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浙教版九年级上册4.3 相似三角形同步达标检测题
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这是一份浙教版九年级上册4.3 相似三角形同步达标检测题，文件包含浙教版九年级上册数学同步训练43-44相似三角形及判定答案docx、浙教版九年级上册数学同步训练43-44相似三角形及判定原题docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E、F分别为AC、BC的中点，连接EF，H为AE的中点，过点H作HD⊥AC，交BC于点D，连接DE，则与△ABC相似（不含△ABC）的三角形个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解：∵E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∵HD⊥AC，
∴∠DHC=∠ABC=90°，
又∵∠C=∠C，
∴△CAB∽△CDH，
故选：B．
2．如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A．①与③B．②与③C．①与④D．③与④
【答案】A
【详解】解：图形①的三边为：2,10,2；
图形②的三边为：3,5,2；
图形③的三边为：2,22,25；
图形④的三边为：3,17,2；
∵222=22=1025=22，
∴①与③相似，
故选：A．
3．如图，H是平行四边形ABCD的边AD上一点，且AH=12DH，BH与AC相交于点K，那么AK：KC等于（ ）
A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4
【答案】C
【详解】解：∵AH=12DH，
∴AH：AD=13，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AH：BC=13
∴△AHK∽△CBK，
∴AKKC=AHBC=13
故选：C．
4．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C． AB2=AD⋅AC D． AB⋅BC=AD⋅DB
【答案】D
【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD⋅AC，
∴ ACAB=ABAD，∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，故此选项不合题意；
D、AB⋅BC=AD⋅DB，不存在夹角相等，不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
5．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A、C的对应点分别为D、E，边DE交BC于点F，连接CE，下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．△BAD与△BCEB．△BDF与△ECF
C．△BAC与△BDED．△DBF与△CEB
【答案】D
【详解】解：根据旋转的性质得，△ABC≌△DBE，
∴AB=DB，∠ABC=∠DBE，BC=BE，∠A=∠BDE，∠ACB=∠DEB，
∴∠ABD=∠CBE，ABBC=DBBE，
∴△BAD∽△BCE，故A不符合题意；
∵∠ABD=∠CBE，AB=BD，BC=BE，
∴∠A=∠BDA=∠BCE=∠BEC，
∴∠BDF=∠ECF，
又∵∠BFD=∠EFC，
∴△BDF∽△ECF，故B不符合题意；
又∠ABC=∠DBE，ABBD=CEBE，
∴△BAC∽△BDE，故C不符合题意；
根据题意，无法求解△DBF与△CEB相似，
故D符合题意；
故选：D．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．连接AC、OC、BC和BD．现从△ABC，△ACE，△OCE，△BCE中任取两个三角形，恰好都和△BDE相似的概率是（ ）
A．916B．13C．1D．12
【答案】D
【详解】解：∵弦CD⊥AB，
∴CE=DE，∠BEC=∠BED=∠AEC=90°，
∵BE=BE，
∴△BCE≌△BDE，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=BC，
∴∠BAC=∠BDC，
∴△ABC∽△ABC，△ACE∽△ABC，
∴与△BDE相似的三角形有：△ABC，△ACE，△BCE，
∵ △ABC，△ACE，△OCE，△BCE中任取两个三角形有6种可能，两个都与△BDE相似的情况有3种，
∴从△ABC，△ACE，△OCE，△BCE中任取两个三角形，恰好都和△BDE相似的概率是36=12，
故选：D．
7．如图，在△ABC纸片中，∠C=90°，BC=5，AC=7，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：如图1，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
故A不符合题意；
如图2，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE=90°，
∵∠C=90°，
∴∠AFE=∠C，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
故B不符合题意；
如图3，
∵BC=5,AC=7,HC=2.5,GC=3.5，
∴HCBC=2.55=12，GCAC=3.57=12，
∴HCBC=GCAC，
∵∠GCH=∠ACB，
∴△GHC∽△ABC，
故C不符合题意；
如图4，
∵BC=5,AC=7,LC=2,KC=3，
∴LCBC=25，KCAC=37，
∴LCBC≠RCAC，
假设△KLC∽△ABC，
∵∠KCL=∠ACB，
∴LCBC=KCAC，与已知条件不符，
∴△KLC与△ABC不相似，
故D符合题意，
故选：D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．所有的矩形都是相似形B．对应边成比例的两个多边形相似
C．对应角相等的两个多边形相似D．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
【答案】D
【详解】解：A、对应角都相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意；
B、对应边成比例，但对应角不一定相等，故此选项不符合题意；
C、对应角相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意；
D、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项符合题意；
故选：D．
9．下列两个图形一定是相似图形的是（ ）
A．菱形B．矩形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【详解】解：A、两个菱形的对应角不一定相等，对应边的比相等，故两个菱形不一定是相似图形，此选项不符合题意；
B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故两个矩形不一定是相似图形，此选项不符合题意；
C、两个等腰三角形对应边的比不一定相等，对应角不一定相等，故两个等腰三角形不一定是相似图形，此选项不符合题意；
D、两个等腰直角三角形的对应边的比相等，对应角相等，故等腰直角三角形一定相似，此选项符合题意；
故选：D．
10．下面几对图形中，相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】根据题意得：C选项的两个图象，形状相同、对应角相等、对应边成比例，为相似图形，
故选：C．
11．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：① GF∥EC；② AB=435AD；③ GE=6DF；④ OC=22OF；⑤ △COF∼△CEG．其中正确的是 ．
【答案】①③④
【详解】解：由折叠性质可得，DG=OG=AG，AE=OE=BE，OC=BC，∠DGF=∠FGO，∠AGE=∠OGE，∠AEG=∠OEG，∠OEC=∠BEC，∠BCE=∠OCE，
∴∠FGE=∠FGO+∠OGE=90°，∠GEC=∠OEG+∠OEC=90°，
∴∠FGE+∠GEC=180°，
∴GF∥CE，故①正确；
设AD=BC=2a，AB=2b，则DG=OG=AG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=3a，
在Rt△CGE中，CG2=GE2+CE2，
∴3a2=a2+b2+b2+2a2，
解得b=2a，
∴AB=2AD，故②错误；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b−x=22a−x，
∴x2+2a2=22a−x2，
解得x=22a，
∴6DF=6×22a=3a，22OF=22×22a=2a，
在Rt△AGE中，
GE=AG2+AE2=a2+b2=a2+2a2=3a，
∴GE=6DF，OC=22OF，故③④正确；
∵CE=BC2+BE2=2a2+b2=2a2+2a2=6a，
∴CEGE=6a3a=2，
又∵COOF=2a22a=22，
∴CEGE≠COOF，
∴△COF与△CEG不相似，故⑤错误；
综上，正确的是①③④，
故答案为：①③④．
12．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AB=4，AC=6．当AD= 时，△ABC∽△ACD．
【答案】9
【详解】解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
当ABAC=ACAD时，△ABC∽△ACD，
即：AC2=AB⋅AD，
∵AB=4，AC=6，
∴62=4AD，
∴AD=9；
故答案为：9．
13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE⊥BC于点E．除Rt△ABC自身外，图中与Rt△ABC相似的三角形的个数是 ．
【答案】4
【详解】∵CD是斜边AB上的高，DE⊥BC于点E，
∴∠CDA=∠CDB=90°，∠CED=∠BED=90°，
在Rt△ABC和Rt△ACD中，
∵∠A=∠A∠ADC=∠ACB=90°，
∴Rt△ABC∼Rt△ACD；
在Rt△ABC和Rt△CBD中，
∵∠B=∠B∠CDB=∠ACB，
∴Rt△ABC∼Rt△CBD；
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∴Rt△ABC∼Rt△DBE；
∵∠A+∠B=90°，∠B+∠DCB=90°，
∴∠A=∠DCB，
在Rt△ABC和Rt△CDE中，
∠A=∠DCB∠ACB=∠CED，
∴Rt△ABC∼Rt△CDE；
∴图中与Rt△ABC相似的三角形有4个．
故答案为：4．
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，P，A，B，C为小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 ．
【答案】△APB∽△CPA
【详解】解：△APB∽△CPA，
由题意可知：AP=12+22=5，PB=1，PC=5，
∴APPC=55，PBAP=15=55，
∵∠APB=∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
故答案为：△APB∽△CPA．
15．如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，点D是边AC上的动点（点D不与点A,C重合），当∠BDC= 度时，△ABC∽△BDC．
【答案】70
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠BDC=70°时，
∠C=∠C，∠BDC=∠ABC，
∴△ABC∽△BDC．
故答案为：70．
16．如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，且AC平分∠BCD；点E在AC的延长线上，∠E=∠ABC．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)求证：△ACD∽△BAE．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA=∠BAC，
∴BC=BA，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠BAE，∠ABC=∠D，
∵∠E=∠ABC，
∴∠D=∠E，
∵∠DAC=∠BAE，∠D=∠E，
∴△ACD∽△ABE．
17．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽△ECF．
【详解】解：∵BE=3，EC=6，
∴BC=9，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=9，∠B=∠C=90°，
∵ABEC=96=32，BECF=32，
∴ABEC=BECF
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF．
18．如图，在钝角△ABC中，∠ABC=2∠ACB，请用尺规作图法，在AC上求作一点M，使得△ABM∽△ACB．(保留作图痕迹，不写作法)
【详解】解∶如图，点M即为所作．
如图，作的是BC的垂直平分线，
∴MB=MC，
∴∠ACB=∠CBM，
∵∠ABC=2∠ACB，
∴∠ABM=∠ACB=∠CBM，
∵∠BAM=∠CAB，
∴△ABM∽△ACB．
19．如图，已知⊙O的半径长为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA，OC．
(1)求证：△OAD∽△ABD；
(2)记△AOB，△AOD，△COD的面积分别为S1，S2，S3，如果S22= S1·S3，求证：点D为线段AC的黄金分割点．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，OA=OB=OC，
∴△AOB≌△COA
∴∠OBA=∠OAC，
又∵∠ADO=∠BDA，
∴△OAD∽△ABD；
（2）证明：如图，过点O作ON⊥AB于N，OM⊥AC于M，
由（1）知，△AOB≌△COA，
∵△AOB≌△COA，
∴S△AOB=S△COA
∴12×AB×ON=12×AC×OM
∴OM=ON，
∴△AOB，△AOD，△COD的面积分别为：
S1=12AB×ON=12AC×OM,S2=12AD×OM,S3=12CD×OM
∵S22= S1·S3，
∴12AD×OM2=12AD×OM×12CD×OM
∴AD2=AC×CD
即：AD:AC=CD:AD
∴点D为线段AC的黄金分割点．
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E、F分别为AC、BC的中点，连接EF，H为AE的中点，过点H作HD⊥AC，交BC于点D，连接DE，则与△ABC相似（不含△ABC）的三角形个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解：∵E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∵HD⊥AC，
∴∠DHC=∠ABC=90°，
又∵∠C=∠C，
∴△CAB∽△CDH，
故选：B．
2．如图所示，网格中相似的两个三角形是（ ）
A．①与③B．②与③C．①与④D．③与④
【答案】A
【详解】解：图形①的三边为：2,10,2；
图形②的三边为：3,5,2；
图形③的三边为：2,22,25；
图形④的三边为：3,17,2；
∵222=22=1025=22，
∴①与③相似，
故选：A．
3．如图，H是平行四边形ABCD的边AD上一点，且AH=12DH，BH与AC相交于点K，那么AK：KC等于（ ）
A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4
【答案】C
【详解】解：∵AH=12DH，
∴AH：AD=13，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴AH：BC=13
∴△AHK∽△CBK，
∴AKKC=AHBC=13
故选：C．
4．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC
C． AB2=AD⋅AC D． AB⋅BC=AD⋅DB
【答案】D
【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD⋅AC，
∴ ACAB=ABAD，∠A=∠A，
∴△ADB∽△ABC，故此选项不合题意；
D、AB⋅BC=AD⋅DB，不存在夹角相等，不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
5．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A、C的对应点分别为D、E，边DE交BC于点F，连接CE，下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．△BAD与△BCEB．△BDF与△ECF
C．△BAC与△BDED．△DBF与△CEB
【答案】D
【详解】解：根据旋转的性质得，△ABC≌△DBE，
∴AB=DB，∠ABC=∠DBE，BC=BE，∠A=∠BDE，∠ACB=∠DEB，
∴∠ABD=∠CBE，ABBC=DBBE，
∴△BAD∽△BCE，故A不符合题意；
∵∠ABD=∠CBE，AB=BD，BC=BE，
∴∠A=∠BDA=∠BCE=∠BEC，
∴∠BDF=∠ECF，
又∵∠BFD=∠EFC，
∴△BDF∽△ECF，故B不符合题意；
又∠ABC=∠DBE，ABBD=CEBE，
∴△BAC∽△BDE，故C不符合题意；
根据题意，无法求解△DBF与△CEB相似，
故D符合题意；
故选：D．
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．连接AC、OC、BC和BD．现从△ABC，△ACE，△OCE，△BCE中任取两个三角形，恰好都和△BDE相似的概率是（ ）
A．916B．13C．1D．12
【答案】D
【详解】解：∵弦CD⊥AB，
∴CE=DE，∠BEC=∠BED=∠AEC=90°，
∵BE=BE，
∴△BCE≌△BDE，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=BC，
∴∠BAC=∠BDC，
∴△ABC∽△ABC，△ACE∽△ABC，
∴与△BDE相似的三角形有：△ABC，△ACE，△BCE，
∵ △ABC，△ACE，△OCE，△BCE中任取两个三角形有6种可能，两个都与△BDE相似的情况有3种，
∴从△ABC，△ACE，△OCE，△BCE中任取两个三角形，恰好都和△BDE相似的概率是36=12，
故选：D．
7．如图，在△ABC纸片中，∠C=90°，BC=5，AC=7，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：如图1，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠ADC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
故A不符合题意；
如图2，
∵EF⊥AC，
∴∠AFE=90°，
∵∠C=90°，
∴∠AFE=∠C，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
故B不符合题意；
如图3，
∵BC=5,AC=7,HC=2.5,GC=3.5，
∴HCBC=2.55=12，GCAC=3.57=12，
∴HCBC=GCAC，
∵∠GCH=∠ACB，
∴△GHC∽△ABC，
故C不符合题意；
如图4，
∵BC=5,AC=7,LC=2,KC=3，
∴LCBC=25，KCAC=37，
∴LCBC≠RCAC，
假设△KLC∽△ABC，
∵∠KCL=∠ACB，
∴LCBC=KCAC，与已知条件不符，
∴△KLC与△ABC不相似，
故D符合题意，
故选：D．
8．下列说法正确的是（ ）
A．所有的矩形都是相似形B．对应边成比例的两个多边形相似
C．对应角相等的两个多边形相似D．有一个角等于100°的两个等腰三角形相似
【答案】D
【详解】解：A、对应角都相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意；
B、对应边成比例，但对应角不一定相等，故此选项不符合题意；
C、对应角相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意；
D、有一个角等于100°的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项符合题意；
故选：D．
9．下列两个图形一定是相似图形的是（ ）
A．菱形B．矩形C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】D
【详解】解：A、两个菱形的对应角不一定相等，对应边的比相等，故两个菱形不一定是相似图形，此选项不符合题意；
B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故两个矩形不一定是相似图形，此选项不符合题意；
C、两个等腰三角形对应边的比不一定相等，对应角不一定相等，故两个等腰三角形不一定是相似图形，此选项不符合题意；
D、两个等腰直角三角形的对应边的比相等，对应角相等，故等腰直角三角形一定相似，此选项符合题意；
故选：D．
10．下面几对图形中，相似的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】根据题意得：C选项的两个图象，形状相同、对应角相等、对应边成比例，为相似图形，
故选：C．
11．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：① GF∥EC；② AB=435AD；③ GE=6DF；④ OC=22OF；⑤ △COF∼△CEG．其中正确的是 ．
【答案】①③④
【详解】解：由折叠性质可得，DG=OG=AG，AE=OE=BE，OC=BC，∠DGF=∠FGO，∠AGE=∠OGE，∠AEG=∠OEG，∠OEC=∠BEC，∠BCE=∠OCE，
∴∠FGE=∠FGO+∠OGE=90°，∠GEC=∠OEG+∠OEC=90°，
∴∠FGE+∠GEC=180°，
∴GF∥CE，故①正确；
设AD=BC=2a，AB=2b，则DG=OG=AG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=3a，
在Rt△CGE中，CG2=GE2+CE2，
∴3a2=a2+b2+b2+2a2，
解得b=2a，
∴AB=2AD，故②错误；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b−x=22a−x，
∴x2+2a2=22a−x2，
解得x=22a，
∴6DF=6×22a=3a，22OF=22×22a=2a，
在Rt△AGE中，
GE=AG2+AE2=a2+b2=a2+2a2=3a，
∴GE=6DF，OC=22OF，故③④正确；
∵CE=BC2+BE2=2a2+b2=2a2+2a2=6a，
∴CEGE=6a3a=2，
又∵COOF=2a22a=22，
∴CEGE≠COOF，
∴△COF与△CEG不相似，故⑤错误；
综上，正确的是①③④，
故答案为：①③④．
12．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且AB=4，AC=6．当AD= 时，△ABC∽△ACD．
【答案】9
【详解】解：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
当ABAC=ACAD时，△ABC∽△ACD，
即：AC2=AB⋅AD，
∵AB=4，AC=6，
∴62=4AD，
∴AD=9；
故答案为：9．
13．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE⊥BC于点E．除Rt△ABC自身外，图中与Rt△ABC相似的三角形的个数是 ．
【答案】4
【详解】∵CD是斜边AB上的高，DE⊥BC于点E，
∴∠CDA=∠CDB=90°，∠CED=∠BED=90°，
在Rt△ABC和Rt△ACD中，
∵∠A=∠A∠ADC=∠ACB=90°，
∴Rt△ABC∼Rt△ACD；
在Rt△ABC和Rt△CBD中，
∵∠B=∠B∠CDB=∠ACB，
∴Rt△ABC∼Rt△CBD；
∵DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∴Rt△ABC∼Rt△DBE；
∵∠A+∠B=90°，∠B+∠DCB=90°，
∴∠A=∠DCB，
在Rt△ABC和Rt△CDE中，
∠A=∠DCB∠ACB=∠CED，
∴Rt△ABC∼Rt△CDE；
∴图中与Rt△ABC相似的三角形有4个．
故答案为：4．
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，P，A，B，C为小正方形的顶点，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是 ．
【答案】△APB∽△CPA
【详解】解：△APB∽△CPA，
由题意可知：AP=12+22=5，PB=1，PC=5，
∴APPC=55，PBAP=15=55，
∵∠APB=∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
故答案为：△APB∽△CPA．
15．如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，点D是边AC上的动点（点D不与点A,C重合），当∠BDC= 度时，△ABC∽△BDC．
【答案】70
【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∴∠BDC=70°时，
∠C=∠C，∠BDC=∠ABC，
∴△ABC∽△BDC．
故答案为：70．
16．如图，AC为平行四边形ABCD的对角线，且AC平分∠BCD；点E在AC的延长线上，∠E=∠ABC．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)求证：△ACD∽△BAE．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BAC=∠DCA，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCA=∠DCA=∠BAC，
∴BC=BA，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC=∠BAE，∠ABC=∠D，
∵∠E=∠ABC，
∴∠D=∠E，
∵∠DAC=∠BAE，∠D=∠E，
∴△ACD∽△ABE．
17．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽△ECF．
【详解】解：∵BE=3，EC=6，
∴BC=9，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=9，∠B=∠C=90°，
∵ABEC=96=32，BECF=32，
∴ABEC=BECF
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF．
18．如图，在钝角△ABC中，∠ABC=2∠ACB，请用尺规作图法，在AC上求作一点M，使得△ABM∽△ACB．(保留作图痕迹，不写作法)
【详解】解∶如图，点M即为所作．
如图，作的是BC的垂直平分线，
∴MB=MC，
∴∠ACB=∠CBM，
∵∠ABC=2∠ACB，
∴∠ABM=∠ACB=∠CBM，
∵∠BAM=∠CAB，
∴△ABM∽△ACB．
19．如图，已知⊙O的半径长为1，AB，AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，连接OA，OC．
(1)求证：△OAD∽△ABD；
(2)记△AOB，△AOD，△COD的面积分别为S1，S2，S3，如果S22= S1·S3，求证：点D为线段AC的黄金分割点．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，OA=OB=OC，
∴△AOB≌△COA
∴∠OBA=∠OAC，
又∵∠ADO=∠BDA，
∴△OAD∽△ABD；
（2）证明：如图，过点O作ON⊥AB于N，OM⊥AC于M，
由（1）知，△AOB≌△COA，
∵△AOB≌△COA，
∴S△AOB=S△COA
∴12×AB×ON=12×AC×OM
∴OM=ON，
∴△AOB，△AOD，△COD的面积分别为：
S1=12AB×ON=12AC×OM,S2=12AD×OM,S3=12CD×OM
∵S22= S1·S3，
∴12AD×OM2=12AD×OM×12CD×OM
∴AD2=AC×CD
即：AD:AC=CD:AD
∴点D为线段AC的黄金分割点．
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