2024辽阳高二下学期期末考试数学含解析

这是一份2024辽阳高二下学期期末考试数学含解析，共18页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， “”是“”的， 函数的图象大致为， 已知，则的最小值为， 下列命题是假命题的是， 某种退烧药能够降低的温度等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册，必修第一册，必修第二册第四章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列命题是真命题的是（ ）
A. “”是全称量词命题
B. 成等差数列
C. “”是存在量词命题
D. 成等比数列
2 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 曲线在点处的切线斜率为（ ）
A. B. C. D.
4. 若等比数列满足，则其公比为（ ）
A. B. C. D.
5. “”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. 8C. D. 10
8. 已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 函数有极值点
B. 是奇函数
C. 函数无最大值
D. “”的否定是“”
10. 某种退烧药能够降低的温度（单位：）是血液中该药物含量单位：）的函数，且，其中是一个常数，则（ ）
A. 在上单调递减
B. 当这种退烧药在血液中的含量为时，能够降低的温度最大
C. 在上单调递增
D. 当这种退烧药在血液中的含量为时，能够降低的温度最大
11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A.
B.
C. 方程有唯一实数解
D. 函数有最小值
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ______.
13. 设的个位数为，则__________.
14. 已知函数有3个零点，则的取值范围为__________；若成等差数列，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 设依次是等比数列的前3项，其中为正数.
（1）求；
（2）求数列的前项和.
16. 已知函数且.
（1）当时，求在上的值域；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）若函数为上的增函数，求的取值范围.
17 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，求在上的最小值与最大值.
18. 已知数列满足且.
（1）求的通项公式.
（2）设的前项和为，表示不大于的最大整数.
①求；
②证明：当时，为定值.
19. 若存实数，对任意，使得函数，则称在上被控制.
（1）已知函数在上被控制，求的取值范围.
（2）(i)证明：函数在上被1控制.
(ii)设，证明：.
高二考试数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第三册，必修第一册，必修第二册第四章.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列命题是真命题的是（ ）
A. “”是全称量词命题
B. 成等差数列
C. “”是存在量词命题
D. 成等比数列
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在量词和全称量词判断A,C选项，应用等比中项及等差中项判断B,D选项.
【详解】是存在量词命题，是全称量词命题，A，C均为假命题.
,B为假命题，D为真命题.
故选：D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式求出集合，解指数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.
详解】由，即，解得，
所以，
由，解得，
所以，
又，则，所以.
故选：D
3. 曲线在点处的切线斜率为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出切线的斜率即可.
【详解】因为，所以曲线在点处的切线斜率为.
故选：A.
4. 若等比数列满足，则其公比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列满足，得到，两式相比得，再求得验证即可.
【详解】因为，
所以等比数列的公比，
又，
所以，
所以，
即等比数列的公比为.
故选：C.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的概念即可判断.
【详解】因为，
所以能推出，且不能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性排除C,D;再由函数的零点只有三个，排除B即得.
【详解】因为，所以是偶函数，排除C，D;
因为在上的零点有共三个，排除B.
故选:A.
7. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. 8C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件，应用1的活用常值代换结合基本不等式求出最值.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当即时，等号成立.
故的最小值为.
故选：C.
8. 已知定义域均为的函数的导函数分别为，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用函数导数的四则运算构造新,，则用新函数的单调性解题即可.
【详解】令，则，所以单调递减．
由，
得，所以．
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 函数有极值点
B. 是奇函数
C. 函数无最大值
D. “”的否定是“”
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用导函数的正负性即可判断A选项，利用奇函数的定义可以判断B选项，利用基本不等式可以判断C选项，求存在量词命题的否定规则可以判断D选项.
【详解】对于A，因为，所以为增函数，则无极值点，A是假命题.
对于B，因为，所以是奇函数，B是真命题.
对于C，，当且仅当时，等号成立，所以函数有最大值，是假命题.
对于D，“”的否定是“”，D是假命题.
故选：ACD.
10. 某种退烧药能够降低的温度（单位：）是血液中该药物含量单位：）的函数，且，其中是一个常数，则（ ）
A. 在上单调递减
B. 当这种退烧药在血液中的含量为时，能够降低的温度最大
C. 在上单调递增
D. 当这种退烧药在血液中的含量为时，能够降低的温度最大
【答案】CD
【解析】
【分析】运用导数研究单调性，进而得到极值最值即可.
【详解】，
当时，，所以在上单调递增;
当时，，在上单调递减．
所以均错误，均正确.
故选：CD．
11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A.
B.
C. 方程有唯一的实数解
D. 函数有最小值
【答案】ABD
【解析】
【分析】赋值法令，求解判断A；令，求出.令，求出，因为为增函数，且，判断 B；等价于.设，用零点存在性定理判断C;因为，所以函数有最小值，判断D.
【详解】令，得.
因为，所以，即，A正确.
令，得，由，得.
又，所以.
令，得，即，所以，
因为为增函数，且，所以，B正确.
所以等价于.设，因为，所以在上必有一个零点，又，
所以的零点不唯一，从而方程的实数解不唯一，C错误.
因为，所以函数有最小值，D正确.
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 ______.
【答案】13
【解析】
【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算性质计算可得.
【详解】
故答案为：
13. 设的个位数为，则__________.
【答案】279
【解析】
【分析】先计算确定数列的周期性，再结合应用数列的周期计算即可.
【详解】因为的个位数分别为，
所以数列是周期为4的周期数列，所以.
故答案为：279.
14. 已知函数有3个零点，则的取值范围为__________；若成等差数列，则__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】运用三次函数性质，结合导数和等差数列知识解题即可.
【详解】，令，得，函数单调递减；
令，得或，函数单调递增.
所以的极大值为的极小值为.
因为有3个零点，所以解得.
设，则，令，得，
由于，三次函数曲线关于点对称.
若成等差数列，则，解得.
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：本题运用导数来研究三次函数的单调性和极值，与零点，对称性，数列知识综合，属于中档题.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 设依次是等比数列的前3项，其中为正数.
（1）求；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）运用等比数列的性质公式求解即可；
（2）运用分组求和,结合对数性质计算即可.
【小问1详解】
依题意可得，
整理得，解得或1.
因为为正数，所以，
所以的前3项依次是，所以.
【小问2详解】
由（1）知，
所以，
所以
.
16. 已知函数且.
（1）当时，求在上的值域；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）若函数为上的增函数，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）.
【解析】
【分析】（1）根据增函数加增函数为增函数的结论得到的单调性，从而得到其值域；
（2）对分和讨论即可；
（3）根据分段函数单调性得到不等式组，解出即可.
【小问1详解】
当时，，因为均为增函数，
所以为增函数，
所以，
，
所以当时，在上的值域为.
【小问2详解】
的定义域为.
当时，因为均为增函数，
所以为增函数，因为，
所以不等式的解集为.
当时，因为均为减函数，
所以为减函数，
所以不等式的解集为.
【小问3详解】
依题意可得，
解得，即的取值范围为.
17. 已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，求在上的最小值与最大值.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）先求导函数再根据导数正负求出单调区间即可；
（2）先根据函数的单调性结合自变量的区间分类讨论求最值即可；
【小问1详解】
.
令，得；
令，得；令，得.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
当时，.
由（1）知，在处取得极大值，且极大值为.
当时，在上单调递增，
.
当时，，
若，则，
因为，所以.
18. 已知数列满足且.
（1）求的通项公式.
（2）设的前项和为，表示不大于的最大整数.
①求；
②证明：当时，为定值.
【答案】（1）
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）构造数列，结合等差数列定义计算即可得；
（2）①借助错位相减法计算即可得；②构造数列，结合数列单调性可得当时，，即可得为定值.
【小问1详解】
由，则，即，
则数列是以为公差的等差数列，又，
故，即；
【小问2详解】
①由，则，
，
则
，
故；
②令，则，
则，
故数列为单调递减数列，又，
故当时，，故，
即当时，恒成立，即为定值.
19. 若存在实数，对任意，使得函数，则称在上被控制.
（1）已知函数在上被控制，求的取值范围.
（2）(i)证明：函数在上被1控制.
(ii)设，证明：.
【答案】（1）
（2）(i)证明见解析；(ii)证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据概念即求在上恒成立，利用导数分类求得的最小值即得；
（2）(i)利用导数证明不等式在上恒成立；
(ii)根据(i)得利用裂项相消法可证.
【小问1详解】
令，，
则，
当时，，所以在上单调递增，
因为，所以恒成立.
当时，令，得，
所以上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
【小问2详解】
(i)要证明函数在上被1控制，
只需证明，即证.
令，
可得.
当时，，即在区间上单调递增，
所以，原命题得证.
(ii)由(i)可知，当时，，
则，即，
则有，
即，
故.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.