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第二章 §2.2 函数的单调性与最值-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）
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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§2.2 函数的单调性与最值
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.函数的单调性(1)单调函数的定义
f(x1)
(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
1.∀x1，x2∈I且x1≠x2，有 >0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减).2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数.3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝ 的单调性相反.4.复合函数的单调性：同增异减.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)满足f(－3)
y＝－2x＋1在R上是减函数，故A正确；y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；y＝ 在[0，＋∞)上是增函数，故C错误；y＝2x在R上是增函数，故D错误.
4.函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)> 的x的取值范围是________.
∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，
又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，
题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是
由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；∵y′＝2－2sin x≥0，∴y＝2x＋2cs x是R上的增函数，故C正确；函数y＝lg(x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确.
命题点2 利用定义证明函数的单调性
方法一 定义法设－10，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
确定函数单调性的四种方法(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为
g(x)＝x·|x－1|＋1
画出函数图象，如图所示，
(2)(2024·唐山模拟)函数f(x)＝ 的单调递增区间为____________.
令t＝2x2－3x－2>0，
由f(t)＝ 在(0，＋∞)上单调递减，
根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间，
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)
求函数的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.(3)数形结合法.(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.
典例 (多选)下列函数中，值域正确的是A.当x∈[0,3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2,6)
对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6).
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，
命题点3 解函数不等式例5 函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)
命题点4 求参数的取值范围
(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
A.(－2,1)B.(0,1)C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(1，＋∞)
则不等式f(x＋2)0，解得x>1或x<－2，则原不等式的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增，
一、单项选择题1.(2023·菏泽检测)下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是
y＝－x2＋1在区间(0,1)上单调递减，故A不符合题意；
y＝3－x在区间(0,1)上单调递减，故D不符合题意.
2.函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[0,2] D.[0，＋∞)
∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)，∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞).
3.(2024·邵阳统考)已知f(x)是偶函数，f(x)在[1,3]上单调递增，则f(1)，f(－2)，f(－3)的大小关系为A.f(1)>f(－2)>f(－3)B.f(－2)>f(－3)>f(1)C.f(－3)>f(1)>f(－2)D.f(－3)>f(－2)>f(1)
因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3).因为f(x)在[1,3]上单调递增，所以f(3)>f(2)>f(1)，所以f(－3)>f(－2)>f(1).
∴f(x)max＝f(2)＝4.
5.(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝x＋ln x－1，则不等式f(x)<0的解集为A.(e，＋∞) B.(1，＋∞)C.(0,1) D.(0，＋∞)
函数f(x)＝x＋ln x－1的定义域为(0，＋∞).因为y＝x－1在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝x＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝1＋ln 1－1＝0，所以不等式f(x)<0的解集为(0,1).
6.已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是A.y＝f(x)＋x是增函数B.y＝f(x)＋x是减函数C.y＝f(x)是增函数D.y＝f(x)是减函数
不妨令x1
8.(2023·广州联考)已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝ 在区间[1，＋∞)上一定A.单调递减 B.单调递增C.有最小值 D.有最大值
∵函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，∴函数图象的对称轴应当位于区间(－∞，1)内，
由a<1,1≤x11>0，x1x2－a>0，
则g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)
10.(2023·松原联考)已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(3x－1)
11.已知命题p：“若f(x)
12.(2023·临川一中模拟)已知函数f(x)＝lga(x2－ax＋3)在[0,1]上单调递减，则实数a的取值范围是________.
函数f(x)＝lga(x2－ax＋3)在[0,1]上单调递减，
而函数u＝x2－ax＋3在区间[0,1]上不单调，因此01时，函数y＝lgau在(0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性，得函数u＝x2－ax＋3在区间[0,1]上单调递减，
所以实数a的取值范围是[2,4).
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象；
f(x)，g(x)的图象如图所示.
(2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性.
由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减；当0
(1)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；
证明：在R上任取x1，x2且x1
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
所以函数f(x)为奇函数，由(1)知，函数f(x)在R上是增函数，由f(t2－3)＋f(2t)<0，可得f(t2－3)<－f(2t)＝f(－2t)，所以t2－3<－2t，即t2＋2t－3<0，解得－3
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§2.2 函数的单调性与最值
1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.函数的单调性(1)单调函数的定义
f(x1)
(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
1.∀x1，x2∈I且x1≠x2，有 >0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间I上单调递增(减).2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数.3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝ 的单调性相反.4.复合函数的单调性：同增异减.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)满足f(－3)
y＝－2x＋1在R上是减函数，故A正确；y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；y＝ 在[0，＋∞)上是增函数，故C错误；y＝2x在R上是增函数，故D错误.
4.函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)> 的x的取值范围是________.
∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，
又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，
题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断例1 (多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是
由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；∵y′＝2－2sin x≥0，∴y＝2x＋2cs x是R上的增函数，故C正确；函数y＝lg(x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确.
命题点2 利用定义证明函数的单调性
方法一 定义法设－1
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
确定函数单调性的四种方法(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
跟踪训练1 (1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为
g(x)＝x·|x－1|＋1
画出函数图象，如图所示，
(2)(2024·唐山模拟)函数f(x)＝ 的单调递增区间为____________.
令t＝2x2－3x－2>0，
由f(t)＝ 在(0，＋∞)上单调递减，
根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间，
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(2)
求函数的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.(3)数形结合法.(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.
典例 (多选)下列函数中，值域正确的是A.当x∈[0,3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2,6)
对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6).
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，
命题点3 解函数不等式例5 函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)
命题点4 求参数的取值范围
(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.
A.(－2,1)B.(0,1)C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)D.(1，＋∞)
则不等式f(x＋2)
∵f(x)在(a，＋∞)上单调递增，
一、单项选择题1.(2023·菏泽检测)下列函数中，在区间(0,1)上单调递增的是
y＝－x2＋1在区间(0,1)上单调递减，故A不符合题意；
y＝3－x在区间(0,1)上单调递减，故D不符合题意.
2.函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[0,2] D.[0，＋∞)
∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)，∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞).
3.(2024·邵阳统考)已知f(x)是偶函数，f(x)在[1,3]上单调递增，则f(1)，f(－2)，f(－3)的大小关系为A.f(1)>f(－2)>f(－3)B.f(－2)>f(－3)>f(1)C.f(－3)>f(1)>f(－2)D.f(－3)>f(－2)>f(1)
因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3).因为f(x)在[1,3]上单调递增，所以f(3)>f(2)>f(1)，所以f(－3)>f(－2)>f(1).
∴f(x)max＝f(2)＝4.
5.(2023·杭州模拟)已知函数f(x)＝x＋ln x－1，则不等式f(x)<0的解集为A.(e，＋∞) B.(1，＋∞)C.(0,1) D.(0，＋∞)
函数f(x)＝x＋ln x－1的定义域为(0，＋∞).因为y＝x－1在(0，＋∞)上单调递增，y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝x＋ln x－1在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)＝1＋ln 1－1＝0，所以不等式f(x)<0的解集为(0,1).
6.已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是A.y＝f(x)＋x是增函数B.y＝f(x)＋x是减函数C.y＝f(x)是增函数D.y＝f(x)是减函数
不妨令x1
8.(2023·广州联考)已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝ 在区间[1，＋∞)上一定A.单调递减 B.单调递增C.有最小值 D.有最大值
∵函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，∴函数图象的对称轴应当位于区间(－∞，1)内，
由a<1,1≤x1
则g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)
10.(2023·松原联考)已知函数f(x)＝2x－2－x，则不等式f(3x－1)
11.已知命题p：“若f(x)
12.(2023·临川一中模拟)已知函数f(x)＝lga(x2－ax＋3)在[0,1]上单调递减，则实数a的取值范围是________.
函数f(x)＝lga(x2－ax＋3)在[0,1]上单调递减，
而函数u＝x2－ax＋3在区间[0,1]上不单调，因此0
所以实数a的取值范围是[2,4).
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象；
f(x)，g(x)的图象如图所示.
(2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性.
由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减；当0
(1)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；
证明：在R上任取x1，x2且x1
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)
所以函数f(x)为奇函数，由(1)知，函数f(x)在R上是增函数，由f(t2－3)＋f(2t)<0，可得f(t2－3)<－f(2t)＝f(－2t)，所以t2－3<－2t，即t2＋2t－3<0，解得－3
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