辽宁省重点高中沈阳市郊联体2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（原卷版+解析版）

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数学
命题人：沈阳市第五十六中学 王璇 评审题人：康平县高级中学 何庆超
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号.
2.请将答案正确填写在答题卡上.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列均为等差数列，， ，则（ ）
A. 9B. 18C. 16D. 27
2. 已知函数​，则​（ ）
A. ​B. 1C. ​D. 5
3. 已知是等差数列前n项和，且，，则下列选项正确的是（ ）
A. 数列为递减数列B. C. 的最大值为D.
4. 若则（ ）
A. B.
C. D.
5. 函数y=fx导函数y=f'x的图象如图所示，给出下列选项正确的是（ ）
A. 是函数y=fx的极大值点；
B. 是函数y=fx的最小值点；
C. y=fx在区间上单调递增；
D. y=fx在处切线的斜率小于零．
6. 已知数列an满足，．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则等于（ ）
A. B. 3C. D. 2
8. 设是函数的导函数，且，（为自然对数的底数），则不等式的解集为
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9. 下列选项正确的是（ ）
A. fx=1x，则
B. ，则
C.
D 设函数且，则
10. 设等比数列的公比为，前项积为，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，且为数列的唯一最大项，则
D. 若，且，则使得成立的的最大值为20
11. 函数、，下列命题中正确是（ ）.
A. 不等式的解集为
B. 函数在上单调递增，在上单调递减
C. 若函数有两个极值点，则
D. 若时，总有恒成立，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在一个数列中，如果∀n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．
13. 某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投________千元．
14. 已知实数满足，，则_______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的图象经过点，且在处取得极值.
（1）求，的值；
（2）求经过点且与曲线相切的切线方程.
16. 已知正项等差数列，为数列的前项和，且满足，，设数列满足.
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）将数列中与数列相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求.
17. 已知函数.
（1）若，求在上的最大值和最小值；
（2）若，当时，证明：恒成立；
（3）若函数在处的切线与直线垂直，且对，恒成立，求实数的取值范围.
18. 已知数列an满足，且.
（1）证明：是等比数列，并求an的通项公式；
（2）在数列bn中，，，求bn的通项公式；
（3）记数列满足，求数列的前项和.
19. 已知函数（为自然对数的底数）．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，的导数在上是增函数，求实数b的最大值；
（3）在（2）的条件下，求证：对一切正整数均成立．