 的右支于点 SKIPIF 1 < 0 ，与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 且平行于 SKIPIF 1 < 0 的直线交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，证明：点 SKIPIF 1 < 0 在定圆上.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析
【解析】（1）设双曲线的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，一条渐近线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以右焦点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为离心率 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 .
（2）由题得， SKIPIF 1 < 0 的左顶点 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线，
所以 SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 联立有，
SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
所以 SKIPIF 1 < 0 ,故直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 不垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 为定值，
所以点 SKIPIF 1 < 0 在定圆 SKIPIF 1 < 0 上.满分技巧
（1）在双曲线定义中若去掉定义中的“绝对值”，常数 SKIPIF 1 < 0 满足约束条件：
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 SKIPIF 1 < 0 的一支；
若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 SKIPIF 1 < 0 的一支；
（2）若常数 SKIPIF 1 < 0 满足约束条件： SKIPIF 1 < 0 ，
则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
（3）若常数 SKIPIF 1 < 0 满足约束条件： SKIPIF 1 < 0 ，则动点轨迹不存在；
（4）若常数 SKIPIF 1 < 0 ，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
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利用定义||PF1|-|PF2||＝2a转化或变形，借助三角形性质及基本不等式求最值
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1、由双曲线标准方程求参数范围
（1）对于方程 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时表示双曲线；
当 SKIPIF 1 < 0 时表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线； 当 SKIPIF 1 < 0 时表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线.
（2）对于方程 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时表示双曲线；
当 SKIPIF 1 < 0 时表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线； 当 SKIPIF 1 < 0 时表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线.
（3）已知方程所代表的曲线，求参数的取值范围时，应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式，再根据方程中参数取值范围的要求，建立不等式（组）求解参数的取值范围。
2、待定系数法求双曲线方程的五种类型
（1）与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
（2）若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x或y＝－eq \f(b,a)x，则可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝λ(λ≠0)；
（3）与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1共焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－k)－eq \f(y2,b2＋k)＝1(－b2＜k＜a2)；
（4）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1(mn＜0)；
（5）与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦点的双曲线方程可设为eq \f(x2,a2－λ)－eq \f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)
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求双曲线中的焦点三角形 SKIPIF 1 < 0 面积的方法
（1） = 1 \* GB3 ①根据双曲线的定义求出 SKIPIF 1 < 0 ；
= 2 \* GB3 ②利用余弦定理表示出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 之间满足的关系式；
= 3 \* GB3 ③通过配方，利用整体的思想求出 SKIPIF 1 < 0 的值；
= 4 \* GB3 ④利用公式 SKIPIF 1 < 0 求得面积。
（2）利用公式 SKIPIF 1 < 0 求得面积；
（3）若双曲线中焦点三角形的顶角 SKIPIF 1 < 0 ，则面积 SKIPIF 1 < 0 ，结论适用于选择或填空题。
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1、求双曲线的离心率或其范围的方法
（1）求a，b，c的值，由eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)直接求e.
（2）列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范围．
（3）因为离心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相应c的值，进而求出离心率，能有效简化计算．
（4）通过特殊位置求出离心率．
2、双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线的斜率k与离心率e的关系：
当k>0时，k＝eq \f(b,a)＝eq \f(\r(c2－a2),a)＝ eq \r(\f(c2,a2)－1)＝eq \r(e2－1)；当k<0时，k＝－eq \f(b,a)＝－eq \r(e2－1).
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解决中点弦问题的两种方法：
1、根与系数关系法：联立方程，消元，利用根与系数的关系进行舍而不求，从而简化运算；
2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过双曲线 SKIPIF 1 < 0 上两点、，其中中点为，则有 SKIPIF 1 < 0 .
证明：设、，则有 SKIPIF 1 < 0 ，上式减下式得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
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求弦长的两种方法：
（1）交点法：将直线的方程与双曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被双曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：