数学第一册下册平面向量数量积的坐标表示课时作业

这是一份数学第一册下册平面向量数量积的坐标表示课时作业，共6页。试卷主要包含了已知A，B，C，则△ABC是，已知a＝，b＝，设平面三点A，B，C，等内容，欢迎下载使用。

A．23 B．57
C．63 D．83
2．已知A(2,1)，B(3,2)，C(－1,4)，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
3．若a＝(2，－3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为( )
A．(3,2)
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3 \r(13),13)，\f(2 \r(13),13)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3 \r(13),13)，\f(2 \r(13),13)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3 \r(13),13)，－\f(2 \r(13),13)))
D．以上都不对
4．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)．若2a－b与b垂直，则|a|＝( )
A．1 B.eq \r(2)
C．2 D．4
5．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为( )
A．－eq \f(9,2) B．0
C．3 D.eq \f(15,2)
6．已知a＝(1，eq \r(3))，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.
7．若a＝(3，－1)，b＝(x，－2)，且〈a，b〉＝eq \f(π,4)，则x＝________.
8．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)·b，则|c|等于________．
9．已知a＝(1,2)，b＝(1，－1)．
(1)若θ为2a＋b与a－b的夹角，求θ的值；
(2)若2a＋b与ka－b垂直，求k的值．
10．设平面三点A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，
(1)试求向量2eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))的模；
(2)若向量eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(AC,\s\up7(―→))的夹角为θ，求cs θ.
11．已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|＝( )
A.eq \r(2) B．2
C．5eq \r(2) D．50
12．若a＝(x,2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则实数x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10,3))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，＋∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，＋∞))
13．已知向量a＝(1,0)，b＝(cs θ，sin θ)，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则|a＋b|的取值范围是( )
A．[0，eq \r(2) ] B．[0,2 ]
C．[1,2] D．[eq \r(2)，2]
14．已知O为坐标原点，向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(2,2)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(4,1)，在x轴上有一点P，使eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(BP,\s\up7(―→))有最小值，则点P的坐标是( )
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(4,0)
15．已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cs〈a，b〉＝________.
16．如果正方形OABC的边长为1，点D，E分别为AB，BC的中点，那么cs∠DOE的值为________．
17．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|c|＝2eq \r(5)，且c∥a，求c的坐标；
(2)若|b|＝eq \f(\r(5),2)，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.
18．已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，eq \(OA,\s\up7(―→))＝(4,0)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(2,2eq \r(3))，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(1－λ)eq \(OA,\s\up7(―→))＋λeq \(OB,\s\up7(―→)) (λ2≠λ)．
(1)求eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))及eq \(OA,\s\up7(―→))在eq \(OB,\s\up7(―→))上的投影向量；
(2)证明A，B，C三点共线，且当eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))时，求λ的值；
(3)求|eq \(OC,\s\up7(―→))|的最小值．
参考答案与解析
1．解析：选D 3|a|2－4a·b＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.故选D.
2．解析：选B cs A＝eq \f(\(AB,\s\up7(―→))·\(AC,\s\up7(―→)),|\(AB,\s\up7(―→))||\(AC,\s\up7(―→))|)＝eq \f(1，1·－3，3,\r(2)·3\r(2))＝0，则A＝eq \f(π,2).故选B.
3．解析：选C 设与a垂直的向量为单位向量(x，y)，
∵(x，y)是单位向量，
∴eq \r(x2＋y2)＝1，即x2＋y2＝1，①
而且(x，y)表示的向量垂直于a.
∴2x－3y＝0，②
由①②得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3 \r(13),13)，,y＝\f(2 \r(13),13)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(3 \r(13),13)，,y＝－\f(2 \r(13),13).))故选C.
4．解析：选C 由2a－b与b垂直，得(2a－b)·b＝0，即2a·b－b2＝0.故2(－1＋n2)－(1＋n2)＝0，解得n2＝3.所以，|a|＝ eq \r(1＋n2)＝eq \r(1＋3)＝2.故选C.
5．解析：选C ∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，即(2k－3)×2＋(－6)＝0，解得k＝3.故选C.
6．解析： 因为a＋b＝(－1，eq \r(3))，所以|a＋b|＝eq \r(－12＋\r(3)2)＝2.
答案：2
7．解析：cseq \f(π,4)＝eq \f(3x＋2,\r(10)×\r(x2＋4))，解得x＝1或x＝－4(舍)．
答案：1
8．解析：易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1,2)＝(8，－8)，所以|c|＝ eq \r(82＋－82)＝8eq \r(2).
答案：8eq \r(2)
9．解：(1)因为a＝(1,2)，b＝(1，－1)，
所以2a＋b＝(3,3)，a－b＝(0,3)．
所以cs θ＝eq \f(2a＋b·a－b,|2a＋b||a－b|)＝eq \f(9,9\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,4).
(2)ka－b＝(k－1,2k＋1)，依题意(3,3)·(k－1,2k＋1)＝0，
所以3k－3＋6k＋3＝0. 所以k＝0.
10．解：(1)因为A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，
所以eq \(AB,\s\up7(―→))＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
eq \(AC,\s\up7(―→))＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)．
所以2eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)．
所以|2eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))|＝ eq \r(－12＋72)＝5eq \r(2).
(2)由(1)知eq \(AB,\s\up7(―→))＝(－1,1)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(1,5)，
所以cs θ＝eq \f(－1，1·1，5,\r(－12＋12)×\r(12＋52))＝eq \f(2\r(13),13).
11．解析：选A ∵ a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，
∴ |a－b|＝ eq \r(－12＋12)＝eq \r(2).故选A.
12．解析：选C x应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a，b不共线，解得x＞eq \f(10,3)，且x≠－eq \f(6,5)，∴x＞eq \f(10,3).故选C.
13．解析：选D |a＋b|＝eq \r(1＋cs θ2＋sin θ2)＝eq \r(2＋2cs θ). ∵θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴cs θ∈[0,1]．∴|a＋b|∈[eq \r(2)，2]．故选D.
14．解析：选C 设P(x,0)，则eq \(AP,\s\up7(―→))＝(x－2，－2)，eq \(BP,\s\up7(―→))＝(x－4，－1)，∴eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(BP,\s\up7(―→))＝(x－2)(x－4)＋2＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，故当x＝3时，eq \(AP,\s\up7(―→))·eq \(BP,\s\up7(―→))最小，此时点P的坐标为(3,0)．故选C.
15．解析：∵ a＝(2,2)，b＝(－8,6)，
∴ a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，
|a|＝ eq \r(22＋22)＝2eq \r(2)，|b|＝ eq \r(－82＋62)＝10.
∴ cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－4,2\r(2)×10)＝－eq \f(\r(2),10).
答案：－eq \f(\r(2),10)
16．解析：法一：以O为坐标原点，OA，OC所在的直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则由已知条件，可得eq \(OD,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，eq \(OE,\s\up7(―→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
故cs∠DOE＝eq \f(\(OD,\s\up7(―→))·\(OE,\s\up7(―→)),|\(OD,\s\up7(―→))||\(OE,\s\up7(―→))|)＝eq \f(1×\f(1,2)＋\f(1,2)×1,\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝eq \f(4,5).
法二：∵eq \(OD,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up7(―→))，
eq \(OE,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))＋eq \(CE,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(―→))，
∴|eq \(OD,\s\up7(―→))|＝eq \f(\r(5),2)，|eq \(OE,\s\up7(―→))|＝eq \f(\r(5),2)，eq \(OD,\s\up7(―→))·eq \(OE,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(―→))2＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up7(―→))2＝1，∴cs∠DOE＝eq \f(\(OD,\s\up7(―→))·\(OE,\s\up7(―→)),| \(OD,\s\up7(―→)) ||\(OE,\s\up7(―→))|)＝eq \f(4,5).
答案：eq \f(4,5)
17．解：(1)设c＝(x，y)，∵|c|＝2eq \r(5)，∴eq \r(x2＋y2)＝2eq \r(5)，∴x2＋y2＝20.
由c∥a和|c|＝2eq \r(5)，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1·y－2·x＝0，,x2＋y2＝20，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝－4.))
故c＝(2,4)或c＝(－2，－4)．
(2)∵(a＋2b)⊥(2a－b)，∴(a＋2b)·(2a－b)＝0，
即2a2＋3a·b－2b2＝0，
∴2×5＋3a·b－2×eq \f(5,4)＝0，整理得a·b＝－eq \f(5,2)，
∴cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－1.又θ∈[0，π]，∴θ＝π.
18．解：(1)eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＝4×2＋0×2eq \r(3)＝8，
设eq \(OA,\s\up7(―→))与eq \(OB,\s\up7(―→))的夹角为θ，
则cs θ＝eq \f(\(OA,\s\up7(―→))·\(OB,\s\up7(―→)),| \(OA,\s\up7(―→))||\(OB,\s\up7(―→))|)＝eq \f(8,4×4)＝eq \f(1,2)，
∴eq \(OA,\s\up7(―→))在eq \(OB,\s\up7(―→))上的投影向量为|eq \(OA,\s\up7(―→))|cs θeq \f(\(OB,\s\up7(―→)),|\(OB,\s\up7(―→))|)＝4×eq \f(1,2)×eq \f(2，2 \r(3),4)＝(1，eq \r(3))．
(2)证明：∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝(－2,2eq \r(3))，
eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))＝(1－λ)eq \(OA,\s\up7(―→))－(1－λ)eq \(OB,\s\up7(―→))＝(λ－1)eq \(AB,\s\up7(―→))，且λ2≠λ，
∴A，B，C三点共线．
当eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))时，λ－1＝1，所以λ＝2.
(3)|eq \(OC,\s\up7(―→))|2＝(1－λ)2eq \(OA,\s\up7(―→))2＋2λ(1－λ)eq \(OA,\s\up7(―→))·eq \(OB,\s\up7(―→))＋λ2eq \(OB,\s\up7(―→))2
＝16λ2－16λ＋16＝16eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(λ－\f(1,2)))2＋12，
∴当λ＝eq \f(1,2)时，|eq \(OC,\s\up7(―→))|取得最小值，为2eq \r(3).