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第九章 §9.3 成对数据的统计分析-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）
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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§9.3 成对数据的统计分析
1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.3.会利用统计软件进行数据分析.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.变量的相关关系(1)相关关系：两个变量 ，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.(2)相关关系的分类： 和 .(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在 附近，我们就称这两个变量线性相关.
(2)当r>0时，称成对样本数据 ；当r<0时，称成对样本数据 .(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越 ；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越 .
(2)残差：观测值减去 称为残差.
4.列联表与独立性检验(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
(2)计算随机变量χ2＝ ，利用χ2的取值推断分类变量X和Y 的方法称为χ2独立性检验.
3.回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段.( )(2)经验回归直线 至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点.( )(3)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强.( )(4)若事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小.( )
2.(多选)(2023·石嘴山模拟)下列有关回归分析的说法中正确的是A.相关关系是一种确定性的关系B.经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C.当样本相关系数r>0时，两个变量正相关D.两个变量的线性相关性越弱，|r|越接近于0
相关关系是不确定的关系，故A错；经验回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故B错；当样本相关系数r>0时，两个变量正相关，故C对；两个变量的线性相关性越弱，|r|越接近于0，故D对.
3.(2023·福州统考)已知变量x和y的统计数据如表：
所以当x＝10时的残差为6.5－6.6＝－0.1.
4.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表所示：
为了判断主修专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝ ≈4.844，因为χ2>3.841，所以判定主修专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性______0.05(填“大于”或“小于”).
因为χ2>3.841＝x0.05，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为主修专业与性别有关，这种判断出错的可能性小于0.05.
题型一 成对数据的相关性
例1 (1)(2023·天津)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中样本相关系数r＝0.824 5，则下列说法正确的是A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度呈负相关C.花瓣长度和花萼长度呈正相关D.若从样本中抽取一部分，则这部分 的样本相关系数一定是0.824 5
根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，故A错误；散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈正相关，故B错误，C正确；
由于r＝0.824 5是全部数据的样本相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的样本相关系数不一定是0.824 5，故D错误.
(2)(多选)(2023·湛江模拟)某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如表所示：
由表中数据制作成如图所示的散点图，
＝173.5，因为离群点(168,89)的横坐标168小于平均值173.5，纵坐标89相对过大，所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，
去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，
判定两个变量相关性的方法(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关.(2)样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近1，相关性越强.
跟踪训练1 (1)(2023·保定模拟)已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到样本数据如表所示：
由已知数据可知y随着x的增大而减小，
(2)已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1·ln(k1x)与y＝k2x＋b2拟合时的样本相关系数分别为r1，r2则比较r1，r2的大小结果为A.r1>r2 B.r1＝r2 C.r1
(1)根据表中的数据，请用样本相关系数说明y与x有很强的线性相关关系，并求出y关于x的经验回归方程；
说明：对于经验回归方程的样本相关系数r，当|r|>0.75时，两个变量之间具有很强的线性相关关系.参考数据： ≈5.9.
由于|r|>0.75且r非常接近1，所以y与x具有很强的线性相关关系.
(2)①若该省A城市在2023年8月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券，利用(1)中求得的经验回归方程，预计可以带动多少消费？
所以预计能带动的消费达35.25百万元.
②当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10%时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A城市8月份发放额度为10百万元的消费券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.
所以发放的该轮消费券助力消费复苏不理想.发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.(只要写出一个原因即可).
命题点2 非线性回归模型例3 (2024·朝阳模拟)秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量(单位：杯)如下：
(1)请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dln x哪一个更适宜作为y关于x的回归方程模型(给出判断即可，不必说明理由)；
根据散点图，知y＝c＋dln x更适宜作为y关于x的回归方程模型.
(2)建立y关于x的经验回归方程(结果保留1位小数)，并根据建立的经验回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶才能超过35杯？参考数据：
令u＝ln x，则y＝c＋du，
令5.7＋14.2ln x>35，整理得ln x>2.1，即x>e2.1≈8.2，故当x＝9时，即到第9天才能超过35杯.
(1)求y关于x的经验回归方程；
(2)已知服装店每天的经济效益W＝ ＋mx(k>0，m>0)，该商场现有60～150 m2的商铺出租，根据(1)的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺？
则f(x)＝g(t)＝0.15t－7.5t2＝－7.5×(t－0.01)2＋0.000 75，当t＝0.01，即x＝100时，f(x)取最大值，
又因为k>0，m>0，所以此时Z也取最大值，因此，小李应该租100 m2的商铺.
题型三 列联表与独立性检验
例4 (2023·全国甲卷改编)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.826.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.635.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.518.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.823.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5(1)计算试验组的样本平均数；
(2)①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：
依题意，可知这40只小白鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得第20位数据为23.2，第21位数据为23.6，
②根据①中的列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
零假设为H0：小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量无差异.
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异，此推断犯错误的概率不超过0.05.
独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表.
(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断.
跟踪训练3 (2024·哈尔滨模拟)由中央电视台综合频道(CCTV－1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到
了青年观众的喜爱.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如表所示的2×2列联表.
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35.(1)现从100名观众中根据喜爱程度用按比例分配的分层随机抽样的方法
抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？
由题意得来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的观众为0.35×100＝35(人)，
(2)完成右述表格，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为观众的喜爱程度与所在地区有关？
零假设为H0：观众的喜爱程度与所在地区无关.
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此认为H0成立，即观众的喜爱程度与所在地区无关.
一、单项选择题1.为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：
则a－b－c等于A.7 B.8 C.9 D.10
根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，∴a－b－c＝52－21－22＝9.
2.(2023·黄冈中学模拟)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn互不相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝ －5上，则这组样本数据的样本相关系数为
则这组样本数据完全正相关，且样本相关系数为1.
3.(2023·聊城模拟)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.147.依据小概率值α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，结论为A.变量x与y不独立B.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01C.变量x与y独立D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
按照独立性检验的知识及比对的参数值，当χ2＝6.147，我们可以下结论变量x与y独立.故排除A，B；依据小概率值α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，6.147<6.635，所以我们不能得到“变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01”这个结论，故C正确，D错误.
4.(2023·武汉模拟)通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表如表所示：
则以下结论正确的是A.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关B.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关， 这个结论犯错误的概率不超过0.001C.根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
因为7.822<10.828，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，且这个结论犯错误的概率超过0.001，故A正确，B错误；又因为7.822>6.635，所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别有关，或在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别有关，故C和D错误.
5.某市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示：
用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程是 ，样本相关系数r＝－0.992 3，则下列说法不正确的是A.变量x与y负相关且相关性很强B.C.当x＝85时，y的估计值为15D.对应点(105,6)的残差为－0.4
由经验回归方程可得变量x与y 负相关，且由样本相关系数|r|＝0.992 3，可知相关性很强，故A正确；
对应点(105,6)的残差为6－(－0.32×105＋40)＝－0.4，故D正确.
6.(2024·重庆模拟)设两个相关变量x和y分别满足右表：若相关变量x和y可拟合为非线性经验回归方程 ＝2bx＋a，则当x＝6时，y的估计值为
A.33 B.37 C.65 D.73
列出相关变量x，y，v关系如表：
因为1.155≈2，所以 ≈1.15，
二、多项选择题7.(2024·厦门模拟)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则
A.参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常 锻炼的人数多B.从参与调查的学生中任取一人，已知该学生 为女生，则该学生经常锻炼的概率为C.依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的 经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1D.假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变， 统计得到的等高堆积条形图也不变，依据小概率值α＝0.05的独立性检验， 认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05
由题意知经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，故经常锻炼人数为200人，不经常锻炼人数为100人，
故男生中经常锻炼的人数为200×0.5＝100(人)，不经常锻炼的人数为100×0.6＝60(人)，故男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多，故A正确；
女生中经常锻炼的人数为200×0.5＝100(人)，不经常锻炼的人数为100×0.4＝40(人)，故从参与调查的学生中任取一人，已知该学生为女生，
由题意结合男、女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得列联表如表所示：
故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，不能认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，故C错误；由题意可得
故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05，故D正确.
8.沃柑，因其口感甜柔、低酸爽口，且营养成分高，成为大家喜欢的水果之一，目前主要种植于我国广西、云南、四川、湖南等地.得益于物流的快速发展，沃柑的销量大幅增长，同时刺激了当地农民种植沃柑的热情.根据对广西某地的沃柑种植面积情况进行调查，得到统计表如表所示：
根据此表，下列结论正确的是A.该地区这5年沃柑的种植面积的方差为212B.种植面积y与年份代码x的样本相关系数约为0.972(精确到0.001)C.y关于x的经验回归方程为 ＝4.6x＋3.2D.预测该地区沃柑种植面积最早在2027年能突破40万亩
所以最小的整数为8,2 017＋8＝2 025，所以该地区沃柑种植面积最早在2025年能突破40万亩，故D错误.
三、填空题9.(2023·辽宁实验中学模拟)为了比较甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关性的强弱，小明分别计算了甲、乙、丙、丁四组数据的样本相关系数，其数值分别为－0.95，－0.87,0.76,0.92，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据.
根据题意，因为样本相关系数的绝对值越大，线性相关性越强.甲、乙、丙、丁四组数据的样本相关系数分别为－0.95，－0.87,0.76,0.92，所以甲组数据的线性相关性最强.
10.(2024·安庆模拟)对于数据组(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，如果由经验回归方程得到的对应自变量xi的估计值是 ，那么将yi－ 称为对应点(xi，yi)的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如表所示的数据：
根据表中的数据，得到销量y(单位：件)与单价x(单位：元)之间的经验回归方程为 ＝－16x＋a，据计算，样本点(8.4,83)处的残差为1.4，则m＝____.
解得a＝81.6＋16×8.4＝216，
11.在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表(部分数据缺失)：
计算可知，根据小概率值α＝________的独立性检验，认为 “给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”.
完善2×2列联表如下：
零假设为H0：给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果.
所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”.
12.(2023·桂林模拟)一只红铃虫产卵数y和温度x有关，现测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，可用模型y＝ 拟合，设z＝ln y，其变换后的经验回归方程为 －4，若x1＋x2＋…＋x10＝300，y1y2…y10＝e50，e为自然常数，则c1c2＝________.
y＝ 经过z＝ln y变换后，得到z＝ln y＝c2x＋ln c1，根据题意得ln c1＝－4，故c1＝e－4，又x1＋x2＋…＋x10＝300，
y1y2…y10＝e50⇒ln y1＋ln y2＋…＋ln y10＝50，
四、解答题13.(2021·全国甲卷改编)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如表：
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
零假设为H0：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异，根据题表中的数据可得
所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
14.(2023·绵阳模拟)移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域.截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家.如图是2018－2022年
移动物联网连接数w与年份代码t的散点图，其中年份2018－2022对应的t分别为1～5.(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度；
由图可知，两个变量线性相关.
因此，两个变量具有很强的线性相关性.
(2)求w关于t的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数.
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§9.3 成对数据的统计分析
1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题.3.会利用统计软件进行数据分析.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.变量的相关关系(1)相关关系：两个变量 ，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.(2)相关关系的分类： 和 .(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在 附近，我们就称这两个变量线性相关.
(2)当r>0时，称成对样本数据 ；当r<0时，称成对样本数据 .(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越 ；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越 .
(2)残差：观测值减去 称为残差.
4.列联表与独立性检验(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表：
(2)计算随机变量χ2＝ ，利用χ2的取值推断分类变量X和Y 的方法称为χ2独立性检验.
3.回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段.( )(2)经验回归直线 至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个点.( )(3)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强.( )(4)若事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小.( )
2.(多选)(2023·石嘴山模拟)下列有关回归分析的说法中正确的是A.相关关系是一种确定性的关系B.经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C.当样本相关系数r>0时，两个变量正相关D.两个变量的线性相关性越弱，|r|越接近于0
相关关系是不确定的关系，故A错；经验回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故B错；当样本相关系数r>0时，两个变量正相关，故C对；两个变量的线性相关性越弱，|r|越接近于0，故D对.
3.(2023·福州统考)已知变量x和y的统计数据如表：
所以当x＝10时的残差为6.5－6.6＝－0.1.
4.某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表所示：
为了判断主修专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝ ≈4.844，因为χ2>3.841，所以判定主修专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性______0.05(填“大于”或“小于”).
因为χ2>3.841＝x0.05，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为主修专业与性别有关，这种判断出错的可能性小于0.05.
题型一 成对数据的相关性
例1 (1)(2023·天津)调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中样本相关系数r＝0.824 5，则下列说法正确的是A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度呈负相关C.花瓣长度和花萼长度呈正相关D.若从样本中抽取一部分，则这部分 的样本相关系数一定是0.824 5
根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，故A错误；散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈正相关，故B错误，C正确；
由于r＝0.824 5是全部数据的样本相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的样本相关系数不一定是0.824 5，故D错误.
(2)(多选)(2023·湛江模拟)某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如表所示：
由表中数据制作成如图所示的散点图，
＝173.5，因为离群点(168,89)的横坐标168小于平均值173.5，纵坐标89相对过大，所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，
去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，
判定两个变量相关性的方法(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关.(2)样本相关系数：当r>0时，正相关；当r<0时，负相关；|r|越接近1，相关性越强.
跟踪训练1 (1)(2023·保定模拟)已知两个变量x和y之间有线性相关关系，经调查得到样本数据如表所示：
由已知数据可知y随着x的增大而减小，
(2)已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1·ln(k1x)与y＝k2x＋b2拟合时的样本相关系数分别为r1，r2则比较r1，r2的大小结果为A.r1>r2 B.r1＝r2 C.r1
(1)根据表中的数据，请用样本相关系数说明y与x有很强的线性相关关系，并求出y关于x的经验回归方程；
说明：对于经验回归方程的样本相关系数r，当|r|>0.75时，两个变量之间具有很强的线性相关关系.参考数据： ≈5.9.
由于|r|>0.75且r非常接近1，所以y与x具有很强的线性相关关系.
(2)①若该省A城市在2023年8月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券，利用(1)中求得的经验回归方程，预计可以带动多少消费？
所以预计能带动的消费达35.25百万元.
②当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10%时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A城市8月份发放额度为10百万元的消费券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.
所以发放的该轮消费券助力消费复苏不理想.发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.(只要写出一个原因即可).
命题点2 非线性回归模型例3 (2024·朝阳模拟)秋天的第一杯奶茶是一个网络词汇，最早出自四川达州一位当地民警之口，民警用“秋天的第一杯奶茶”顺利救下一名女孩，由此而火爆全网.后来很多人开始在秋天里买一杯奶茶送给自己在意的人.某奶茶店主记录了入秋后前7天每天售出的奶茶数量(单位：杯)如下：
(1)请根据以上数据，绘制散点图，并根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋dln x哪一个更适宜作为y关于x的回归方程模型(给出判断即可，不必说明理由)；
根据散点图，知y＝c＋dln x更适宜作为y关于x的回归方程模型.
(2)建立y关于x的经验回归方程(结果保留1位小数)，并根据建立的经验回归方程，试预测要到哪一天售出的奶茶才能超过35杯？参考数据：
令u＝ln x，则y＝c＋du，
令5.7＋14.2ln x>35，整理得ln x>2.1，即x>e2.1≈8.2，故当x＝9时，即到第9天才能超过35杯.
(1)求y关于x的经验回归方程；
(2)已知服装店每天的经济效益W＝ ＋mx(k>0，m>0)，该商场现有60～150 m2的商铺出租，根据(1)的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺？
则f(x)＝g(t)＝0.15t－7.5t2＝－7.5×(t－0.01)2＋0.000 75，当t＝0.01，即x＝100时，f(x)取最大值，
又因为k>0，m>0，所以此时Z也取最大值，因此，小李应该租100 m2的商铺.
题型三 列联表与独立性检验
例4 (2023·全国甲卷改编)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g).试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.826.5 27.5 30.1 32.6 34.3 34.8 35.635.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.518.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.823.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5(1)计算试验组的样本平均数；
(2)①求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：
依题意，可知这40只小白鼠体重的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排列后第20位与第21位数据的平均数，由原数据可得第20位数据为23.2，第21位数据为23.6，
②根据①中的列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
零假设为H0：小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量无差异.
依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异，此推断犯错误的概率不超过0.05.
独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表.
(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断.
跟踪训练3 (2024·哈尔滨模拟)由中央电视台综合频道(CCTV－1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到
了青年观众的喜爱.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如表所示的2×2列联表.
已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35.(1)现从100名观众中根据喜爱程度用按比例分配的分层随机抽样的方法
抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少？
由题意得来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的观众为0.35×100＝35(人)，
(2)完成右述表格，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为观众的喜爱程度与所在地区有关？
零假设为H0：观众的喜爱程度与所在地区无关.
根据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此认为H0成立，即观众的喜爱程度与所在地区无关.
一、单项选择题1.为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：
则a－b－c等于A.7 B.8 C.9 D.10
根据题意，可得c＝120－73－25＝22，a＝74－22＝52，b＝73－52＝21，∴a－b－c＝52－21－22＝9.
2.(2023·黄冈中学模拟)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn互不相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝ －5上，则这组样本数据的样本相关系数为
则这组样本数据完全正相关，且样本相关系数为1.
3.(2023·聊城模拟)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2＝6.147.依据小概率值α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，结论为A.变量x与y不独立B.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01C.变量x与y独立D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01
按照独立性检验的知识及比对的参数值，当χ2＝6.147，我们可以下结论变量x与y独立.故排除A，B；依据小概率值α＝0.01的独立性检验(x0.01＝6.635)，6.147<6.635，所以我们不能得到“变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01”这个结论，故C正确，D错误.
4.(2023·武汉模拟)通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表如表所示：
则以下结论正确的是A.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关B.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关， 这个结论犯错误的概率不超过0.001C.根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关D.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关
因为7.822<10.828，所以根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，且这个结论犯错误的概率超过0.001，故A正确，B错误；又因为7.822>6.635，所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别有关，或在犯错误的概率不超过0.01的前提下，我们认为爱好跳绳与性别有关，故C和D错误.
5.某市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其价格进行调查，得到该商品的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示：
用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程是 ，样本相关系数r＝－0.992 3，则下列说法不正确的是A.变量x与y负相关且相关性很强B.C.当x＝85时，y的估计值为15D.对应点(105,6)的残差为－0.4
由经验回归方程可得变量x与y 负相关，且由样本相关系数|r|＝0.992 3，可知相关性很强，故A正确；
对应点(105,6)的残差为6－(－0.32×105＋40)＝－0.4，故D正确.
6.(2024·重庆模拟)设两个相关变量x和y分别满足右表：若相关变量x和y可拟合为非线性经验回归方程 ＝2bx＋a，则当x＝6时，y的估计值为
A.33 B.37 C.65 D.73
列出相关变量x，y，v关系如表：
因为1.155≈2，所以 ≈1.15，
二、多项选择题7.(2024·厦门模拟)为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则
A.参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常 锻炼的人数多B.从参与调查的学生中任取一人，已知该学生 为女生，则该学生经常锻炼的概率为C.依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的 经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1D.假设调查人数为600人，经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变， 统计得到的等高堆积条形图也不变，依据小概率值α＝0.05的独立性检验， 认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05
由题意知经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，故经常锻炼人数为200人，不经常锻炼人数为100人，
故男生中经常锻炼的人数为200×0.5＝100(人)，不经常锻炼的人数为100×0.6＝60(人)，故男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多，故A正确；
女生中经常锻炼的人数为200×0.5＝100(人)，不经常锻炼的人数为100×0.4＝40(人)，故从参与调查的学生中任取一人，已知该学生为女生，
由题意结合男、女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得列联表如表所示：
故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，不能认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，故C错误；由题意可得
故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.05，故D正确.
8.沃柑，因其口感甜柔、低酸爽口，且营养成分高，成为大家喜欢的水果之一，目前主要种植于我国广西、云南、四川、湖南等地.得益于物流的快速发展，沃柑的销量大幅增长，同时刺激了当地农民种植沃柑的热情.根据对广西某地的沃柑种植面积情况进行调查，得到统计表如表所示：
根据此表，下列结论正确的是A.该地区这5年沃柑的种植面积的方差为212B.种植面积y与年份代码x的样本相关系数约为0.972(精确到0.001)C.y关于x的经验回归方程为 ＝4.6x＋3.2D.预测该地区沃柑种植面积最早在2027年能突破40万亩
所以最小的整数为8,2 017＋8＝2 025，所以该地区沃柑种植面积最早在2025年能突破40万亩，故D错误.
三、填空题9.(2023·辽宁实验中学模拟)为了比较甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关性的强弱，小明分别计算了甲、乙、丙、丁四组数据的样本相关系数，其数值分别为－0.95，－0.87,0.76,0.92，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据.
根据题意，因为样本相关系数的绝对值越大，线性相关性越强.甲、乙、丙、丁四组数据的样本相关系数分别为－0.95，－0.87,0.76,0.92，所以甲组数据的线性相关性最强.
10.(2024·安庆模拟)对于数据组(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，如果由经验回归方程得到的对应自变量xi的估计值是 ，那么将yi－ 称为对应点(xi，yi)的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如表所示的数据：
根据表中的数据，得到销量y(单位：件)与单价x(单位：元)之间的经验回归方程为 ＝－16x＋a，据计算，样本点(8.4,83)处的残差为1.4，则m＝____.
解得a＝81.6＋16×8.4＝216，
11.在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验.现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表(部分数据缺失)：
计算可知，根据小概率值α＝________的独立性检验，认为 “给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”.
完善2×2列联表如下：
零假设为H0：给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果.
所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立，即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”.
12.(2023·桂林模拟)一只红铃虫产卵数y和温度x有关，现测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，可用模型y＝ 拟合，设z＝ln y，其变换后的经验回归方程为 －4，若x1＋x2＋…＋x10＝300，y1y2…y10＝e50，e为自然常数，则c1c2＝________.
y＝ 经过z＝ln y变换后，得到z＝ln y＝c2x＋ln c1，根据题意得ln c1＝－4，故c1＝e－4，又x1＋x2＋…＋x10＝300，
y1y2…y10＝e50⇒ln y1＋ln y2＋…＋ln y10＝50，
四、解答题13.(2021·全国甲卷改编)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如表：
(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？
(2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？
零假设为H0：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异，根据题表中的数据可得
所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.
14.(2023·绵阳模拟)移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域.截至2022年底，我国移动物联网连接数达18.45亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家.如图是2018－2022年
移动物联网连接数w与年份代码t的散点图，其中年份2018－2022对应的t分别为1～5.(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关.计算样本相关系数(精确到0.01)，并推断它们的相关程度；
由图可知，两个变量线性相关.
因此，两个变量具有很强的线性相关性.
(2)求w关于t的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数.
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