人教版第一册上册数列综合训练题

这是一份人教版第一册上册数列综合训练题，共12页。
1．等差数列{an}：－eq \r(2)，0，eq \r(2)，…的第15项为( )
A．11eq \r(2) B．12eq \r(2)
C．13eq \r(2) D．14eq \r(2)
2．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6＝( )
A．12 B．18
C．24 D．42
4．若等差数列{an}满足an>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
5．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为( )
A.eq \f(17,6) 升 B.eq \f(7,2) 升
C.eq \f(113,66) 升 D.eq \f(109,33) 升
6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1·a2·a3＝27，则a6＝( )
A．27 B．81
C．243 D．729
7．数列{an}中，a1＝1，对所有n≥2，都有a1a2a3…an＝n2，则a3＋a5＝( )
A.eq \f(61,16) B.eq \f(25,9)
C.eq \f(25,16) D.eq \f(31,15)
8．小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为p，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还( )
A.eq \f(M,10)万元 B.eq \f(Mp（1＋p）10,（1＋p）10－1)万元
C.eq \f(p（1＋p）10,10)万元 D.eq \f(Mp（1＋p）9,（1＋p）9－1)万元
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题不正确的是( )
A．若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n－1，则数列{an}是等差数列
B．若等差数列{an}的公差d>0，则{an}是递增数列
C．常数列{an}既是等差数列，又是等比数列
D．若等比数列{an}是递增数列，则{an}的公比q0，S10＝S20，则( )
A．d0，则{an}是递增数列
C．常数列{an}既是等差数列，又是等比数列
D．若等比数列{an}是递增数列，则{an}的公比q0，则an＋1>an，故正确；对于C，当an＝0时，该常数列不是等比数列，故错误；对于D，若等比数列{an}是递增数列，则当a1>0时，q>1，故错误．故选ACD.
10．将等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则( )
A．d2 020，k的最小值为10.
若选②，
因为a3＝12，q＝eq \f(1,2)，所以a1＝48.
所以Sn＝eq \f(48×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝96eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))).
因为Sn2 020，整理得(－2)k2 019，
当k＝9时，29＝512＜2 019，当k＝11时，211＝2 048＞2 019，
所以存在正整数k，使得Sk>2 020，k的最小值为11.
20．(12分)设正项等比数列{an}的首项a1＝eq \f(1,2)，前n项和为Sn，且210S30－(210＋1)S20＋S10＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{nSn}的前n项和Tn.
解析 (1)设数列{an}的公比为q.由210S30－(210＋1)S20＋S10＝0，得210(S30－S20)＝S20－S10.
∵S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，
∴eq \f(S30－S20,S20－S10)＝q10＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(10).
∵an＞0，∴q＝eq \f(1,2)，∴an＝a1qn－1＝eq \f(1,2n)(n∈N*)．
(2)∵{an}是首项a1＝eq \f(1,2)，公比q＝eq \f(1,2)的等比数列，
∴Sn＝eq \f(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝1－eq \f(1,2n)，nSn＝n－eq \f(n,2n).
则数列{nSn}的前n项和为
Tn＝(1＋2＋…＋n)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(2,22)＋…＋\f(n,2n)))， ①
则eq \f(Tn,2)＝eq \f(1,2)(1＋2＋…＋n)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,22)＋\f(2,23)＋…＋\f(n－1,2n)＋\f(n,2n＋1)))，②
①－②，得
eq \f(Tn,2)＝eq \f(1,2)(1＋2＋…＋n)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,22)＋…＋\f(1,2n)))＋eq \f(n,2n＋1)
＝eq \f(n（n＋1）,4)－eq \f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＋eq \f(n,2n＋1)，
即Tn＝eq \f(n（n＋1）,2)＋eq \f(1,2n－1)＋eq \f(n,2n)－2.
21．(12分)已知数列{an}的首项a1＝eq \f(5,3)，且3an＋1＝an＋2，n∈N*.
(1)求证：数列{an－1}为等比数列；
(2)若a1＋a2＋…＋an