[数学]2023～2024学年山东日照高一下学期期中数学试卷(联合)(原题版+解析版)

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2023~2024学年山东日照高一下学期期中数学试卷（联合）
1. 在
内，与
角终边相同的角是（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
由终边相同的角的定义计算即可得.
【详解】
，而其它项对应角都不满足
.
故选：B.
2. 半径为 的圆中，弧长为
的圆弧所对的圆心角的大小为（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
由弧长公式计算即可得.
【详解】
由弧长公式
故选：B.
得
.
3. 函数
的最小正周期是（
）
A.
B.
C. 1
D. 2
答案
解析
D
【分析】
根据给定的函数，利用余弦型函数的周期公式计算即得.
【详解】
函数
的最小正周期是
.
故选：D
4. 已知向量
和
不共线，向量
，
，
，若
､
､ 三点共线，则
（
）
A. 3
B. 2
C. 1
D.
答案
解析
A
【分析】
由共线向量基本定理即得.
【详解】
∵
∴
､
､ 三点共线，
，
，
解得
故选：A.
.
5. 函数
的定义域为（
）

A.
C.
B.
D.
答案
解析
C
【分析】
由题意可得
，结合
解出即可得.
，
【详解】
由题意可得
，即
又
，故
，即定义域为
.
故选：C.
6. 已知向量
，
，若
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
或
或
或3
或
答案
解析
A
【分析】
由平面向量垂直的坐标表示计算可得
【详解】
，结合三角函数基本关系将弦化切后计算即可得.
由
即
，则有
，
，则
.
，
即有
解得
，
或
故选：A.
7.
（
A.
的外接圆的圆心为 ，半径为1，
，且
，则向量
在向量
方向上的投影数量为
）
B.
C.
D.
答案
解析
D
【分析】
由题设中的向量关系可得
是以
为斜边的直角三角形，结合半径及
可求
，根据投影数量的
定义可计算投影数量，从而可得正确的选项.
【详解】
由题意可得：
，即：
是以
，
即外接圆的圆心 为边
结合
的中点，则
有
为斜边的直角三角形，
为等边三角形，故
，
故
，
则向量
在向量
方向上的投影数量为
.

故选：D.
8. 已知函数
，若存在
，满足
，
，且
，
，则满足条件的实数 的最小值为
（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
B
函数
，对
，
，都有
，
要使实数 的值最小，应尽可能多让
，
取得最值点，
，
，且
的最大值为4，且
取一个零点， 取最后一个零点时， 才能最小，
，
在一个周期
上
，
，
，
，
，
，
，
所以 的最小值为
.故选：B.
9. 已知向量
，
，则下列命题正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
可以作为平面向量的一组基底
答案
解析
AB
【分析】
根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项计算判断即得.
【详解】
对于A，
对于B，
对于C，
，A正确；
不共线，
可以作为平面向量的一组基底，B正确；
，因此
，C错误；
对于D，
，D错误.
故选：AB
10. 已知函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（
）
A.
B.
函数
函数
的图象关于直线
是偶函数
图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数
对称
C.
D. 将函数
的图象
答案
解析
ABD
【分析】
结合函数图象依次求出
一判断即得.
,再根据选项，分别运用代入检验对称性，利用奇偶性定义判断函数奇偶性，利用伸缩变换得到新函数逐

【详解】
由图可得，
，
，解得
，故
，故A正确；
，即
又函数图象经过点
，则
，
因
，故
，解得
.
对于B，当
时，
，此时函数取得最小值，故B正确；
，是奇函数，故C错误；
对于C，
对于D，将函数
将得到函数
图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，
的图象，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数
，则下列说法正确的是（
）
A．
是以 为周期的函数
存在无穷多个零点
B．函数
C．
D．至少存在三个不同的实数
，使得
为偶函数
答案
解析
ACD
【分析】
A：计算
分
是否等于
即可得；对B：结合函数的周期性，将研究
在 上的零点转化为研究在
上的零点个数，从而可
与
讨论即可得；对C：借助诱导公式计算
是否等于
即可得；对D：结合函数性质，可得至少
存在
、 、
三个值，使得
为偶函数.
【详解】
对A：
，
故
是以 为周期的函数，故A正确；
对B：因为
当
的周期为 ，所以只需研究
在区间
，
上的正负，
时，
时，
由
当
设
则
且
，故
在
上恒成立；
，
，
，
当
当
时，
时，
有最大值 ， 当
，故
时，
，
的最小值为 ，
没有零点，
在 上没有零点，故B错误；
综上所述，
故
在
上的取值均大于 ，
在 上没有实数根，即
对C：
，
，
故
，故C正确；
可得
，图象关于 轴对称，此时
对D：由
的图象关于直线
对称，
当
时，
为偶函数，
结合
又因为
所以
的周期为 ，可知
时，
为偶函数，
，
的图象关于直线
对称，可知当
时，
为偶函数，
综上所述，当
时，至少存在
、 、
三个值，
使得
为偶函数，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】

关键点点睛：B选项中关键点在于结合函数的周期性，将研究
在
上的零点转化为研究在
上的零点个数，从而可分
与
讨论即可得.
12. 已知向量
(1)若
，
．
，求实数 的值；
(2)求向量 与 夹角的正弦值．
答案
(1) (2)
解析
【分析】
（1）先由向量的坐标计算向量
（2）利用向量的夹角公式求得
的模长和数量积，再由向量垂直的充要条件化简，代入解方程即得；
，再由同角的三角函数关系计算
.
【详解】
（1）因
由
，
，则有
可得，
，解得，
，又
；
（2）因
故
，
.
13. 已知向量
(1)求函数
，
，函数
．
在区间
在区间
上的最值；
(2)求函数
上的单调递增区间．
答案
解析
(1)最大值为 ，最小值为 (2)
【分析】
、
.
（1）借助向量数量积公式与辅助角公式可得
，结合正弦型函数的性质即可得解；
（2）借助正弦型函数单调性可得
的单调递增区间，即可得其在 上的单调递增区间.
【详解】
（1）
，
当
时，
，
可得
故当
当
，
时，
有最小值
，
时，
有最大值 ，
综上所述，
（2）由
的最大值为 ，最小值为
，
；
令
，
解得
，
所以
故
在
上的增区间为
，
在区间
上的单调递增区间为
与
.
14. 将函数
（其中
）的图象向左平移 个单位，得到函数
的图象，且
为偶函数．
(1)求函数
(2)若对
的解析式和对称中心；
，当 时，都有
成立，求实数 的取值范围．
答案
解析
(1)
，对称中心为
(2)
【分析】
（1）借助函数平移与偶函数的性质计算即可得 ，即可得
的解析式，结合余弦型函数的对称性即可得解；

（2）由题意可得
【详解】
在
上单调递增，结合三角恒等变换与正弦型函数的单调性计算即可得解.
，
（1）将
向左平移 后得
由
即
令
为偶函数，故
，又
，故
，
，
，
，
，解得
，
即
的对称中心为
；
（2）由
即
，故
，
即
令
，
，
由题意可知
当
在
上为增函数，
时，
，
则有
，解得
.
15. 如图，已知 是
的外心，
，
，
，
，
．
(1)判断
(2)当
①求
的形状，且求
时
的值；
时，
的值（用含
的式子表示）；
②若
，求集合 中的最小元素．
答案
解析
(1)
为等边三角形；
(2)①
②
【分析】
（1）借助向量的数量积公式计算即可得其夹角，即可得其形状，由题意可得
（2）①由题意可得 分别为 的 等分点，借助向量的线性运算与数量积公式计算即可得；②借助一次函数的
的中点为 ，即可结合向量的线性运算得解；
、
、
，
，
单调性逐步计算即可得.
【详解】
（1）
则
，
，
为等边三角形，
，即
，故
由题意知
的中点为 ，且
，
，
，
故
；
为等边三角形， 为外接圆的圆心，
（2）①由
故
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又
，故
、
、
分别为
，
，
的 等分点，
；
同理
故
，
；

②令
由
，
，故
，
可以看为自变量为 的一次函数，
时取得最小值
同理，由
在
，
，
，
在
时取得最小值，
，
在
时取得最小值，
的最小值为
，
故
即集合 中的最小元素为
.
16. 已知函数
，其中 为常数．
，求 的值；
(1)当
，
时，若
(2)设函数
在
上有两个零点
，
①求t的取值范围；
②证明：
．
答案
解析
(1)
(2)①
；②证明见解析
【分析】
（1）将 代入后可得
，结合 范围计算即可得解；
（2）①借助换元法，结合二次函数的性质计算即可得；②由韦达定理可得
，
，结合三角函数在
上的单调性与①中所得计算有
，则
，即可得
，即可得证.
【详解】
（1）由
，
当
时，
，而
，
故
或
（舍），故
，因为
，
（2）①令
，所以
，则
，
则
由
，
在
上单调递增，
在
故关于 的方程
即有
上有两个不相等实数根，
，
解得
②令
，即 的取值范围为
，
；
，
则
，
为关于 的方程
的两根，
，
则有
，
，
所以
，
所以
即
，
，
即有
故
，由①知
，
，又
，故
，
由于
，则
，故
，
又
即
在
上单调递增，故
，
.
【点睛】
关键点点睛：最后一问关键点在于借助韦达定理得到
合三角函数在 上的单调性与①中所得计算即可得解.
，
，从而可得
，再结
17. 若角 的终边与单位圆相交于点
，则
．

答案
解析
/
【分析】
由三角函数定义可知
【详解】
等于角 的终边与单位圆交点的纵坐标.
由三角函数定义，及已知点坐标知
.
故答案为：
.
18. 如图，在
中，
，
， 为
上一点，且
，若
，
，则
．
答案
解析
3
【分析】
借助平面向量基本定理结合
可得
，再利用数量积公式计算即可得.
【详解】
根据题意，可得
，
由
设
，则
，则
，
，
，
结合
故
，可得
，故
，所以
，
.
故答案为： .
19. 已知平面向量
是
对任意实数
．
都有
，
成立．若
，则
的取值范围
答案
解析
【分析】
设
,由题意可得，点
在以
为直径的圆上，设圆心为 ，作出图形，过点 作
，交
于点 ，
交圆 于点 ，结合图形，推得
在
上的射影长的最大值为
，通过设 ，将 的最大值表示成关于 的三角
函数式
，利用三角函数的值域即可求得范围.
【详解】
如图，设
,则
,
因对任意实数
即对任意实数
都有
都有
，
成立，
，
成立，
因 与 共线， 与 共线，由直线外一点到直线上的点连线中垂线段最短原则，知必有，
,
即点
则
在以
为直径的圆上，设圆心为 .
，而
于点 ，交圆 于点 ，因
为向量
，
在
上的射影的长.
过点 作
，交
则

则
则
在
上的射影即
,
在
上的射影，而由图知
,
在
上的射影长的最大值为
，（当
重合时取得最大值）
不妨设
于是，
因
则
，
，则
，而
.
，
即
的取值范围为
.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题主要考查向量数量积的范围问题，属于难题.
解题的关键在于两点：其一，由题设两个不等式得出
向量，结合图形理解并转化求解.
，其二，求解
时，应利用向量数量积的几何意义—投影