[数学]2023～2024学年4月江苏南通通州区江苏省平潮高级中学高一下学期月考数学试卷(双周)(原题版+解析版)

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2023~2024学年4月江苏南通通州区江苏省平潮高级中学高一下学期月考数学试卷（双周）
1. 已知单位向量
的夹角为
，则
B.
（
）
A. 1
C.
D. 3
答案
解析
C
【分析】
根据已知条件及数量积的运算律即可得解.
【详解】
由已知有
故
，
.
.
故选：C.
2. 已知
的内角
所对的边分别是
，若
，则
的值为（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
利用正弦定理计算可得.
【详解】
由正弦定理
，
所以
则
，
，
.
故选：C
3. 已知向量
，则 在 上的投影向量为（
）
A.
B.
C. 3
D. 6
答案
解析
A
【分析】
根据投影向量的公式求解即可.
【详解】
在 上的投影向量为
故选：A
.
4. 正方体
中，E，F分别是
B.
的中点，则直线
与EF所成角的余弦值是（
）
A.
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法，即可得答案.
【详解】
正方体
中，E，F分别是
的中点，

设正方体
以D为原点，
则
中棱长为2，
轴，建立空间直角坐标系，
为
，
，
，
设直线
则
与EF所成角为θ，
，
=
=
，
∴直线
与EF所成角的余弦值是
．
故选：B．
5. 在平行四边形
中， 为
的中点，
，
与
交于点 ，若
，
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
由平面向量的线性运算将
用
、
用分别含 ， 的两种形式表示出来，再由平面向量基本定理建立方程，求出 ， 即可求
得．
【详解】
因为 在
设
上， 为
的中点，
，
因为 ， ， 三点共线，所以
，
因为
所以
、
不共线，
，解得
，
所以
．
故选：B．
6. 下列选项中， ， ， ， 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（
A. B. C.
）
D.

答案
解析
D
【分析】
利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误.
【详解】
在A图中，分别连接
由正方体可得四边形
，
为矩形，则
，则
，
因为
为中点，故
，所以
四点共面.
在B图中，设
为所在棱的中点，分别连接
，
由A的讨论可得
同理可得
，故
四点共面，
，故
平面
为中点可得
，所以 四点共面.
，同理可得
，
故
平面
，
，所以
六点共面.
在C图中，由
，同理
，
故
在D图中，
为异面直线，四点不共面.
故选：D.
7. 在△
中，
，若三角形有两解，则 的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
C
由题设，过
当
作
于
，如下图示，则
，可得
时，三角形有两解.
，即
时，三角形不存在；
分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；
当
当
或2时，△
时，在射线
方向上有一个△
，而在射线
方向上不存在，故此时仅有一个三角形；
因此正确答案为：C
8. 下列命题正确的是（
）
A.

B. 若向量
C.
，把 向右平移2个单位，得到的向量的坐标为
为锐角三角形的充要条件
在
在
中，
是
D.
中，若 为任意实数，且
，则P点的轨迹经过
的内心
答案
解析
D
【分析】
根据向量减法法则判断A，根据向量的定义判断B，根据数量积的定义判断C，根据单位向量及向量加法的平行四边形法则判断D.
【详解】
对于A：
，故A错误；
对于B：向量平移后，不改变方向和模长，故平移后与平移前为相等向量，
故把
向右平移2个单位，得到的向量的坐标为
，即
，故B错误；
，
对于C：由
，即
又
，所以
为锐角，不能得到
为锐角三角形，故充分性不成立，
故C错误；
对于D：由
，可得
又
表示
方向上的单位向量，
表示
方向上的单位向量，
根据向量加法的几何意义知，以
和
为邻边的平行四边形为菱形，
点
故
在该菱形的对角线上，又菱形的对角线平分一组对角，
点在
的平分线上，所以 点的轨迹经过
的内心，故D正确.
故选：D
9. 在
A. 若
C. 若
中，下列说法正确的是（
）
，则
，则
B. 若
D. 若
，则
，则
答案
解析
ACD
【分析】
对A，根据三角形大边对大角与正弦定理判断即可；对B，举反例
判断；对C，根据余弦函数的单调性判断即可；对D，由A
结合余弦的二倍角公式判断即可.
【详解】
对A，由三角形大边对大角可得若
则
，再由正弦定理
可得
，故A正确；
对B，若
对C，在
，则
，
，
，故B错误；
上为减函数，故
，则
中，
，又
在
，故C正确；
对D，由A可得，若
，则
，故D正确.
，故
，即
故选：ACD
10. 已知P是边长为1的正六边形
内一点（含边界），且
，则下列正确的是（
）
A.
B.
的面积为定值
使得
C.
D.
的取值范围是
的取值范围是
答案
解析
AC
【分析】
对A，根据
可得
，从而确定 在正六边形
的对角线
上运动，进而根据
到
的距离为定值
判断即可；对B，根据正六边形的对称性判断即可；对C，根据正六边形的对称性分析最值即可；对D，根据当
值判断即可.
时，
有最小

【详解】
对A，由
即
可得
，
，可得
，
因此， 在正六边形
的对角线
上运动，
的面积为定值，故A正确；
对称，故 ，故B错误；
中点时， 取得最大值
的取值范围是 ，故C正确；
所以 到 的距离为定值，所以
对B，因为正六边形
关于对角线
对C，根据图形的对称性，当
为
，
当
与
重合时
取得最小值 ，即
对D，因为正六边形边长为1，所以平行线
的距离
，
又当
时，
有最小值
，故D错误.
故选：AC.
11. 如图所示，在空间四边形
中，点 ， 分别是边
的中点，点 ， 分别是边
，
上的点，且
，有以下结论正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
与
与
与
与
平行；
共面；
的交点 可能在直线
的交点 一定在直线
上，也可能不在直线
上．
上；
答案
解析
BD
【分析】
如图所示．连接
，
，依题意，可得
，
，即可得出
共面，又
与平面 的交线上，又
，可得
与
，
必相交，从而可判断出选项A和B的正误；设交点为 ，可得点 在平面
是这两个平面的交线，
即可得出点 一定在直线
【详解】
上，从而判断出选项C和D的正误，即可求解．
如图所示．连接
，
，
依题意，可得
，
，
所以
所以
因为
，
共面，所以选项B正确，
，
，
所以四边形
是梯形，
的交点为
在 上，故点 在平面
与
必相交，所以选项A错误，
上．
设
与
，
因为点
同理，点 在平面
所以点 在平面
上，
与平面
的交线上，
又
是这两个平面的交线，所以点 一定在直线
上，故选项C错误，选项D正确，
故选：BD．

12. 已知
为两个不共线的非零向量，若
与
共线，则k的值为
．
答案
解析
/
【分析】
根据共线向量满足的性质求解即可.
【详解】
由题意若
则
与
共线，则
，
，因为
为两个不共线的非零向量，故
，
解得
.
故答案为：
13.
中，若
，则
．
答案
解析
【分析】
根据
结合两角差的正弦公式与同角三角函数关系求解即可.
【详解】
中，若
，则
，则
.
故
.
故答案为：
14. 已知
的外接圆半径为1，则
的最大值为
．
答案
解析
/
【分析】
取
中点
，设
的外接圆圆心为 ，化简可得
，进而可得当
反向共
线且
时取最大值即可.
【详解】
取
中点
，设
的外接圆圆心为 ，则
.
，
又
，故
.
，当且仅当
反向
共线时取等号.
又
，当且仅当
时取等号.
即
的最大值为 .
故答案为：

15. 如图在三棱锥
中，点 ， ，
， 分别为相应棱的中点，
（1）求证：四边形
（2）若
为平行四边形.
，求异面直线
，
与
所成的夹角.
答案
解析
（1）证明见解析；（2）
．
（1）由中位线定理证明四边形对边平行且相等，得平行四边形；
（2）解
得
，再由异面直线所成的角可得结论．
【详解】
（1）证明：因为点
，
，
，
分别为相应棱的中点，
，所以
所以
，
，又
且
，
所以
是平行四边形；
， 分别为相应棱的中点，所以
（2）因为点
所以异面直线
又
，
，
与
，
所成的角是
或其补角．
，所以
，而
．
，
所以
．
与
所以异面直线
【点睛】
所成的角为
本题考查空间平行直线的证明，考查求异面直线所成的角，掌握平行公理是解题关键．求异面直线所成的角，一般有三个步骤：一作
二证三计算．
16. 在平面直角坐标系
．记
中，点 、 、 满足： 在 轴的正半轴上， 的横坐标是
是锐角， 是钝角．
，
，
(1)求
(2)求
的值；
的值．
答案
解析
(1)
(2)
【分析】
（1）依题意可得
，设点 的坐标为
，根据
得到
，从而求出
，再由三角函数的定义得到
，从而求出
，最后根据两角差的余弦公式计算可得；
（2）由（1）求出
【详解】
，
，再求出
即可得解.
（1）由题意，可知
因为
，
，
故可设点 的坐标为
，
，所以
则有
，
又
为锐角，所以
，
因为钝角 的终边与单位圆 的交点 的横坐标是
，
所以
所以
，则
，
；

（2）由（1）知
所以
，
，
，
因为
又
，所以
，
，所以
，所以
．
，
又
，
所以
17. 在①
②
③
三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然
后解答问题．在
中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设
的面积为S，已知________．
（1）求角C的值；
（2）若
，点D在边
上，
为
的平分线，
的面积为 ，求边长a的值．
答案
解析
（1）
；（2）
【分析】
（1）选①，可由余弦定理得
，进而可得
；
选②，由面积公式和余弦定理可得
，进而可得
；
选③，可得
，进而可得
.
（2）设
，由
，
，联立可求得 .
【详解】
（1）选①
，由余弦定理得
，
.
整理得
选②
故
，所以
，因为
，可得
，又
，故
，
，
.
，又
，故
选③
，可得
，所以
的平分线，且
，
所以
，又
中，因为
，故
，设
.
（2）在
是
，所以
，又
，联立以上两式得：

，又
，解得
.
18. 在直角梯形
上，且
中，已知
，对角线
交
于点 ，点
在
．
（1）求
的值；
上任意一点，求
（2）若 为线段
的取值范围．
答案
解析
（1） ；（2）
．
（1）因为
，所以以 为坐标原点，
、
分别为
轴，建立平面直角坐标系如下图：
因为
，
．
所以
又因为对角线
所以由
因此
交
得
于点 ，
，即
，
，
而
，所以
，解得
，
因此
又因为点
因此
而
．
在
上，所以设
，
，
，所以
，即
，
解得
因此
所以
即
，
，而
，
，
的值为
；
（2）因为 为线段
上任意一点，
所以由（1）知：可设
（包括端点），
．
因此
所以
，
因为函数
而
的图象开口上，对称轴为
，
，
所以函数
的值域为
的取值范围是
，
即
．

19. 为了迎接亚运会， 滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB长为
4km，四边形的另外两个顶点C， D设计在以AB为直径的半圆 上. 记
.
2
(1)为了观赏效果， 需要保证
，若薰衣草的种植面积不能少于
的周长最大，并求出此最大值.
km ，则 应设计在什么范围内?
(2)若BC = AD， 求当 为何值时，四边形
答案
解析
(1)
(2)
，10km
（1）解：
，
，
通过题意，
，
，
因为
解得
，所以
；
，
（2）由BC = AD可知，
，
故
，
，
从而四边形ABCD周长最大值是10km， 当且仅当
， 即
时取到.