[数学]2024年湖北高三下学期高考模拟数学试卷(鄂东南示范高中教改联盟校五月)(原题版+解析版)

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2024年湖北高三下学期高考模拟数学试卷（鄂东南示范高中教改联盟校五月）
1. 已知复数 满足
（ 为虚数单位），则
B.
（
）
A. 3
C. 4
D. 5
答案
解析
B
【分析】
由复数的运算得出
【详解】
，然后根据复数模长计算即可.
由
，
则
，
所以
.
故选：B.
2. 已知集合
，则下列表述正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
集合 表示正奇数除以4，集合 表示整数除以4，据此可以判断两个集合的关系.
【详解】
表示是的含义是正奇数除以4，
表示的含义是整数除以4,
所以
，
故选：C.
3. 已知向量
，则向量 在向量 上的投影向量为（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
A
【分析】
设出 的坐标，利用给定条件得到 ，再利用投影向量公式求解即可.
【详解】
设
，因为
，
所以
，解得
，
，
即向量 在向量 上的投影向量为
故选：A.
.
4.
A. 1
被9除的余数为（
）
B. 4
C. 5
D. 8
答案
解析
B

【分析】
化简得出
【详解】
，应用二项式展开式根据整除即可计算求出余数.
其中
是9的整数倍.
故
被9除的余数为4.
故选：B.
5. 已知数列
为等差数列，
为等比数列，
，则（
B.
）
A.
C.
D.
答案
解析
A
【分析】
利用等比数列和等差数列的性质结合基本不等式求解即可.
【详解】
由
为等差数列，
为等比数列，
.
，
可得
由
，当且仅当
时取等，
可得
当
，故A正确，C错误.
时，
；
当且仅当
时取等，
当
时，
，
当且仅当
故选：A.
时取等，故B，D都错误.
6. 已知抛物线
的焦点为 ，过 的直线 与 与交于 、 两点（ 点在 轴上方），点
，则 的方程为（
B.
，若
）
A.
C.
D.
答案
解析
B
【分析】
由
可得 点横坐标，即可得 点坐标，结合焦点坐标可得直线 斜率，表示出直线 后，联立曲线即可得 点坐标，结合焦
半径公式计算即可得解.
【详解】
设
，则
，即
，
，
，
由
得，
的方程为
，
由
得，
，
，
，
，故
.
故选：B.

7. 已知点 是直线
上的动点，由点 向圆
引切线，切点分别为
且
，若满足以上
条件的点 有且只有一个，则
（
）
A.
B.
C. 2
D.
答案
解析
D
【分析】
连接
，结合圆的切线性质可推得点 在以点 为圆心， 为半径的圆 上，再由题意可知该圆与直线
相切，利
用点到直线的距离公式，即可求得答案.
【详解】
连接
，则
.
又
，所以四边形
为正方形，
，
于是点 在以点 为圆心， 为半径的圆 上.
又由满足条件的点 有且只有一个，则圆 与直线
相切，
所以点 到直线
故选：D.
的距离
，解得
.
8. 已知
，则
的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
转化 和 ，设
，根据导数求出
的单调性，比较 和 的大小，转化 和 ，设
，
求出
，令
，利用导数求出 的单调性，利用导数求出 的单调性，比较 和 的大小.
【详解】
，
设
，则
，
当
时，
在
上单调递增，
，即
，
，又
，
设
则
，
，
令
则
，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递减，
，
，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题关键在于通过所比较值的变形，构造函数
和
进行大小比较.

9. 下列说法正确的有（
）
A. “
B.
与
是互斥事件”是“
与
互为对立事件”的必要不充分条件
的下四分位数为95
C. 在经验回归方程
D.
中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量将平均减少
个单位
随机变量 服从二项分布
，则
，且
的概率最大
答案
解析
ACD
【分析】
根据互斥事件与对立事件的关系，即可判断A，根据一组数据的下四分位数的定义，即可判断B，根据回归方程的意义，即可判断C，根
据二项分步的方差公式，以及概率最大的结论，即可判断D.
【详解】
对于A， 与 是互斥事件， 与 不一定互为对立事件，故充分性不成立；
与 互为对立事件，则 与 是互斥事件，故必要性成立.
所以，“ 与 是互斥事件”是“ 与 互为对立事件”的必要不充分条件，所以A正确；
对于B，共有9个数据，而
对于C，在经验回归方程
，故下四分位数为从小到大排列的第3个数据，即为91，所以B错误；
中，当解释变量每增加1个单位时，则 减小 ，即响应变量将平均减少 个单位，故C正确；
对于D，
.
而
的概率最大，所以D正确.
故选：ACD
10. 如图，有一个正四面体ABCD，其棱长为1．下列关于说法中正确的是（
）
A.
过棱AC的截面中，截面面积的最小值为
B.
C.
若
为棱BD(不含端点)上的动点，则存在点P使得
若M，N分别为直线AC，BD上的动点，则M，N两点的距离最小值为
D. 与该正四面体各个顶点的距离都相等的截面有10个
答案
解析
AC
【分析】
选项A三角形的底边一定，高最小时面积最小确定；选项B用余弦定理可得；选项C，易得M，N分别为线段AC，BD的中点时，M，N的距离
最小，即可判断；选项D分类讨论可得.
【详解】
对于 ，设截面与棱BD的交点为 ，
如图，
过棱AC的截面为
，则 为棱BD的中点时，
的面积取得最小值，
在等腰
中，
，可求得
，所以
，则
，故 正确；
对于B，因为
所以
，
，设
，

在
中，
，
所以
，故B错误；
对于C，取线段AC，BD的中点分别为M，N，因为
，
所以在等腰
中，MN为底边上的中线，
，同理可证 ，
则
故MN为线段AC，BD的公垂线，
所以M，N分别为线段AC，BD的中点时，M，N的距离最小，
此时 ，所以
即M，N两点的距离最小值为
，
，故C正确；
对于D，与正四面体各个顶点的距离都相等的截面分为以下两类：
（1）平行于正四面体的一个面，且到顶点和到底面距离相等，这样的截面有4个；
（2）平行于正四面体的两条对棱，且到两条对棱距离相等，这样的截面有3个，
故与正四面体各个顶点的距离都相等的截面共有7个，故D错误．
故选：AC．
11. 已知
，下列结论正确的是（
）
A.
若
若
若
若
的图象向左平移 个单位长度后得到的图象关于 轴对称，则 可以等于
B.
C.
D.
在
在
上恰有3个零点，则 的取值范围是
上恰有3个零点，则 的取值范围是
在
上单调，且
，则
的最小正周期为
答案
解析
BD
【分析】
A项，利用平移后函数关于 轴对称，整体角取值进而得到 的取值；B项，由整体角范围结合正弦函数图象可得不等式求解可得；C
项，利用整体意识求出零点表达式，设出零点，再根据已知区间建立不等式求解可得；D项，由单调区间估计周期范围，再根据条件等
式分析出对称轴与对称中心，从而得到周期.
【详解】
A项，
向在平移 个单位长度后，得到的函数为
，由所得图象关于 轴对称，
，即
，不可能取 ，故A错误.
B项，
故
时，
，
，即
，故B正确.
C项，由
不妨设
得，
的所有零点为
.
上的三个零点，
，
是
在
则
，
解得
由
且
.
得
，由
得
，
故
.

当
当
时，
时，
且
且
；
.
，
综上可知，
D项，因为
或
.
，故C错误.
上单调，
在区间
，故
由
，且
在区间
上单调，
为
的一个对称中心.
，且
又
，
为
的一条对称轴.
而
，故D正确.
故选：BD.
12. 曲线
在点
处的切线为 ，则 在 轴上的截距是
.
答案
解析
【分析】
根据导数的几何意义即可求解.
【详解】
，
的方程为
得，
.
令
，
故 在 轴上的截距是－1.
故答案为：
.
13. 斜率为1的直线与双曲线
交于两点
的斜率为
，点 是 上的一点，满足
的
重心分别为
为
的外心为 .记直线
，
.若
，则双曲线 的离心率
.
答案
解析
2
【分析】
由题意，取
【详解】
不妨取
的中点
，根据中点弦结论、三角形重心和外心的定义以及离心率公式进行求解即可.
的中点
.
因为
的重心为 ，且 在中线
上，
，
所以
.
由中点弦结论知，
，
，
因为
所以
，
，
，
又由
，可得
的外心
为
的中点，
于是由中点弦结论知
，又
，
所以
由
，即
得，
.
，

解得
，
所以双曲线 的离心率
.
故答案为：2.
14. 设
为
是绝对值不大于10的整数，函数
.
满足
，则 的所有可能取值组成的集合
答案
解析
【分析】
分析条件得到三次方程的两个根，结合韦达定理得到参数间的关系，再利用给定条件得到
【详解】
，代入求解即可.
首先，我们来证明一元三次方程
我们设一元三次方程
的韦达定理，
的三个根分别为
，
而
可化为
，
也可以写成
，
将
展开，合并同类项，
得到
所以
，
，
，
，
所以一元三次方程
接着证明
的韦达定理得证，
是
的零点.
，则
，即
事实上，设
，
，
其中
而
是整数，假设
，
而
是整数且 是无理数，所以
，
故
，
必定是整数，
，从而
且整数相减的结果不可能在
因为
，
，
，
，
故
故
设
则
得
由
，而
，即
的三个根为
，矛盾.
，所以
，其中
.
，
，
，所以
.
及
，

所以我们得到
也可得到
，解得
，解得
，
，
而
是绝对值不大于10的整数，
，所以
得到
.
故答案为：
【点睛】
.
关键点点睛：解题关键是确定方程的两个零点，然后用韦达定理得到所要求的参数之间的关系，再得到取值集合即可．
15. 记
的角
的对边分别为
，已知
.
(1)求 ；
(2)若点 是
边上一点，且
，求
的值.
答案
(1)
(2)
解析
【分析】
（1）应用正弦定理化简再结合余弦定理，结合特殊角即可解；
（2）先设角减少未知量，应用正弦定理求出正切，再结合同角三角函数关系计算求出正弦.
【详解】
（1）由
及正弦定理得
，整理得
，
又由余弦定理及三角形内角性质得，
.
（2）
记
，
，则
.
在Rt
在
中，
.①
中，由正弦定理得
.②
由①②及
由
得
，即
，解得
.
，解得
，故
.
16. 如图，四边形
点．
是圆台
的轴截面，
是圆台的母线，点C是
的中点．已知
，点M是BC的中
(1)若直线
(2)记直线
与直线
所成角为 ，证明：
平面
；
与平面ABC所成角为 ，平面
与平面
的夹角为 ，若
，求 ．
答案
解析
(1)证明见解析(2)
【详解】
解： 连接
过C1作
，则四边形
是直角梯形.
是矩形，
于N，则四边形
，
连接
，
，
为OC的中点.又M为BC的中点，
平面
平面ABC，
平面ABC，
，
又
在
，
中，
，
为
的中点，
，OC，
又
平面
，
，

平面
又
平面
，
，
，OB，
平面
，
，
平面
以O为原点，直线OC，OB，
分别为x，y，z轴建立如图的空间直角坐标系.
设
，则
，
，
，
，
，
设平面
则
的法向量
，
取
得
得
，
，
设平面
则
的法向量
，
，
取
，
，解得
在
中，
，
由 知
，
本题重点考查线面垂直的判定和线面角，属于一般题.
通过求值 ，结合 ，利用线面垂直的判定定理即可求证;
建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解.
17. 为了推动“体育助力乡村振兴”，丰富人民群众的文化生活，某地决定举办“村超”足球友谊赛.比赛邀请本地两支村足球队
（实力相当）和外地两支村足球队（实力相当）参加.赛事规定：（1）比赛分为两个阶段，第一阶段：四支球队分成两组，每组进
行一场比赛；第二阶段：第一阶段的胜者之间、负者之间各进行一场比赛，前者决出第一、二名，后者决出第三、四名.（2）第一
阶段分组方案：采取抽签法，每组本地一支球队、外地一支球队.已知各场比赛的胜率和上座率均互相独立，单场比赛的胜率和上
座率如下：
胜率
本地队
0.5
外地队
0.6
本地队
外地队
上座率
本地队
外地队
0.4
0.5
本地队
0.8
外地队
1
1
0.8
(1)第二阶段两场比赛上座率之和记为 ，求 的分布列和数学期望
(2)求本地足球队获得第一名的概率.
；
答案
解析
(1)分布列见解析，
【分析】
(2)
（1）由题意可得 的取值为 ，2，根据独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到 的分布列，再结合期望公式求解；
（2）利用独立事件的概率乘法公式求解.

【详解】
（1） 的取值为 ，2.
当
当
时，第一阶段比赛本地队均胜或均负，所以
时，第一阶段比赛本地队一胜或一负，所以
的分布列为
.
.
1.6
2
0.52
0.48
（2）记本地两支球队为甲、乙，外地两支球队为丙、丁，
则第一阶段有两种分组方法：
①甲、丙一组，乙、丁一组；
②甲、丁一组，乙、丙一组，分别记为事件
，则
.
记事件“甲胜乙”为 ，事件“甲胜丙”为 ，事件“甲胜丁”为 ，事件“乙胜丁”为 ，记事件“甲获得第一名”为 ，则
同理
.
记事件“乙获得第一名”为 ，同理可得
本地足球队获得第一名的概率为
.
.
18. 在平面直角坐标系
和圆 分别交于
中，已知圆
和圆
的方程分别为
和
.以坐标原点 为端点作射线
，与圆
两点.过 作 轴的垂线，过 作 轴的垂线，两垂线交于点 ，设 点的轨迹为 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)若曲线 与 轴交于两点
（点 位于点 上方）.已知点
的取值范围.
，直线
，
分别和曲线 交于点
，
直线
交 轴于点 ，求
答案
解析
(1)
(2)
【分析】
（1）记以射线
可求解；
为终边的角为 ，用 表示
点的坐标，设
.由
，则
，根据同角三角函数
，
即
（2）设
及
，直线
为
得
，计算
.设
得
，将韦达定理代入即可得 点坐标，即
计算 取值范围即可.
，计算出 点坐标并代入椭圆方
程中得 取值范围，然后根据
【详解】
（1）如图①所示，记以射线
为终边的角为 ，则
，所以
.
设
，则
，
故点 的轨迹 的方程为
.
（2）如图②所示，由题意可知，直线
的斜率存在.
.
设
由
，直线
为
得，
，
则
又
.
.
由
得
，
所以
所以
.
，即
，
即
.
将韦达定理代入上式得
上式化简得
.
，解得
，故
.
所以直线
设
过定点
，则
.
，

代入椭圆方程有
，
即
则
故
，即
，即
，
.
.
【点睛】
关键点点睛：联立方程组并利用直线斜率关系及韦达定理求出 点坐标，即
椭圆方程中得 取值范围，然后根据 计算 取值范围.
.设
，计算出 点坐标并代入
19. 在数值计算中，帕德近似是一种常用的逼近方法．给定两个正整数
，若函数
的
阶导数存在，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，其中
，且满足：
的 阶导数．对于给定的正整数
．
，
为函数
．例如，
，函数
的
阶帕德近似是唯一的，
函数
的帕德近似记为
(1)证明：当
时，
；
(2)当
时，比较
满足
与
的大小；
，记
(3)数列
，求证：
．
答案
解析
(1)证明见解析(2)
(3)证明见解析
【分析】
（1）分别构造
，
，根据导数判断函数单调性进而证明；
在 单调递减，得出
（2）令
，根据导数结合（1）得出
，根据引理，不等式放缩及（1）的结论得出
，即可比较大小；
（3）令
，再根据（2）的结论，累加法及不等式放缩，即可证明
．
【详解】
（1）令
，则
时，
，
故
时，
为增函数，
，故当
，
令
故
，则
，
时，
为增函数，
，故当
时，
，设
，
综上可知，当
时，
．
（2）令
则
，
，
则
，
故
在
上为减函数，
所以当
时，
，故
在
上为减函数，
时，
，
所以
故当
，
时，
．
（3）令
，则
，则
，
引理：若
，

事实上，令
又
，则
，故
，
时，
，且
，
所以
，即
，
由引理可知
，这样一直下去，有
，
令
，
由当
时，
，
则
，
故
，
由
及
知
，
所以由（2）可知，当
时，
，
故
，
，累加可知，
，且
时也满足，
，
故
故
，
综上可知，
【点睛】
．
方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．