人教版高中数学选择性必修第二册-第六章-单元检测（含解析）

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第六章　单元质量评估卷(原卷版）[时间：120分钟　　满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，向量eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AC,\s\up6(→))＝b，eq \o(CD,\s\up6(→))＝c，则向量eq \o(BD,\s\up6(→))可以表示为(　　)A．a＋b－c　　　　　　　 B．a－b＋cC．b－a＋c D．b－a－c2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq \o(EB,\s\up6(→))＋eq \o(FC,\s\up6(→))＝(　　)A.eq \o(AD,\s\up6(→)) B.eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up6(→))C.eq \o(BC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up6(→))3．向量a＝(－1，1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是(　　)A．(－1，1) B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，1)4．已知△ABC中，a＝4，b＝4eq \r(3)，A＝30°，则B等于(　　)A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°5．△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为(　　)A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)C.eq \f(π,2) D.eq \f(2π,3)6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱高度，某人在喷水柱正西方向的D处测得水柱顶端A的仰角为45°，沿D向北偏东30°方向前进100 m后到达C处，在C处测得水柱顶端A的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m7．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝eq \r(6)，cos A＝eq \f(7,8)，则△ABC的面积S为(　　)A.eq \f(\r(15),2) B.eq \r(15)C.eq \f(8\r(15),5) D．6eq \r(3)8.如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，则eq \o(AB,\s\up6(→))·eq \o(AD,\s\up6(→))＝(　　)A．10 B．11C．12 D．13二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是(　　)A．(4，－8) B．(8，4)C．(－4，－8) D．(－4，8)10．若a，b，a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则(　　)A．a＝b B．a·(a＋b)＝b·(a＋b)C．|a|＝|b| D．|a＋b|＝|a－b|11．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cos B可以是(　　)A．－eq \f(\r(5),3) B.eq \f(2,3)C．－eq \f(2,3) D.eq \f(\r(5),3)12．△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足eq \o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq \o(AC,\s\up6(→))＝2a＋b，则下列结论正确的是(　　)A．|b|＝1 B．|a|＝1C．a∥b D．(4a＋b)⊥eq \o(BC,\s\up6(→))三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．14．同一平面内的三个单位向量a，b，c两两夹角都是eq \f(2π,3)，则a－b与a＋c的夹角是________．15．在△ABC中，已知D为BC边上一点，BC＝3BD，AD＝eq \r(2)，∠ADB＝135°，若AC＝eq \r(2)AB，则BD＝________．16．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为______m，乙楼高为________m．(本题第一空2分，第二空3分)四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知|a|＝2|b|＝2，且向量a在向量b上的投影向量为－eq \f(b,|b|)，求：(1)a与b的夹角θ；(2)(a－2b)·b.18．(12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且eq \o(OP,\s\up6(→))＝xeq \o(OA,\s\up6(→))＋yeq \o(OB,\s\up6(→)).(1)若eq \o(AP,\s\up6(→))＝eq \o(PB,\s\up6(→))，求x，y的值；(2)若eq \o(AP,\s\up6(→))＝3eq \o(PB,\s\up6(→))，|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝4，|eq \o(OB,\s\up6(→))|＝2，且eq \o(OA,\s\up6(→))与eq \o(OB,\s\up6(→))的夹角为60°，求eq \o(OP,\s\up6(→))·eq \o(AB,\s\up6(→))的值．19．(12分)设向量a＝(cos α，sin α)(0≤α0)，则△ABC为(　　)A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．不确定12．已知点A(2，3)，C(0，1)，且eq \o(AB,\s\up6(→))＝－2eq \o(BC,\s\up6(→))，则点B的坐标为________．13．已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cos Bcos C－sin Bsin C＝eq \f(1,2).(1)求A；(2)若a＝2eq \r(3)，b＋c＝4，求△ABC的面积．14．已知|a|＝3，|b|＝4，且满足(2a－b)·(a＋2b)≥4，求a与b的夹角θ的范围．15．(1)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，求a与b的夹角θ；(2)设O为坐标原点，eq \o(OA,\s\up6(→))＝(2，5)，eq \o(OB,\s\up6(→))＝(3，1)，eq \o(OC,\s\up6(→))＝(6，3)，在线段OC上是否存在点M，使eq \o(MA,\s\up6(→))⊥eq \o(MB,\s\up6(→))，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.(1)求证：(a－b)⊥c；(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．17．在△ABC中，C－A＝eq \f(π,2)，sin B＝eq \f(1,3).(1)求sin A的值；(2)设AC＝eq \r(6)，求△ABC的面积．第六章　单元质量评估卷(解析版）[时间：120分钟　　满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，向量eq \o(AB,\s\up6(→))＝a，eq \o(AC,\s\up6(→))＝b，eq \o(CD,\s\up6(→))＝c，则向量eq \o(BD,\s\up6(→))可以表示为(　　)A．a＋b－c　　　　　　　 B．a－b＋cC．b－a＋c D．b－a－c答案　C解析　依题意得，eq \o(BD,\s\up6(→))＝eq \o(AD,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))＝eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(CD,\s\up6(→))－eq \o(AB,\s\up6(→))，即eq \o(BD,\s\up6(→))＝b－a＋c.故选C.2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则eq \o(EB,\s\up6(→))＋eq \o(FC,\s\up6(→))＝(　　)A.eq \o(AD,\s\up6(→)) B.eq \f(1,2)eq \o(AD,\s\up6(→))C.eq \o(BC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,2)eq \o(BC,\s\up6(→))答案　A解析　eq \o(EB,\s\up6(→))＋eq \o(FC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(CB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→)))＝eq \o(AD,\s\up6(→)).故选A.3．向量a＝(－1，1)，且a与a＋2b方向相同，则a·b的取值范围是(　　)A．(－1，1) B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞) D．(－∞，1)答案　B解析　依题意可设a＋2b＝λa(λ>0)，则b＝eq \f(1,2)(λ－1)a，∴a·b＝eq \f(1,2)(λ－1)a2＝eq \f(1,2)(λ－1)×2＝λ－1>－1.4．已知△ABC中，a＝4，b＝4eq \r(3)，A＝30°，则B等于(　　)A．30° B．30°或150°C．60° D．60°或120°答案　D解析　由正弦定理，得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).所以sin B＝eq \f(b,a)sin A＝eq \f(4\r(3),4)sin 30°＝eq \f(\r(3),2).又a1.∵a·b＝a·c＝b·c＝cos 120°＝－eq \f(1,2)，∴k2－2k>0，∴k2.17．在△ABC中，C－A＝eq \f(π,2)，sin B＝eq \f(1,3).(1)求sin A的值；(2)设AC＝eq \r(6)，求△ABC的面积．解析　(1)由C－A＝eq \f(π,2)和A＋B＋C＝π，得2A＝eq \f(π,2)－B，0