新高考数学三轮冲刺 北京卷押题练习 第17题 空间向量与立体几何 解答题（2份打包，原卷版+解析版）

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1.（2023·北京卷T16）如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面PAB；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小．
2.（2022·北京卷T17）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M，N分别为 SKIPIF 1 < 0 ，AC的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： SKIPIF 1 < 0 ；
条件②： SKIPIF 1 < 0 ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
3.（2021·北京卷T17）如图：在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点；
（2）点 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上一点，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
1.直线与平面所成角
如图所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l与α所成的角，则sin θ＝｜cs＜a，n＞｜＝ SKIPIF 1 < 0
【提醒】直线与平面所成角的范围为 SKIPIF 1 < 0 ，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值.
2.平面与平面的夹角
（1）平面与平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角，如图①.若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cs θ＝｜cs＜n1，n2＞｜＝ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）二面角：二面角α－l－β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则｜cs φ｜＝cs θ＝ SKIPIF 1 < 0 ，如图②③.
【提醒】注意二面角与两个平面的夹角的区别与联系，二面角的范围为[0，π]，两个平面的夹角的范围为 SKIPIF 1 < 0
3.用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是 SKIPIF 1 < 0 ，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
4.向量法求直线与平面所成角的主要方法是：
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
5.向量法求平面与平面夹角（二面角）的方法
（1）找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；
（2）找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

1．如图所示，将边长为2的正方形 SKIPIF 1 < 0 沿对角线 SKIPIF 1 < 0 折起，得到三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点.

(1)证明： SKIPIF 1 < 0
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值及点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0
2．如图，在五面体 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 .

(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
条件①： SKIPIF 1 < 0 ；
条件②： SKIPIF 1 < 0 .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分
3．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面ABCD是边长为2的正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E为BC的中点，F为PD的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面PAB；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AD与平面AEF所成角的正弦值．
条件①： SKIPIF 1 < 0 ；条件②： SKIPIF 1 < 0 ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
4．如图，在五面体 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是正三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．

(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
5．如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
6．如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 的中点
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
7．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥 SKIPIF 1 < 0 存在且唯一确定.
（i）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（ⅱ）设平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.
条件①： SKIPIF 1 < 0 ；
条件②： SKIPIF 1 < 0 ；
条件③： SKIPIF 1 < 0 .
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
8．如图，四棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形，侧面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点．

(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角 SKIPIF 1 < 0 唯一确定，并求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
条件①： SKIPIF 1 < 0 ；
条件②： SKIPIF 1 < 0 ；
条件③： SKIPIF 1 < 0 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
9．如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点．

(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．
条件①： SKIPIF 1 < 0 ；
条件②： SKIPIF 1 < 0 ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
10．如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；
(3)在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，若不存在，请说明理由．
核心考点
考情统计
考向预测
备考策略
线面垂直，二面角
2022·北京卷T13
预测2024年新高考命题方向将继续线面位置关系，二面角展开命题．
三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心
线面平行，线面角
2020·北京卷T14
点的位置，二面角
2019·北京卷T9