初中数学浙教版九年级上册4.3 相似三角形达标测试

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1．如图所示Rt△BAC中，∠BAC=90°，AD⊥CB．下列结论不成立的是（ ）
A．AD2=CD⋅DBB．AC2=BC⋅CD
C．CD2=AC⋅BCD．AB2=BC⋅BD
【答案】C
【详解】解：∵Rt△ABC，CD是斜边AB的高，∠ACB=90°，
∴∠C+∠CAD=90°=∠CAD+∠BAD，
∴∠C=∠BAD，
同理可得：∠B=∠CAD，
∴△ABD∽△CAD∽△CBA；
A、∵△ABD∽△CAD，
∴ADDC=BDAD，
∴AD2=CD⋅DB，故不符合题意；
B、∵△CAD∽△CBA，
∴ACCB=CDAC，
∴AC2=BC⋅CD，故不符合题意；
C、由△ABD∽△CAD∽△CBA
无法得到CD2=AC⋅BC；
∴CD2=AC⋅BC不一定成立，故符合题意；
D、∵△ABD∽△CBA，
∴ABCB=BDAB，
∴AB2=BC⋅BD，故符合题意，
故选C．
2．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，AE=2ED，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则BGGF的值为（ ）

A．23B．12C．13D．34
【答案】A
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABG∽△CFG，
∴BGGF =ABCF
∵△ABE∽△DFE，
∴AEDE =ABDF，
∵AE=2ED，
∴AB=2DF，
∴ABCF= 23，
∴BGGF= 23．
故选：A．
3．如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺50cm处，遮光板在刻度尺70cm处，光屏在刻度尺80cm处，量得像高3cm，则蜡烛的长为( )
A．1.5cmB．3cmC．5cmD．6cm
【答案】D
【详解】解：由题意可知，OA=70−50=20(cm)，OC=80−70=10(cm)，CD=3cm，AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴ ABCD=OAOC，
∴ AB3=2010
解得AB=6，
即蜡烛的长为6cm，
故选：D．
4．一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时AB∥CD），相关数据（单位：mm）如图所示，从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ）
A．10 mmB．20 mmC．22 mmD．25 mm
【答案】D
【详解】解：连接BD，如图所示：
由题意得，AEAB=AFAD，∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABD，
∴ AEAB=EFBD，
∴ 2828+35=20BD，
∴BD=45mm，
∴点B，D之间的距离减少了45−20=25(mm)，
故选：D．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0），
∴AC=6，OC=2，OB=7，
∴BC=9，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE=OC=OE=2，
∴O′E′=O′C′=2，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′=∠BCA=90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴E′O′AC=BO′BC，
∴26=BO′9，
∴BO′=3，
∴OO′=7-3=4，
故选：C．
6．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个角∠A、∠B向内折起，点A、B恰好落在CD边的点F处，若AD=3，BC=5，则EF的长是（ ）
A．15B．215C．17D．217
【答案】A
【详解】解：∵AD∥BC，
∴∠ADF+∠FCB=180°．
根据折叠前后的图形全等得到DF=DA=3，
∠ADE=∠FDE,CF=CB=5，∠BCE=∠FCE，∠EFC=∠B=90°，
∴∠FDE+∠FCE=90°，∠FCE+∠FEC=90°，
∠DFE=∠EFC=90°，
∴∠FDE=∠FEC，
∴△DEF∽△ECF，
∴EFCF =DFEF，
∴EF2=DF·CF=3×5=15，
∴EF=15（负值舍去）.
故选：A.
7．如图，点G是△ABC的重心，GE∥AC交BC于点E．如果AC=12，那么GE的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】B
【详解】解：连接BG并延长交AC于D，
∵点G是△ABC的重心，
∴CD=12AC=12×12=6，BGBD=23，
∵GE∥AC，
∴△BEG∽△BCD，
∴BGBD=EGCD，
∴23=EG6，
∴GE=4，
故选：B．
8．如图，E是平行四边形ABCD边AD中点，BE与AC交于点F，连接BD，已知AD=10，BE=9，AC=12．下列命题：①点F是△ABD的重心；②△BFC与△ABC相似；③BD=13；④平行四边形ABCD的面积为72．其中正确的命题为（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】D
【详解】①设AC与BD交于点O，如图1所示．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
在△ABD中，AO为BD边上的中线，
∵点E是AD的中点，
∴BE为AD边上的中线．
∴点F是△ABD的重心．
故命题①正确．
②在OC上取一点H，使OH=OF，连接DF，DH，BH，如图2所示．
∵四边形ABCD为平行四边形，AD=10，BE=9，AC=12，点E是AD的中点，
∴OB=OD，OA=OC=12AC=6，AE=DE=12AD=5，BC=AD=10．
∴四边形BHDF为平行四边形．
∴BF∥DH，BF=DH，
即EF∥DH．
∴EF为△ADH的中位线．
∴EF=12DH=12BF，AF=FH．
∴EF=13BE=3，OF=13OA=2．
∴BF=BE−EF=9−3=6，AF=OA−OF=6−2=4．
∴CF=OC+OF=6+2=8．
在△BFC中，BF2+CF2=36+64=100，BC2=100，
∴BF2+CF2=BC2．
∴△BFC为直角三角形，即BF⊥AC．
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB=AF2+BF2=213．
在△ABC中，AB2+BC2=2132+102=152，AC2=144．
∵AB2+BC2≠AC2，
∴△ABC不是直角三角形．
∴△BFC与△ABC不相似．
故命题②不正确．
③在Rt△BOF中，BF=6，OF=2，
由勾股定理得：OB=BF2+OF2=210，
∴BD=2OB=410≠13．
故命题③不正确．
④∵AC=12，BF=6，BF⊥AC，
∴S△ABC=12AC•BF=12×12×6=36．
∴S平行四边形ABCD=2S△ABC=72．
故命题④正确．
综上所述：正确的命题是①④．
故选：D
9．如图， △ABC 中 ∠BAC=60° ，分别以 AB，AC 为边向外侧作等边三角形 ABE 和等边三角形 ACD，M、N 分别是 BE，CD 的中点，连结 MN，BD ，若要知道 MN 的值，只需知道下列哪个值（ ）
A．△ABC 的面积B．△ABD 的面积C．线段 BC 的长D．线段 BD 的长
【答案】D
【详解】如图，连AM，AN，
∵△ABE 和△ACD都为等边三角形， M、N 分别是BE，CD 的中点，
∴∠BAM=12∠BAE=12×60°=30°，∠CAN=12∠CAD=12×60°=30°，AM⊥BE，AN⊥CD ，
∴12AB=BM，12AC=CN，
在Rt△ABM和Rt△ACN中，AB2=BM2+AM2，AC2=CN2+AN2，
∴AB2=12AB2+AM2，AC2=12AC2+AN2，
∴AM=32AB，AN=32AC=32AD，
∴AMAB=32=ANAD，
∵∠BAC=60°，
∴ ∠MAN=∠BAM+∠BAC+∠CAN=30°+60°+30°=120°，∠BAD=∠BAC+∠CAD=60°+60°=120°，
∴∠MAN=∠BAD，
∴△AMN∽△ABD，
∴MNBD=AMAB=32，
∴MN=32BD，
∴若要知道MN的值，只需知道线段BD的值就可以了，
故选：D．
10．如图，在正方形ABCD中，M是AB上一动点，E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得EF，连接DE，DF，CF．下列结论：①DE=EF；②∠CDF=45°；③∠AEM=∠FEC；④∠BCM+∠DCF=45°．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③B．①③④
C．②③④D．①②④
【答案】D
【详解】解：如图，延长AE交DC的延长线于点H，

∵点E是CM的中点，
∴ME=EC，
∵AB∥CD，
∴∠MAE=∠H，∠AME=∠HCE，
∴△AME≌△HCE（AAS），
∴AE=EH，
又∵∠ADH=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，
∴DE=AE=EH，
∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，
∴AE=EF，∠AEF=90°，
∴AE=DE=EF，故①正确；
∵AE=DE=EF，
∴∠DAE=∠ADE，∠EDF=∠EFD，
∵∠AEF+∠DAE+∠ADE+∠EDF+∠EFD=360°，
∴2∠ADE+2∠EDF=270°，
∴∠ADF=135°，
∴∠CDF=∠ADF-∠ADC=135°-90°=45°，故②正确；
假如③正确，则∠AEM=∠FEC=(180°-∠AEF)÷2=45°，为确定的大小，
由于M为AB上动点，则∠AEM为一个动态变化的值，故③错误；
连接AC，过PE⊥AD，FN⊥PE交CD于Q点，如下图所示：
∵∠FEN+∠AEP=90°，∠EAP+∠AEP=90°，
∴∠FEN=∠EAP，
且∠APE=∠ENF=90°，EA=EF，
∴△APE≌△ENF(AAS)，
∴AP=NE，
∵AM∥PE∥DC，且E是MC的中点，
∴PE是梯形AMCD的中位线，
∴PE=12(AM+CD)=12AM+12CD=12AM+12AD=12AM+AP，
又PE=PN+NE，
∴PN=12AM，
又PN=DQ，∠QDF=45°，∠DQF=90°，
∴△DQF为等腰直角三角形，
∴DF=2DQ=2PN=22AM，
∴DFAM= 22，
在等腰直角△ACD中，DCAC=22，
∴DFAM= DCAC，
且∠CDF=∠MAC=45°，
∴△CDF∽△CAM，
∴∠DCF=∠MCA，
∴∠BCM+∠MCA=∠BCM+∠DCF=∠BCA=45°，故④正确．
故选：D．
11．如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D的运动速度为1cm/s，点E的运动速度为2cm/s．若D，E两点同时出发，则当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为 s．

【答案】3或4.8
【详解】设运动时间为ts时，以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，
则AD=t，CE=2t，AE=AC−CE=12−2t，
①D与B对应，△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，
即t6=12−2t12，
∴t=3；
②D与C对应时，△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB，
即t12=12−2t6，
∴t=4.8，
∴当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为3s或4.8s，
故答案为：3或4.8．
12．如图，已知点P是边长为10的正方形ABCD内的一点，且PB=8，BF⊥BP，若在射线BF上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，那么BM= ．
【答案】8或252
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，BC=AB=10，
∵BF⊥BP，
∴∠ABP+∠CBP=∠CBM+∠CBP=90°，
∴∠ABP=∠CBM．
当AB:BM=PB:BC时，△BAP∽△BMC，
∴10:MB=8:10，
∴BM=12.5，
当AB:BC=PB:BM时，△BAP∽△BCM，
∴10:10=8:BM，
∴BM=8，
∴以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，那么MB的长是8或252．
故答案为：8或252．
13．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，且AD>BC，AB=BC=10，点P在BC边上，点B关于直线AP的对称点为Q，CQ的延长线交边AD于点R，如果AR=CP，那么线段AP的长为 ．
【答案】55
【详解】解：如图，连接BQ交AP于O．
∵PC=AR，PC∥AR，
∴四边形APCR是平行四边形，
∴AP∥CR，
∵B，Q关于AP对称，
∴OB=OQ，
∴BP=CP=5，
在Rt△ABP中，∠ABP=90°，AB=10，BP=5，
∴AP=AB2+BP2=102+52=55．
故答案为：55．
14．△DEF为等边三角形，分别延长FD，DE，EF，到点A，B，C，使DA=EB=FC，连接AB，AC，BC，连接BF并延长交AC于点G．若AD=DF=2，则∠DBF= _ ，FG= _ ．
【答案】 30°/30度 453/435
【详解】解：∵△DEF为等边三角形，DA=EB=FC，
∴AD=DF=EB=EF=2，∠DEF=∠DFE=60°，
∴∠DBF=∠EFB=12∠DEF=30°，∠AFB=∠EFB+∠DFE=90°，∠EFB=∠GFC=30°，
作CH⊥BG交BG的延长线于点H，
∴CH=12CF=1，FH=22−12=3，
∵∠AFB=∠H=90°，
∴AF∥CH，
∴△AGF∽△CGH，
∴AFCH=FGGH，即41=FG3−FG，
解得FG=453，
故答案为：30°，453．
15．台球是用球杆在台上击球，依靠计算得分确定比赛胜负的室内高雅体育运动．如图是一张宽为m米，长为2m米的矩形台球桌ABCD，某球员击位于AB的中点E处的球，球沿EF射向边AD，然后反弹到C点的球袋，球的反弹规律满足光的反射定律．若球的速度为v米/秒，则球从出发到入袋的时间等于 （用含m和v，的式子表示）
【答案】5m2v
【详解】解：∵一张宽为m米，长为2m米的矩形台球桌ABCD，AB的中点为E，
∴AE=BE=12m，AD=BC=2m，AB=CD=m，∠A=∠D=90°，
由反弹规律满足光的反射定律．
∴∠AFE=∠DFC，
∴△AEF∽△DCF，
∴AFDF=AEDC=12mm=12，
∴AF=23m，DF=43m，
∴EF=12m2+23m2=56m，CF=m2+43m2=53m，
∴EF+CF=56m+53m=52m，
∴t=52mv=5m2v，
故答案为：5m2v
16．如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB，延长BO交AC于点D，连接OA，作OE⊥BC，垂足为E，若AD:DC=1:2，OE=2，AB=6，则△OBC的面积为 ．
【答案】12
【详解】解：如图，过D点作DF∥BA交BC于点F，
∴△DFC∽△ABC,
∴CDCA=DFAB=FCCB=23,
∵AB=6
∴DF=23AB=4
∵DF∥BA
∴∠ABD=∠BDF
∵BO平分∠ABC
∴∠ABD=∠FBD
∴∠FBD=∠BDF
∴BF=DF=4
∵BC=BF+CF=3BF=12
∴S△OBC=12BC×OE=12×12×2=12
故答案为：12．
17．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=AD，连接AC，且AC恰好平分∠BAD，点E在边AD上，BE与AC交于点O．
(1)求证：△AOE∽△COB；
(2)若AC=3AO，试判断AE与AD之间的数量关系，并说明理由．
【详解】（1）证明：在四边形ABCD中，AB=BC=AD，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AC恰好平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAE，
∴∠CAE=∠BCA，
∵∠AOE=∠COB，
∴△AOE∽△COB；
（2）解：AE=12AD，理由如下：
∵△AOE∽△COB，AC=3AO，
∴AEBC=AOCO=12，
∵BC=AD，
∴AE=12AD．
18．某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽AB．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在AC、AD的延长线上取点E、F，使得EF∥CD，经测量，CD=80米，EF=140米，且点F到河岸CD的距离为90米．已知AB⊥CD于点B，请你根据提供的数据，帮助他们计算河宽AB．

【详解】解：如图所示，过F作FG⊥CD于G，则FG=90，
∵EF∥CD，
∴∠ACD=∠E，∠ADC=∠AFE，
∴△ACD∽△AEF，
∴ADAF=CDEF=47，
∴ADFD=43，
∵AB⊥CD，FG⊥CD，
∴∠ABD=∠FGD=90°，
∵∠ADB=∠FDG，
∴△ABD∽△FGD，
∴ABFG=ADFD，即AB90=43，
解得AB=120，
∴河宽AB为120米.

19．如图，小明和爸爸二人配合测量小区内一棵树的高度AD．他们的身高分别是1.6m，1.8m（EB=1.6m，FC=1.8m），小明在距离树0.3m的B处（AB=0.3m），看树的顶端D的视线为ED，原地再看爸爸的头部，视线为EF，爸爸经过移动调整位置，当EF⊥ED时爸爸停止移动，这时测得AC=6.1m．已知点A，B，C在地平面的一条直线上，树和二人都垂直于这条直线，求树的高度AD．
【详解】解：如图，过点E作EG⊥CF于点G，延长GE交AD于点H，则GH⊥AD，
∵CF⊥AC，AD⊥AC，BE⊥AC，
∴四边形CBEG，四边形AHEB是矩形．
∴AH=BE=CG=1.6m，EG=BC=6.1−0.3=5.8(m)，HE=AB=0.3m，
∵∠FGE=∠EHD=∠FED=90°，
∴∠EFG+∠FEG=∠FEG+∠DEH=90°，
∴∠GFE=∠DEH，
∴△EFG∽△DEH，
∴FGEH=EGDH，即1.8−，
解之，得DH=8.7．
∴AD=DH+AH=8.7+1.6=10.3(m)，
答∶树的高度AD为10.3米．
20．如图．在△ABC中，AB=AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D=∠CAE．
(1)求证：△ABD∽△ECA；
(2)若AC=12，CE=8．求BD的长度．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴180°−∠ABC=180°−∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
又∵∠D=∠CAE，
∴△ABD∽△ECA；
（2）解：∵△ABD∽△ECA，
∴ABCE=BDAC，
∵AB=AC=12，CE=8，
∴128=BD12，
∴BD=18．
21．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D，E．连接CD，AE交于点F，且AC=AE．
(1)求证：△ABC∽△FCE；
(2)若BC=6，DE=2，求△FCE的面积．
【详解】（1）证明：∵DE是BC垂直平分线，
∴BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCE；
（2）解：∵△ABC∽△FCE，
∴ FEAC=CEBC=12，
∴AC=2FE，
∵AC=AE，
∴AE=2FE，
∴EF=AF，
∴SΔAFC=SΔCFE，SΔADF=SΔEFD，
而BC=6，DE=2，
∴SΔABC=3SΔCDE=3×12×3×2=9，
∵△ABC∽△FCE，
∴ SΔEFCSΔABC=(CEBC)2=(12)2=14，
∴SΔEFC=14SΔABC=14×9=94．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC中点，动点P从点A出发，沿边AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转90°得线段DE，连结PE．设点P运动的时间为t秒．
(1)用含t的代数式表示点P到AC的距离为________；
(2)当点E落在△ABC内部（不包括边界）时，求t的取值范围；
(3)当PE与△ABC的一边平行时，求线段PE的长度；
(4)当经过点E与△ABC的一个顶点的直线平分△ABC面积时，直接写出t的值．
【详解】（1）解：过点P作PF⊥AC与一点F，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC=AB2+BC2=10，
∵点D为AC中点，
∴AD=DC=5，
∵∠ABC=90°，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠ABC=90°，
∵∠FAP=∠BAC，
∴△APF∽△ACB，
∴PFBC=APAC，
∵点P从点A出发，沿边AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动，
∴AP=5t，
即PF=AP⋅BCAC=5t×610=3t；
（2）解：当点E在AB上时，过点D作DG⊥AB于点G，如图所示：
此时△DPE,△DGP,△DEG均为等腰直角三角形，
即DG=12BC=3，AG=12AB=4，
∴PG=3,
∴AP=AG−PG=4−3=1，即5t=1，
∴t=15；
当点E在AC上时，如图所示：
此时PD⊥AC，即∠ADP=90°，
∵∠DAP=∠BAC，
∴△ADP∽△ABC，
∴ADAB=APAC，
即AP=AD⋅ACAB=5×108=254，
∴5t=254，
∴t=54；
∴当点E落在△ABC内部（不包括边界）时，t的取值范围15（3）解：可分为两种情况：
当PE∥AC时，过点P，E分别作垂线PF⊥AC,EH⊥AC，如图所示：
此时四边形PFHE是矩形，
∵△DEP为等腰直角三角形，PE∥AC，
∴∠ADP=∠DPE=45°，
∴DF=PF=3t，
∵AP=5t，
∴AF=4t，
∴AD=AF+DF=7t=5，
∴t=57，
∴PE=FH=6t=307；
当PE∥BC时，过点D作DM⊥AB,DN⊥PE，如图所示：
∴ ∠APD=∠DPE=45°，
∵点D是AC中点，
∴点M也是AB的中点，
∴ PE=2DM=6；
∴当PE与△ABC的一边平行时，线段PE的长度为307或6；
（4）解：当经过点E与△ABC的一个顶点的直线平分△ABC面积时，此时点E在△ABC的中线上，可分为三种情况：
当点在BD上时，如图所示：
此时DA=DB=5，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠BDP=∠ABC=90°，
∴△BDP∽△ABC，
∵BCAB=68=34，
∴DPBD=34，
设DP=3x，即BD=4x，
∴BP=DP2+BD2=5x，
∴4x=5，解得x=54，
∴BP=5x=254，
∴AP=AB−PB=8−254=74，
即t=AP5=720；
当点E在中线AN上时，如图所示：连接DN，则DN=12AB=4，
过点D作DG⊥AB于点G，过点E作HF⊥AB于点F，交DN于点H，
在Rt△DPG,Rt△DEH中，
∠DGP=∠DHE∠PDG=∠EDH=90°−∠GDEDP=DE
∴Rt△DPG≌Rt△DEHAAS
∴DH=DG=12BC=3，PG=HE
∴HN=FB=1
∵EF∥NB
∴△AEF∽△ANB
∴EFNB=AFAB
∴EF3=78
解得：EF=218
∴PG=HE=HF−EF=3−218=38
∴AP=AB−PG−GB=8−38−4=298
∴t=AP5=2940
如图所示，当E经过中线CG时，
同理可得EF∥BC
∴△GEF∽△GCB
∴EFCB=GFGB即EF6=34
解得：EF=92
∴PG=EH=32
∴AP=AG+GP=4+32=112
∴t=AP5=1110
综上所述t的值为：720或2940或1110