辽宁省营口市大石桥市金桥中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末检测试题【含解析】

这是一份辽宁省营口市大石桥市金桥中学2023-2024学年八年级数学第一学期期末检测试题【含解析】，共18页。试卷主要包含了下列各式是最简二次根式的是，计算，下列实数中，无理数是等内容，欢迎下载使用。

注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列各组线段中（单位：cm），能组成三角形的是（ ）
A．5,15,20B．6,8,15C．2,2.5,3D．3,8,15
2．一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
3．为了筹备班级元旦联欢晚会，班长打算先对全班同学爱吃什么水果进行民意调查，再决定买哪种水果.下面的调查数据中，他最应该关注的是( )
A．众数B．中位数C．平均数D．加权平均数
4．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，则|a﹣b|﹣的结果为( )
A．bB．2a﹣bC．﹣bD．b﹣2a
5．若n边形的内角和等于外角和的3倍，则边数n为（ ）
A．n＝6B．n＝7
C．n＝8D．n＝9
6．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
7．若是完全平方式，与的乘积中不含的一次项，则的值为
A．-4B．16C．4或16D．-4或-16
8．计算：﹣64的立方根与16的平方根的和是（ ）
A．0B．﹣8C．0或﹣8D．8或﹣8
9．下列实数中，无理数是（ ）
A．3.14B．2.12122C．D．
10．从边长为的正方形内去掉-一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若实数x，y满足方程组，则x－y＝______．
12．定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为___．
13．如图，是的中线，是的中线，若，则_________．
14．函数y=中的自变量的取值范围是____________.
15．根据…的规律，可以得出的末位数字是___________．
16．如图，是中边上的中线，点分别为和的中点，如果的面积是，则阴影部分的面积是___________．
17．如图，长方形ABCD中，AD＝8，AB＝4，BQ＝5，点P在AD边上运动，当为等腰三角形时，AP的长为_____．
18．如图，四边形ABCD是正方形，AE⊥BE于点E，且AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是_____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．
（1）求证：BF＝AC；
（2）若BF＝3，求CE的长度．
20．（6分）如图，已知AB∥CD，∠A＝40°．点P是射线AB上一动点(与点A不重合)，CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP交射线AB于点E、F．
(1)求∠ECF的度数；
(2)随着点P的运动，∠APC与∠AFC之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由；
(3)当∠AEC＝∠ACF时，求∠APC的度数．
21．（6分）计算：
(1)
(2)
22．（8分）已知关于x的一元二次方程
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为1．当△ABC是等腰三角形时，求k的值
23．（8分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值．
24．（8分）如图①，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）当点D为AB中点时，判断▱ADEF的形状；
（3）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．
25．（10分）某商场用3000元购进某种商品，由于销售状况良好，商场又用9000元购进这种商品，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进商品比第一次的2倍还多300千克，如果商场按每千克9元出售．
求：（1）该种商品第一次的进价是每千克多少元?
（2）超市销售完这种商品共盈利多少元?
26．（10分）已知，求代数式的值.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】根据三角形三边长的关系：“三角形任意两边之和大于第三边”，逐一判断选项，即可得到答案.
【详解】∵5+15=20，
∴长为5,15,20的线段，不能组成三角形，即：A错误；
∵6+8<15，
∴长为6,8,15的线段，不能组成三角形，即：B错误；
∵2+2.5>3，
∴长为2,2.5,3的线段，能组成三角形，即：C正确；
∵3+8<15，
∴长为3,8,15的线段，不能组成三角形，即：D错误；
故选C.
【点睛】
本题主要考查三角形三边关系，熟记三角形三边关系定理是解题的关键.
2、A
【分析】根据第1~4组的频数求得第5组的频数，再根据即可得到结论．
【详解】解：第5组的频数为：，
∴第5组的频率为：，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率求法是解题关键．
3、A
【解析】众数、中位数、平均数从不同角度反映了一组数据的集中趋势，但该问题应当看最爱吃哪种水果的人最多，故应当用众数．
【详解】此问题应当看最爱吃哪种水果的人最多，应当用众数．
故选A．
【点睛】
本体考查了众数、中位数、平均数的意义，解题时要注意题目的实际意义．
4、A
【分析】由数轴可知a＜0＜b，根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可.
【详解】解：由数轴可知，a＜0＜b，
则a﹣b＜0，
则|a﹣b|﹣＝-(a-b)-(-a)=﹣a+b+a＝b．
故选A．
【点睛】
本题考查的是绝对值和二次根式，熟练掌握绝对值的性质和二次根式的性质是解题的关键.
5、C
【分析】根据n边形的内角和等于外角和的3倍，可得方程180（n-2）=360×3，再解方程即可．
【详解】解：由题意得：180（n-2）=360×3，
解得：n=8，
故选C．
【点睛】
此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
6、D
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
【详解】A. ==，不是最简二次根式，此选项不正确；
B. =，不是最简二次根式，此选项不正确；
C. =，不是最简二次根式，此选项不正确；
D. 是最简二次根式，此选项正确．
故选D．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，熟练掌握概念是解题的关键．
7、C
【解析】利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则确定出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：∵x2+2（m﹣3）x+1是完全平方式，（x+n）（x+2）＝x2+（n+2）x+2n不含x的一次项，
∴m﹣3＝±1，n+2＝0，
解得：m＝4，n＝﹣2，此时原式＝16；
m＝2，n＝﹣2，此时原式＝4，
则原式＝4或16，
故选C．
【点睛】
此题考查了完全平方式，以及多项式乘多项式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．
8、C
【分析】由题意得，﹣64的立方根为﹣4，16的平方根为±4，再计算它们的和即可．
【详解】解：由题意得：
﹣64的立方根为﹣4，16的平方根为±4，
∴﹣4+4＝0或﹣4-4＝-1．
故选：C．
【点睛】
此题考查立方根的定义和平方根的定义，注意：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根．
9、C
【解析】根据无理数的三种形式，结合选项找出无理数的选项．
【详解】3.14和2.12122和都是分数，是有理数；
无理数是，
故选：C．
【点睛】
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
10、B
【分析】分别求出从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形后剩余部分的面积和拼成的矩形的面积，根据面积相等即可得出算式，即可选出选项．
【详解】解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：， 拼成的矩形的面积是：，
∴根据剩余部分的面积相等得：，
故选：B．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】用第一个式子减去第二个式子即可得到，化简可得
【详解】解：
①－②得：
∴
故答案为：1．
【点睛】
本题考查二元一次方程组，重点是整体的思想，掌握解二元一次方程组的方法为解题关键．
12、2.5或1．
【详解】解：当5>x时，5※x=2可化为，解得x=2.5，经检验x=2.5是原分式方程的解；
当5故答案为：2.5或1．
【点睛】
本题考查了新定义运算，弄清题中的新定义是解本题的关键，解题时注意分类讨论思想．
13、18cm2
【分析】根据是的中线可先求到的值，再根据是的中线即可求到的值．
【详解】解：是的中线，
是的中线
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是中线的相关知识，中线将三角形的面积分为相等的两部分．
14、x≠1
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【详解】根据题意得，x-1≠0，
解得：x≠1．
故答案为x≠1．
15、
【分析】由多项式的乘法概括出运算规律，根据规律得到的结果，再根据可得答案．
【详解】解：根据规律得：
（）


个位数每4个循环，

的尾数为8，
的末位数字是
故答案为：
【点睛】
本题考查的与多项式乘法相关的规律，掌握归纳出运算规律是解题的关键．
16、1
【分析】根据三角形面积公式由点D为AB的中点得到S△BCD=S△ADC=S△ABC=8，同理得到S△ADE=S△ACE=S△ACD=4，然后再由点F为AE的中点得到S△DEF=S△ADE=1．
【详解】解：∵点D为BC的中点，
∴S△BCD=S△ADC=S△ABC=8，
∵点E为CD的中点，
∴S△ADE=S△ACE=S△A CD=4，
∵点F为AE的中点，
∴S△DEF=S△ADE=1，
即阴影部分的面积为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了三角形的中线平分面积的性质，掌握基本性质是解题的关键．
17、3或或2或1
【分析】根据矩形的性质可得∠A＝90°，BC＝AD＝1，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，根据勾股定理和垂直平分线等知识即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，BC＝AD＝1，
分三种情况：
①BP＝BQ＝5时，
AP＝＝＝3；
②当PB＝PQ时，作PM⊥BC于M，
则点P在BQ的垂直平分线时，如图所示：
∴AP＝BQ＝；
③当QP＝QB＝5时，作QE⊥AD于E，如图所示：
则四边形ABQE是矩形，
∴AE＝BQ＝5，QE＝AB＝4，
∴PE＝＝＝3，
∴AP＝AE﹣PE＝5﹣3＝2；
④当点P和点D重合时，
∵CQ=3，CD=4，
∴根据勾股定理，PQ=5=BQ，
此时AP=AD=1，
综上所述，当为等腰三角形时，AP的长为3或或2或1；
故答案为：3或或2或1．
【点睛】
此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质、等腰三角形的性质、分类讨论的数学思想和勾股定理是解题关键．
18、1
【分析】由题意可得△ABE是直角三角形,根据勾股定理求出其斜边长度,即正方形边长,再根据割补法求阴影面积即可.
【详解】∵AE⊥BE，
∴△ABE是直角三角形，
∵AE＝3，BE＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴阴影部分的面积＝S正方形ABCD﹣S△ABE＝52﹣×3×4＝25﹣6＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了勾股定理的简单应用,以及割补法求阴影面积,熟练掌握和运用勾股定理是解答关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）见解析；（2）CE＝.
【分析】（1）由三角形的内角和定理，对顶角的性质计算出∠1=∠2，等腰直角三角形的性质得BD=AD，角边角（或角角边）证明△BDF≌△ADC，其性质得BF=AC；（2）等腰三角形的性质“三线合一”证明CE=AC，计算出CE的长度为．
【详解】解:如图所示：
（1）∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠FDB＝∠FEA＝∠ADC＝90°，
又∵∠FDB+∠1+∠BFD＝180°，
∠FEA+∠2+AFE＝180°，
∠BFD＝∠AFE，
∴∠1＝∠2，
又∠ABC＝45°，
∴BD＝AD，
在△BDF和△ADC中， ，
∴△BDF≌△ADC（ASA）
∴BF＝AC；
（2）∵BF＝3，
∴AC＝3，
又∵BE⊥AC，
∴CE＝AE＝＝．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的中线及三角形的内角和定理等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质．
20、（1）70°；（2）不变.数量关系为：∠APC=2∠AFC．（3）70°.
【分析】（1）先根据平行线的性质，得出∠ACD=120°，再根据CE、CF分别平分∠ACP和∠DCP，即可得出∠ECF的度数；
（2）根据平行线的性质得出∠APC=∠PCD，∠AFC=∠FCD，再根据CF平分∠PCD，即可得到∠PCD=2∠FCD进而得出∠APC=2∠AFC；
（3）根据∠AEC=∠ECD，∠AEC=∠ACF，得出∠ECD=∠ACF，进而得到∠ACE=∠FCD，根据∠ECF=70°，∠ACD=140°，可求得∠APC的度数．
【详解】（1）∵AB∥CD，∴∠A+∠ACD=180°，∴∠ACD=180°－40°=140°
∵CE平分∠ACP，CF平分∠DCP，∴∠ACP=2∠ECP，∠DCP=2∠PCF
∴∠ECF=∠ACD=70°
（2）不变.数量关系为：∠APC=2∠AFC．
∵AB∥CD，∴∠AFC=∠DCF，∠APC=∠DCP
∵CF平分∠DCP，∴∠DCP=2∠DCF，∴∠APC=2∠AFC
（3）∵AB∥CD，∴∠AEC=∠ECD
当∠AEC=∠ACF时，则有∠ECD=∠ACF，∴∠ACE=∠DCF
∴∠PCD=∠ACD=70°
∴∠APC=∠PCD=70°
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．
21、（1）2xy+2y2；（2）0
【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式进行计算；
（2）利用多项式除单项式和多项式乘多项式计算法则进行计算．
【详解】（1）
=x2+2xy+y2-（x2-y2）
=2xy+2y2；
（2）
=-3x2+xy+2y2-（3xy-3x2+2y2-2xy）
=-3x2+xy+2y2-xy+3x2-2y2
=0
【点睛】
考查了完全平方公式、平方差公式、多项式除单项式和多项式乘多项式的计算，解题关键是熟记其计算公式和法则．
22、（5）详见解析
（4）或
【分析】（5）先计算出△=5，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（4）先利用公式法求出方程的解为x5=k，x4=k+5，然后分类讨论：AB=k，AC=k+5，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．
【详解】解：（5）证明：∵△=（4k+5）4-4（k4+k）=5＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（4）解：一元二次方程x4-（4k+5）x+k4+k=0的解为x=，即x5=k，x4=k+5，
∵k＜k+5，
∴AB≠AC．
当AB=k，AC=k+5，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；
当AB=k，AC=k+5，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+5=5，解得k=4，
所以k的值为5或4．
【点睛】
5．根的判别式；4．解一元二次方程-因式分解法；5．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质．
23、（1）（2）见解析（3）
【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；
（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°-α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；
（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°-α=15°，求出即可．
【详解】（1）解：∵AB=AC，∠A=α，
∴∠ABC=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）=90°-α，
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°，
即∠ABD=30°-α；
（2）△ABE为等边三角形．
证明：
连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕点B逆时针旋转得到线段BD，
∴BC=BD，∠DBC=60°．
又∵∠ABE=60°，
∴且△BCD为等边三角形．
在△ABD与△ACD中，
∵AB=AC，AD=AD，BD=CD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）．
∴．
∵∠BCE=150°，
∴．
∴．
在△ABD和△EBC中，
∵，，BC=BD，
∴△ABD≌△EBC（AAS）．
∴AB=BE．
∴△ABE为等边三角形．
（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，
∴．
又∵∠DEC=45°，
∴△DCE为等腰直角三角形．
∴DC=CE=BC．
∵∠BCE=150°，
∴．
而．
∴．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．
24、（1）证明见解析；（2）▱ADEF的形状为菱形，理由见解析；（3）四边形AEGF是矩形，理由见解析.
【解析】(1)根据平行线的性质得到∠BDE=∠A，根据题意得到∠DEF=∠BDE，根据平行线的判定定理得到AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明；
(2)根据三角形中位线定理得到DE=AC，得到AD=DE，根据菱形的判定定理证明；
(3)根据等腰三角形的性质得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．
【详解】(1)证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，
∵∠DEF=∠A，
∴∠DEF=∠BDE，
∴AD∥EF，又∵DE∥AC，
∴四边形ADEF为平行四边形；
(2)解：□ADEF的形状为菱形，
理由如下：∵点D为AB中点，
∴AD=AB，
∵DE∥AC，点D为AB中点，
∴DE=AC，
∵AB=AC，
∴AD=DE，
∴平行四边形ADEF为菱形，
(3)四边形AEGF是矩形，
理由如下：由(1)得，四边形ADEF为平行四边形，
∴AF∥DE，AF=DE，
∵EG=DE，
∴AF∥DE，AF=GE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AD=AG，EG=DE，
∴AE⊥EG，
∴四边形AEGF是矩形．
故答案为：(1)证明见解析；(2)菱形；(3)矩形.
【点睛】
本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．
25、（1）该种干果的第一次进价是每千克5元；（2）6900元
【分析】（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解；
（2）根据利润=售价-进价，可求出结果．
【详解】（1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克（1+20%）x元，
由题意，得，
解得x=5，
经检验x=5是方程的解．
答：该种干果的第一次进价是每千克5元；
（2）
=（600+1500）×9-12000
=2100×9-12000
=6900（元）．
答：超市销售这种干果共盈利6900元
【点睛】
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
26、11
【解析】先求出m+n和mn的值，再根据完全平方公式变形，代入求值即可.
【详解】∵，
∴m+n=2，mn=1
∴＝.
【点睛】
此题考查了二次根式的混合运算法则，完全平方公式的应用，主要考查了学生的计算能力，题目较好.