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    衡阳县第四中学2025届高三上学期开学摸底考试数学试卷(含答案)

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    衡阳县第四中学2025届高三上学期开学摸底考试数学试卷(含答案)

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    这是一份衡阳县第四中学2025届高三上学期开学摸底考试数学试卷(含答案),共17页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。



    一、选择题
    1.从0,2,4中任取2个数字,从1,3,5中也任取2个数字,能组成无重复数字的四位数的个数为( )
    A.240B.216C.180D.108
    2.已知是等差数列的前n项和,,则( )
    A.22B.33C.40D.44
    3.已知双曲线的离心率为,则C的渐近线方程为( )
    A.B.C.D.
    4.设a,b是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
    A.若,,则B.若,,,则
    C.若,,则D.若,,则
    5.我们定义一种新函数:形如(,)的函数叫做“鹊桥”函数.小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象,如图所示,下列结论错误的是( )
    A.图象具有对称性,对称轴是直线
    B.当或时,函数值y随x值的增大而增大
    C.当或时,函数最小值是0
    D.当时,函数的最大值是4
    6.八卦是中国文化的基本学概念,图1是八卦模型图,其平面图形为图2所示的正八边形,其中.给出下列结论,其中正确的结论为( )
    A.与的夹角为
    B.
    C.
    D.在上投影向量为(其中为与同向的单位向量)
    7.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则的最大值是( )
    A.B.C.D.
    8.设抛物线的焦点为F,A为抛物线上一点且A在第一象限,,若将直线绕点F逆时针旋转得到直线l,且直线l与抛物线交于C,D两点,则( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    9.已知函数,则( )
    A.的最大值为
    B.的图象关于点对称
    C.是偶函数
    D.不等式的解集是
    10.若复数,则下列正确的是( )
    A.当或时,z为实数
    B.若z为纯虚数,则或
    C.若复数z对应的点位于第二象限,则
    D.若复数z对应的点位于直线上,则或
    11.已知函数关于x的方程有从小到大排列的四个不同的实数根,,,,若,则( )
    A.
    B.
    C.M的最小值为
    D.M的最大值为
    三、填空题
    12.已知多项式,则___________.
    13.已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一个球面上,,,,,则四棱锥外接球的体积为__________.
    14.已知函数,其中表示p,q中的最大值,若函数有3个零点,则实数a的取值范围是______.
    四、解答题
    15.在中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,,.
    (1)若,求的面积;
    (2)是否存在正整数a,使得为钝角三角形?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
    16.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为4的菱形,,AC与BD交于点O,平面平面ABCD,,,.
    (1)求证:平面ABCD;
    (2)若,点Q为AE的中点,求二面角的余弦值.
    17.已知椭圆的右顶点为,离心率为.
    (1)求椭圆C的方程;
    (2)设椭圆的左焦点和左顶点分别为F和,过点F的直线与C交于M,N两点,直线
    与交于点P,证明:点P在定直线上.
    18.已知函数.
    (1)讨论函数的单调性;
    (2)设,,是函数的两个极值点,证明:恒成立.
    19.每年6月中旬到7月中旬,长江中下游区域内会出现一段连续阴雨天气,俗称“梅雨期”.依据某地A河流“梅雨期”的水文观测点的历史统计数据,所绘制的频率分布直方图如图甲所示;依据当地的地质构造,得到水位与灾害等级的频率分布条形图如图乙所示.
    (1)以频率作为概率,试求A河流在“梅雨期”水位的第80百分位数并估计该地在今年“梅雨期”发生1级灾害的概率;
    (2)该地A河流域某企业,在今年“梅雨期”,若没受1,2级灾害影响,利润为1000万元;若受1级灾害影响,则亏损200万元;若受2级灾害影响则亏损2000万元.
    现此企业有如下三种应对方案:
    试问,若仅从利润考虑,该企业应选择这三种方案中的哪种方案?并说明理由.
    参考答案
    1.答案:C
    解析:按照是否取到0进行分类:①若从0,2,4取的2个数字中不含0,则共有个无重复数字的四位数;②若从0,2,4取的2个数字中含0,则共有个无重复数字的四位数.因此满足条件的共有个数.
    2.答案:B
    解析:解法一:因为是等差数列,
    所以,
    则,所以.
    解法二:设等差数列的公差为d,
    则由得,,得,
    所以.
    故选:B.
    3.答案:C
    解析:因为,所以.又
    由求得,所以,所以渐近线方程为.
    故本题正确答案为C.
    4.答案:B
    解析:A选项不正确,因为是可能的;
    B选项正确,可由面面垂直的判定定理证明其是正确的;
    C选项不正确,因为,时,可能有;
    D选项不正确,因为,时,,都是可能的.
    故选:B.
    5.答案:D
    解析:观察图象可知,图象具有对称性,对称轴是直线,故A正确;令可得,,,,和是函数图象与x轴的交点坐标.又对称轴是直线,当或时,函数值y随x值的增大而增大,故B正确;由图象可知点和是函数图象的最低点,则当或时,函数最小值是0,故C正确;由图象可知,当时,函数值y随x值的减小而增大,当时,函数值y随x值的增大而增大,均存在大于顶点纵坐标的函数值,故当时,函数值4并非最大值,故D错误.故选D.
    6.答案:D
    解析:由八卦图可知与的夹角为,其大小为,
    即与的夹角为,所以A错误;
    由向量的平行四边形法则可知,即B错误;
    易知,又,所以,
    而,所以,即C错误;
    易知在上的投影向量为,即D正确.
    故选:D.
    7.答案:D
    解析:因为,由正弦定理得,
    所以,所以,由余弦定理得
    当且仅当,即时,等号成立,所以,
    所以当时,取得最大值,此时,,所以的最大值是.
    故选:D.
    8.答案:A
    解析:,
    设,,,
    则,所以,则,
    故,
    所以,
    则直线l的倾斜角,
    所以直线l的斜率,
    所以直线l的方程为,
    联立,消y得,

    设,,
    则,
    所以.
    故选:A.
    9.答案:ACD
    解析:由题意可得.,则的
    最大值为,故A正确.令,解得,则的图象关于点对称,故B错误.是偶函数,则C正确.,即,即,则,解得,即不等式的解集是,故D正确.
    10.答案:ACD
    解析:对A:当,;当,,故或时,z均为实数,A正确;
    对B:z为纯虚数,则,解得,故B错误;
    对C:复数z对应的点位于第二象限,则,解得,故C正确;
    对D:复数z对应的点位于直线上,则,
    即,解得或,对应复数分别为或,故D正确;
    故选:ACD.
    11.答案:AC
    解析:在平面直角坐标系内作出函数的图象,如图.显然A正确;
    当时,,,故B不正确;
    ,,,,
    ,当且仅当.时,取等量,故C正确;
    ,,M无最大值.故D不正确.
    故选AC.
    12.答案:74
    解析:多项式
    的值,即中展开式中x的系数.故.
    故答案为:74.
    13.答案:
    解析:由题意知,,且平面,,所以平面PCD,而平面ABCD,则平面平面ABCD.由条件知,所以.如图,取CD的中点G连接AC,BD,交于点O,则O为正方形ABCD的中心,过点G作平面CDP的垂线,则点O在该垂线上,所以O为四棱锥外接球的球心,由于,
    所以四棱锥外接球的体积为.
    14.答案:
    解析:令,,当时,,在区间内无零点;
    当时,,,
    当,即时,为函数的零点.
    当时,令,则,令,则,令,则,在区间上单调递减,区间上单调递增,,.
    当时,在区间内有两个零点.综上,当时函数有三个零点.
    15.答案:(1);
    (2)存在,且
    解析:(1),
    根据正弦定理可得,
    ,,,,,
    在中,运用余弦定理可得




    (2)
    为钝角三角形时,角C必为钝角,
    ,,
    ,,
    三角形的任意两边之和大于第三边,
    ,即,即,

    a为正整数,
    16.答案:(1)证明见解析
    (2).
    解析:(1)证明:如图,取BC中点G,连接FG,OG,
    因为,所以,
    又因为平面平面ABCD,平面平面,
    平面,
    所以平面ABCD,O,G分别为AC,BC中点,
    所以,.
    因为,,
    ,,
    所以四边形EFGO为平行四边形,
    所以,所以平面ABCD.
    (2)如图,以AC所在直线为x轴,BD所在直线为y轴,OE所在直线为z轴建立空间坐标系,设,
    ,,,,
    ,,,,,
    设平面QBC的法向量,,,
    则即,
    则.
    设平面ABC的法向量,
    设二面角的平面角为,为锐角,
    所以.
    二面角的余弦值.
    17.答案:(1)
    (2)见解析
    解析:(1)依题意可得:.又,则,所以,所以,
    所以椭圆C的标准方程为.
    (2)由(1)得,所以直线l的方程为,
    由,可得,
    设,,显然,
    所以,,
    故.
    由题意可得,,则直线的方程为,
    直线的方程为.
    设直线与的交点坐标为,
    则,

    ,
    解得,故直线与的交点在直线上.
    18.答案:(1)答案见解析;
    (2)证明见解析
    解析:(1)的定义域为,

    ①当时,令,得,令,得,所以在上单调递增,在上单调递减;
    ②当时,令,得或,令,得,
    所以在,上单调递增,在上单调递减;
    ③当时,则,所以在上单调递增;
    ④当时,令,得或,令,得,
    所以在,上单调递增,在上单调递减;
    综上,当时,在上单调递增,在上单调递减;
    在时,在,上单调递增,在上单调递减;
    当时,在上单调递增;
    当时,在,上单调递增,在上单调递减,
    (2),则的定义域为,,
    若有两个极值点,,,则方程的判别式
    ,且,,所以,
    因为,所以,得,
    所以
    设,其中,
    令得,
    又,
    所以在区间内单调递增,在区间内单调递减,
    即的最大值为,而,

    从而恒成立.
    19.答案:(1)0.155
    (2)企业应选择方案二
    解析:(1)频率分布直方图中6个小矩形的面积分别是0.1,0.25,0.3,0.2,0.1,0.05,
    设“梅雨期”水位的第80百分位数为x,
    ,
    ,
    “梅雨期”水位的第80百分位数为43.75m.
    设该河流“梅雨期”水位小于40m为事件,水位在40m至50m为事件,水位大于50m为事件,
    ,,,
    设该地发生1级灾害为事件B,由条形图可知:,,,
    ,
    ,
    .
    (2)由(1)可知“梅雨期”该河流不发生灾害的概率为,
    发生1级灾害的概率为0.155,发生2级灾害的概率为,
    设第i种方案的企业利润为,
    若选择方案一,则该企业在“梅雨期”的平均利润(万元),
    若选择方案二,则该企业在“梅雨期”的平均利润(万元),若选择方案三,则该企业在“梅雨期”的平均利润(万元),14分由于,故企业应选择方案二.
    方案
    防控等级
    费用(单位:万元)
    方案一
    无措施
    0
    方案二
    防控1级灾害
    80
    方案三
    防控2级灾害
    200

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