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第七章 §7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）
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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.基本事实1：过 的三个点，有且只有一个平面.基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 过该点的公共直线.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线 .
2.“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面.
3.空间中直线与直线的位置关系
直线：在同一平面内，有且只有一个公共点； 直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点.
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 .6.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围： .
1.过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.2.分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( )(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种.( )(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )(4)两两相交的三条直线共面.( )
2.(必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是
连接BD(图略)，由于AA1∥DD1，所以∠DD1B即为直线BD1与直线AA1所成的角，
3.(多选)给出以下四个命题，其中错误的是A.不共面的四点中，其中任意三点不共线B.若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E 共面C.若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面D.依次首尾相接的四条线段必共面
反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上，根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A正确；
如图1，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，故B错误；
如图2，a，b共面，a，c共面，但b，c异面，故C错误；如图3，a，b，c，d四条线段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D错误.
图2 图3
4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则：(1)当AC，BD满足条件__________时，四边形EFGH为菱形；
∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)当AC，BD满足条件___________________时，四边形EFGH为正方形.
AC＝BD且AC⊥BD
∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.
例1 已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；
题型一 基本事实的应用
如图所示，连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点.
所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
(3)DE，BF，CC1三线交于一点.
因为EF∥BD且EF
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
故GH∥BC且GH＝BC，所以四边形BCHG是平行四边形.
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
C，D，F，E四点共面.理由如下：
所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH.故EC，FH共面.又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面.
例2 (1)(多选)下列推断中，正确的是A.M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈lB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC.l⊄α，A∈l⇒A∉αD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
题型二 空间位置关系的判断
对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，故A正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，故B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，α，β重合，故D正确.
(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是A.异面或平行 B.异面或相交C.异面 D.相交、平行或异面
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，此时a和c相交；②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；
③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面.
判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断.二是排除法.特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.”
跟踪训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是A.平行 B.异面C.相交或平行 D.平行或异面或相交均有可能
根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况，
由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况.
(2)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线
因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，所以AM与BN不平行，故B错误；
因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确.
例3 (1)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为
题型三 异面直线所成的角
如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF，易知F为 的中点，设四边形ABCD的边长为2，
所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角).
(2)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ，则四棱锥外接球的表面积为A.48π B.12π C.36π D.9π
如图，将其补成长方体.设PA＝x，x>0，连接AB1，B1C，则异面直线AC与PD所成的角就是∠ACB1或其补角.
解得x＝1(舍去负值)，
如图所示，EF∥E1F1，则∠AE1F1即为所求.
(2)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为
如图所示，过点A补作一个与正方体ABCD－A1B1C1D1相同棱长的正方体，易知平面α为平面AF1E，则m，n所成的角为∠EAF1.∵△AF1E为正三角形，
一、单项选择题1.若直线上有两个点在平面外，则A.直线上至少有一个点在平面内B.直线上有无穷多个点在平面内C.直线上所有点都在平面外D.直线上至多有一个点在平面内
根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内.
2.已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内.
3.已知平面α∩平面β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l＝M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是A.直线CM B.直线BMC.直线AB D.直线BC
已知过A，B，C三点确定的平面为γ，则AC⊂γ.又AC∩l＝M，则M∈γ，又平面α∩平面β＝l，则l⊂α，l⊂β，又因为AC∩l＝M，所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以β∩γ＝BM.
4.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为
如图，取AC的中点D，连接DC1，BD，易知AM∥DC1，所以异面直线AM与BC1所成角就是直线DC1与直线BC1所成的角，即∠BC1D，因为直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，
5.四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成角α在旋转过程中A.逐步变大 B.逐步变小C.先变小后变大 D.先变大后变小
由题可知初始时刻ED与BF所成的角为0，如图1，故B，C错误；在四边形AEFD绕EF旋转过程中，EF⊥DF，EF⊥FC，DF∩FC＝F，DF，FC⊂平面DFC，所以EF⊥平面DFC，EF⊂平面EFCB，所以平面DFC⊥平面EFCB，
故D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF上，如图2，所以一定存在某一时刻EP⊥BF，而DP⊥平面EFCB，DP⊥BF，又DP∩PE＝P，DP，PE⊂平面DPE，所以BF⊥平面DPE，
故直线ED，BF所成角α在旋转过程中先变大后变小，故A错误，D正确.
连接BD，DF，AC，CG，CE，如图，设BF＝DF＝x，由BD∥EG，得∠FBD即为BF与EG所成的角，
因为∠PFB＋∠BFC＝180°，故cs∠BFC＝cs(180°－∠PFB)＝－cs∠PFB，
因为F为PC的中点，故V三棱锥P－EFG＝V三棱锥C－EFG＝V三棱锥F－ECG，
因为PA2＋PC2＝AC2，PA＝PC，所以△PAC为等腰直角三角形，
二、多项选择题7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是A.C1，M，O三点共线B.C1，M，O，C四点共面C.C1，O，B1，B四点共面D.D1，D，O，M四点共面
∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和点C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，
∴点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，故A，B正确；
根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确.
将三棱锥补形为长方体，如图所示.其中BE＝BN＝1，BF＝2，
连接MF，则AM∥BF，AM＝BF，所以四边形AMFB为平行四边形，所以AB∥MF，又四边形MCFD为正方形，所以MF⊥CD，所以AB⊥CD，故A正确；
长方体的体积V1＝1×1×2＝2，
长方体的外接球也是三棱锥A－BCD的外接球，
连接MN，交AD于点O，因为MN∥BC，所以∠AOM(或其补角)为异面直线AD与BC所成的角，
三、填空题9.已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点.若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________.
∵m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，∴P∈α且P∈β，又α∩β＝l，∴点P在直线l上，即P∈l.
10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有_____对.
画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF).故共有3对.
在平面ABD中，过E作EG∥AB，交DB于点G，连接GF，如图，
则GF∥CD，∴∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成的角，
∴∠EGF＝120°，∴AB与CD所成角的大小为60°.
12.(2023·长春模拟)如图，在底面为正方形的棱台ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱CC1，BB1，CF，AF的中点，对空间任意两点M，N，若线段MN与线段AE，BD1都不相交，则称点M与点N可视，下列与点D不可视的为_________.(填序号)
①B1；②F；③H；④G.
如图所示，连接B1D1，BD，DB1，EF，DE，DH，DF，DG，因为E，F分别为棱CC1，BB1的中点，所以EF∥BC，又底面ABCD为正方形，所以BC∥AD，所以EF∥AD，
所以四边形EFAD为梯形，所以DH与AE相交，DF与AE相交，故②③不可视；
因为B1D1∥DB，所以四边形B1D1DB是梯形，所以B1D与BD1相交，故①不可视；因为EFAD为梯形，G为CF的中点，即G∉EF，则D，E，G，A四点不共面，所以DG与AE不相交，若DG与BD1相交，则D，B，G，D1四点共面，显然D，B，B1，D1四点共面，G∉平面DBB1D1，所以D，B，G，D1四点不共面，即假设不成立，所以DG与BD1不相交，即点G与点D可视，故④可视.
四、解答题13.已知ABCD是空间四边形，如图所示(M，N，E，F分别是AB，AD，BC，CD上的点).(1)若直线MN与直线EF相交于点O，证明：B，D，O三点共线；
因为M∈AB，N∈AD，AB⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，所以MN⊂平面ABD，因为E∈CB，F∈CD，CB⊂平面CBD，CD⊂平面CBD，所以EF⊂平面CBD，由于直线MN与直线EF相交于点O，即O∈MN，O∈平面ABD，O∈EF，O∈平面CBD，又平面ABD∩平面CBD＝BD，则O∈BD，所以B，D，O三点共线.
(2)若E，N为BC，AD的中点，AB＝6，DC＝4，NE＝2，求异面直线AB与DC所成角的余弦值.
连接BD，作BD的中点G，并连接GN，GE，如图所示，在△ABD中，点N，G分别是AD和BD的中点，且AB＝6，
在△CBD中，点E，G分别是BC和BD的中点，且DC＝4，
则异面直线AB与DC所成的角等于直线GE与GN所成的角，即∠EGN或∠EGN的补角，
又NE＝2，由余弦定理得
14.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点.(1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；
存在.当G为PA的中点时满足条件.如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线，所以GE∥AB.又AB∥DC，所以GE∥DC，所以G，E，C，D四点共面.
(2)若PC＝2，求三棱锥P－ACE的体积.
15.(多选)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是A.DP∥平面AB1D1B.三棱锥C－AD1P的体积为定值C.平面PB1D⊥平面ACD1
对于A，连接DB，C1D，AB1，D1B1，因为BC1∥AD1，BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，因为DB∥D1B1，DB⊄平面AB1D1，D1B1⊂平面AB1D1，所以DB∥平面AB1D1，
又DB∩BC1＝B，DB，BC1⊂平面BDC1，所以平面AB1D1∥平面BDC1，又DP⊂平面BDC1，所以DP∥平面AB1D1，故A正确；
对于B，由点P在线段BC1上运动知平面AD1P即平面AD1C1B，故点C到平面AD1P的距离不变，且△AD1P的面积不变，所以三棱锥C－AD1P的体积不变，故B正确；对于C，因为四边形DCC1D1为正方形，
则CD1⊥C1D，而AD⊥平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，所以CD1⊥AD，又AD∩C1D＝D，AD，C1D⊂平面AB1C1D，
则CD1⊥平面AB1C1D，而DB1⊂平面AB1C1D，因此DB1⊥CD1，同理DB1⊥CA，又CD1∩CA＝C，CD1，CA⊂平面ACD1，所以DB1⊥平面ACD1，又DB1⊂平面PB1D，则平面PB1D⊥平面ACD1，故C正确；
对于D，由AD1∥BC1，异面直线DP与AD1所成角即为DP与BC1所成角，又△DBC1为等边三角形，当P与线段BC1的两端点重合时，
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，球O的半径为R，
又因为AA1⊥平面A1B1C1D1，A1P⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥A1P，
设正方形A1B1C1D1的中心为O1，连接O1P，OO1，
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
1.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.基本事实1：过 的三个点，有且只有一个平面.基本事实2：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 过该点的公共直线.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线 .
2.“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条 直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条 直线，有且只有一个平面.
3.空间中直线与直线的位置关系
直线：在同一平面内，有且只有一个公共点； 直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点.
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 .6.异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).(2)范围： .
1.过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.2.分别在两个平行平面内的直线平行或异面.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)没有公共点的两条直线是异面直线.( )(2)直线与平面的位置关系有平行、垂直两种.( )(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.( )(4)两两相交的三条直线共面.( )
2.(必修第二册P147例1改编)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是
连接BD(图略)，由于AA1∥DD1，所以∠DD1B即为直线BD1与直线AA1所成的角，
3.(多选)给出以下四个命题，其中错误的是A.不共面的四点中，其中任意三点不共线B.若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E 共面C.若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面D.依次首尾相接的四条线段必共面
反证法：如果四个点中，有3个点共线，第4个点不在这条直线上，根据基本事实2的推论可知，这四个点共面，这与已知矛盾，故A正确；
如图1，A，B，C，D共面，A，B，C，E共面，但A，B，C，D，E不共面，故B错误；
如图2，a，b共面，a，c共面，但b，c异面，故C错误；如图3，a，b，c，d四条线段首尾相接，但a，b，c，d不共面，故D错误.
图2 图3
4.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则：(1)当AC，BD满足条件__________时，四边形EFGH为菱形；
∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.
(2)当AC，BD满足条件___________________时，四边形EFGH为正方形.
AC＝BD且AC⊥BD
∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.
例1 已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面；
题型一 基本事实的应用
如图所示，连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点.
所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线.
(3)DE，BF，CC1三线交于一点.
因为EF∥BD且EF
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
故GH∥BC且GH＝BC，所以四边形BCHG是平行四边形.
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
C，D，F，E四点共面.理由如下：
所以四边形EFGB是平行四边形，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH.故EC，FH共面.又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面.
例2 (1)(多选)下列推断中，正确的是A.M∈α，M∈β，α∩β＝l⇒M∈lB.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC.l⊄α，A∈l⇒A∉αD.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
题型二 空间位置关系的判断
对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，故A正确；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，故B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，故C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，α，β重合，故D正确.
(2)(2023·龙岩模拟)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是A.异面或平行 B.异面或相交C.异面 D.相交、平行或异面
如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，①若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线B1A1记为直线c，此时a和c相交；②若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线DD1记为直线c，此时a和c平行；
③若直线AA1记为直线a，直线BC记为直线b，直线C1D1记为直线c，此时a和c异面.
判断空间直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断.二是排除法.特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.”
跟踪训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是A.平行 B.异面C.相交或平行 D.平行或异面或相交均有可能
根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况，
由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况.
(2)(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线
因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，所以AM与BN不平行，故B错误；
因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确.
例3 (1)如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为
题型三 异面直线所成的角
如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F，连接AF，易知F为 的中点，设四边形ABCD的边长为2，
所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角).
(2)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ，则四棱锥外接球的表面积为A.48π B.12π C.36π D.9π
如图，将其补成长方体.设PA＝x，x>0，连接AB1，B1C，则异面直线AC与PD所成的角就是∠ACB1或其补角.
解得x＝1(舍去负值)，
如图所示，EF∥E1F1，则∠AE1F1即为所求.
(2)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为
如图所示，过点A补作一个与正方体ABCD－A1B1C1D1相同棱长的正方体，易知平面α为平面AF1E，则m，n所成的角为∠EAF1.∵△AF1E为正三角形，
一、单项选择题1.若直线上有两个点在平面外，则A.直线上至少有一个点在平面内B.直线上有无穷多个点在平面内C.直线上所有点都在平面外D.直线上至多有一个点在平面内
根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内.
2.已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内.
3.已知平面α∩平面β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且B∉l，又AC∩l＝M，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是A.直线CM B.直线BMC.直线AB D.直线BC
已知过A，B，C三点确定的平面为γ，则AC⊂γ.又AC∩l＝M，则M∈γ，又平面α∩平面β＝l，则l⊂α，l⊂β，又因为AC∩l＝M，所以M∈β，因为B∈β，B∈γ，所以β∩γ＝BM.
4.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为
如图，取AC的中点D，连接DC1，BD，易知AM∥DC1，所以异面直线AM与BC1所成角就是直线DC1与直线BC1所成的角，即∠BC1D，因为直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，
5.四边形ABCD是矩形，AB＝3AD，点E，F分别是AB，CD的中点，将四边形AEFD绕EF旋转至与四边形BEFC重合，则直线ED，BF所成角α在旋转过程中A.逐步变大 B.逐步变小C.先变小后变大 D.先变大后变小
由题可知初始时刻ED与BF所成的角为0，如图1，故B，C错误；在四边形AEFD绕EF旋转过程中，EF⊥DF，EF⊥FC，DF∩FC＝F，DF，FC⊂平面DFC，所以EF⊥平面DFC，EF⊂平面EFCB，所以平面DFC⊥平面EFCB，
故D在平面BCFE内的投影P一直落在直线CF上，如图2，所以一定存在某一时刻EP⊥BF，而DP⊥平面EFCB，DP⊥BF，又DP∩PE＝P，DP，PE⊂平面DPE，所以BF⊥平面DPE，
故直线ED，BF所成角α在旋转过程中先变大后变小，故A错误，D正确.
连接BD，DF，AC，CG，CE，如图，设BF＝DF＝x，由BD∥EG，得∠FBD即为BF与EG所成的角，
因为∠PFB＋∠BFC＝180°，故cs∠BFC＝cs(180°－∠PFB)＝－cs∠PFB，
因为F为PC的中点，故V三棱锥P－EFG＝V三棱锥C－EFG＝V三棱锥F－ECG，
因为PA2＋PC2＝AC2，PA＝PC，所以△PAC为等腰直角三角形，
二、多项选择题7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是A.C1，M，O三点共线B.C1，M，O，C四点共面C.C1，O，B1，B四点共面D.D1，D，O，M四点共面
∵O∈AC，AC⊂平面ACC1A1，∴O∈平面ACC1A1.∵O∈BD，BD⊂平面C1BD，∴O∈平面C1BD，∴O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，同理可得，点M和点C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共点，
∴点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，故A，B正确；
根据异面直线的判定定理可得BB1与C1O为异面直线，故C1，O，B1，B四点不共面，故C不正确；根据异面直线的判定定理可得DD1与MO为异面直线，故D1，D，O，M四点不共面，故D不正确.
将三棱锥补形为长方体，如图所示.其中BE＝BN＝1，BF＝2，
连接MF，则AM∥BF，AM＝BF，所以四边形AMFB为平行四边形，所以AB∥MF，又四边形MCFD为正方形，所以MF⊥CD，所以AB⊥CD，故A正确；
长方体的体积V1＝1×1×2＝2，
长方体的外接球也是三棱锥A－BCD的外接球，
连接MN，交AD于点O，因为MN∥BC，所以∠AOM(或其补角)为异面直线AD与BC所成的角，
三、填空题9.已知α，β是不同的平面，l，m，n是不同的直线，P为空间中一点.若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________.
∵m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，∴P∈α且P∈β，又α∩β＝l，∴点P在直线l上，即P∈l.
10.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有_____对.
画出该正方体的直观图如图所示，易知异面直线有(AB，GH)，(AB，CD)，(GH，EF).故共有3对.
在平面ABD中，过E作EG∥AB，交DB于点G，连接GF，如图，
则GF∥CD，∴∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成的角，
∴∠EGF＝120°，∴AB与CD所成角的大小为60°.
12.(2023·长春模拟)如图，在底面为正方形的棱台ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱CC1，BB1，CF，AF的中点，对空间任意两点M，N，若线段MN与线段AE，BD1都不相交，则称点M与点N可视，下列与点D不可视的为_________.(填序号)
①B1；②F；③H；④G.
如图所示，连接B1D1，BD，DB1，EF，DE，DH，DF，DG，因为E，F分别为棱CC1，BB1的中点，所以EF∥BC，又底面ABCD为正方形，所以BC∥AD，所以EF∥AD，
所以四边形EFAD为梯形，所以DH与AE相交，DF与AE相交，故②③不可视；
因为B1D1∥DB，所以四边形B1D1DB是梯形，所以B1D与BD1相交，故①不可视；因为EFAD为梯形，G为CF的中点，即G∉EF，则D，E，G，A四点不共面，所以DG与AE不相交，若DG与BD1相交，则D，B，G，D1四点共面，显然D，B，B1，D1四点共面，G∉平面DBB1D1，所以D，B，G，D1四点不共面，即假设不成立，所以DG与BD1不相交，即点G与点D可视，故④可视.
四、解答题13.已知ABCD是空间四边形，如图所示(M，N，E，F分别是AB，AD，BC，CD上的点).(1)若直线MN与直线EF相交于点O，证明：B，D，O三点共线；
因为M∈AB，N∈AD，AB⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，所以MN⊂平面ABD，因为E∈CB，F∈CD，CB⊂平面CBD，CD⊂平面CBD，所以EF⊂平面CBD，由于直线MN与直线EF相交于点O，即O∈MN，O∈平面ABD，O∈EF，O∈平面CBD，又平面ABD∩平面CBD＝BD，则O∈BD，所以B，D，O三点共线.
(2)若E，N为BC，AD的中点，AB＝6，DC＝4，NE＝2，求异面直线AB与DC所成角的余弦值.
连接BD，作BD的中点G，并连接GN，GE，如图所示，在△ABD中，点N，G分别是AD和BD的中点，且AB＝6，
在△CBD中，点E，G分别是BC和BD的中点，且DC＝4，
则异面直线AB与DC所成的角等于直线GE与GN所成的角，即∠EGN或∠EGN的补角，
又NE＝2，由余弦定理得
14.如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点.(1)线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明，若不存在，请说明理由；
存在.当G为PA的中点时满足条件.如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线，所以GE∥AB.又AB∥DC，所以GE∥DC，所以G，E，C，D四点共面.
(2)若PC＝2，求三棱锥P－ACE的体积.
15.(多选)如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是A.DP∥平面AB1D1B.三棱锥C－AD1P的体积为定值C.平面PB1D⊥平面ACD1
对于A，连接DB，C1D，AB1，D1B1，因为BC1∥AD1，BC1⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，因为DB∥D1B1，DB⊄平面AB1D1，D1B1⊂平面AB1D1，所以DB∥平面AB1D1，
又DB∩BC1＝B，DB，BC1⊂平面BDC1，所以平面AB1D1∥平面BDC1，又DP⊂平面BDC1，所以DP∥平面AB1D1，故A正确；
对于B，由点P在线段BC1上运动知平面AD1P即平面AD1C1B，故点C到平面AD1P的距离不变，且△AD1P的面积不变，所以三棱锥C－AD1P的体积不变，故B正确；对于C，因为四边形DCC1D1为正方形，
则CD1⊥C1D，而AD⊥平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，所以CD1⊥AD，又AD∩C1D＝D，AD，C1D⊂平面AB1C1D，
则CD1⊥平面AB1C1D，而DB1⊂平面AB1C1D，因此DB1⊥CD1，同理DB1⊥CA，又CD1∩CA＝C，CD1，CA⊂平面ACD1，所以DB1⊥平面ACD1，又DB1⊂平面PB1D，则平面PB1D⊥平面ACD1，故C正确；
对于D，由AD1∥BC1，异面直线DP与AD1所成角即为DP与BC1所成角，又△DBC1为等边三角形，当P与线段BC1的两端点重合时，
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，球O的半径为R，
又因为AA1⊥平面A1B1C1D1，A1P⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥A1P，
设正方形A1B1C1D1的中心为O1，连接O1P，OO1，
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