新高考数学三轮冲刺 北京卷押题练习 第18题 概率统计解答题（2份打包，原卷版+解析版）

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1.（2023·北京卷T18）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
2.（2022·北京卷T18）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到 SKIPIF 1 < 0 以上（含 SKIPIF 1 < 0 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
3.（2021·北京卷T18）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 SKIPIF 1 < 0 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
1.频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示eq \f(频率,组距)，频率＝组距×eq \f(频率,组距).
2.在频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
3.利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数.
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和相等.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
4.离散型随机变量X的分布列为
则(1)pi≥0，i＝1，2，…，n.
(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn.
(4)D(X)＝eq \(∑,\s\up11(n),\s\d4(i＝1))[xi－E(X)]2pi.
(5)若Y＝aX＋b，则E(Y)＝aE(X)＋b，D(Y)＝a2D(X).
5.求随机变量X的均值与方差的方法及步骤
(1)理解随机变量X的意义，写出X可能的全部取值；
(2)求X取每个值对应的概率，写出随机变量X的分布列；
(3)由均值和方差的计算公式，求得均值E(X)，方差D(X)；
(4)若随机变量X的分布列为特殊分布列(如：两点分布、二项分布、超几何分布)，可利用特殊分布列的均值和方差的公式求解.

1．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用 SKIPIF 1 < 0 表示乙学校的总得分，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列与期望.
(3)设用 SKIPIF 1 < 0 表示甲学校的总得分，比较 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的大小（直接写出结果）.
2．某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：

(1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；
(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列与数学期望 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为 SKIPIF 1 < 0 ，试判断数学期望 SKIPIF 1 < 0 与（2）中的 SKIPIF 1 < 0 的大小.（结论不要求证明）
3．10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲､乙､丙的资格赛成绩如下：
假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的射击成绩相互独立．
(1)若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；
(2)若甲､乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；
(3)甲､乙､丙各射击10次，用 SKIPIF 1 < 0 分别表示甲､乙､丙的10次射击中大于 SKIPIF 1 < 0 环的次数，其中 SKIPIF 1 < 0 ．写出一个 SKIPIF 1 < 0 的值，使 SKIPIF 1 < 0 ．（结论不要求证明）
4．某项游戏的规则如下：游戏可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮游戏，分数如下表：
若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”.
(1)若从以上十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率；
(2)假设甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否稳定发挥以频率估计概率.记 SKIPIF 1 < 0 为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望；
(3)假设选手乙参加 SKIPIF 1 < 0 轮游戏，每轮的两次分数均不相同.记 SKIPIF 1 < 0 为各轮较高分的算数平均值， SKIPIF 1 < 0 为各轮较低分的算数平均值， SKIPIF 1 < 0 为各轮两次的平均分的算数平均值.试比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小（结论不要求证明）.
5．某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B．试验结果如下表所示．
(1)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于 SKIPIF 1 < 0 的概率；
(2)从两组皮肤疱疹面积在 SKIPIF 1 < 0 区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)用“ SKIPIF 1 < 0 ”表示第 SKIPIF 1 < 0 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在 SKIPIF 1 < 0 区间内，“ SKIPIF 1 < 0 ”表示第 SKIPIF 1 < 0 组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在 SKIPIF 1 < 0 区间内（ SKIPIF 1 < 0 ），写出方差 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系．（结论不要求证明）
6．某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如图，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．
(1)试估计顾客同时购买了甲、乙两种商品的概率；
(2)假设每位顾客是否够买这四种商品是相互独立的，在近期内再对这四种商品购买情况进行调查，随机抽取4名顾客，试估计恰有2名顾客购买了两种商品，1名顾客购买了一种商品、1名顾客购买了三种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲则该顾客同时购买丙、丁中哪种商品的可能性最大．（结论不要求证明）
7．某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：
(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；
(2)为进一步研究这10名同学的成绩，从考核成绩小于90分的学生中随机抽取两人，记这两人中两轮测试至少有一次大于90分的人数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列与数学期望；
(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为 SKIPIF 1 < 0 ，考核成绩的平均数和方差分别为 SKIPIF 1 < 0 ，试比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小.（只需写出结论）
8．为了解某地区居民每户月均用电情况，采用随机抽样的方式，从该地区随机调查了100户居民，获得了他们每户月均用电量的数据，发现每户月均用电量都在 SKIPIF 1 < 0 之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），得到如下频率分布直方图：

(1)记频率分布直方图中从左到右的分组依次为第1组，第2组，…，第6组.从第5组，第6组中任取2户居民，求他们月均用电量都不低于 SKIPIF 1 < 0 的概率；
(2)从该地区居民中随机抽取3户，设月均用电量在 SKIPIF 1 < 0 之间的用户数为 SKIPIF 1 < 0 ，以频率估计概率，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列和数学期望 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)该地区为提倡节约用电，拟以每户月均用电量为依据，给该地区月均用电量不少于 SKIPIF 1 < 0 的居民用户每户发出一份节约用电倡议书，且发放倡议书的数量为该地区居民用户数的2%.请根据此次调查的数据，估计 SKIPIF 1 < 0 应定为多少合适？（只需写出结论）.
9．2023年9月23日至2023年10月8日，第19届亚运会将在中国杭州举行.杭州某中学高一年级举办了“亚运在我心”的知识竞赛，其中1班，2班，3班，4班报名人数如下：
该年级在报名的同学中按分层抽样的方式抽取10名同学参加竞赛，每位参加竞赛的同学从预设的10个题目中随机抽取4个作答，至少答对3道的同学获得一份奖品.假设每位同学的作答情况相互独立.
(1)求各班参加竞赛的人数；
(2)2班的小张同学被抽中参加竞赛，若该同学在预设的10个题目中恰有3个答不对，记他答对的题目数为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的分布列及数学期望；
(3)若1班每位参加竞赛的同学答对每个题目的概率均为 SKIPIF 1 < 0 ，求1班参加竞赛的同学中至少有1位同学获得奖品的概率.
10．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值；
(2)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在 SKIPIF 1 < 0 内的学生人数为X，求X的分布列和期望；
(3)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“ SKIPIF 1 < 0 ”表示这20名学生中恰有k名学生参加公益劳动时间在 SKIPIF 1 < 0 （单位：小时）内的概率，其中 SKIPIF 1 < 0 ，1，2， SKIPIF 1 < 0 ，20.当 SKIPIF 1 < 0 最大时，写出k的值.（只需写出结论）.
核心考点
考情统计
考向预测
备考策略
频率与概率
2022·北京卷T13
预测2023年新高考命题方向将继续以随机变量分布列及期望方差为背景展开命题．
概率统计大题难度一般，纵观近几年的新高考试题，主要考查事件与概率、独立性检验、频率分布直方图、随机变量分布列及期望方差等知识点，同时也是高考冲刺复习的重点复习内容。
期望与方差及决策
2020·北京卷T14
期望与方差及决策
2019·北京卷T9
时段
价格变化
第1天到第20天
-
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
-
-
+
-
+
0
0
+
第21天到第40天
0
+
+
0
-
-
-
+
+
0
+
0
+
-
-
-
+
0
-
+
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
环数
6环
7环
8环
9环
10环
甲的射出频数
1
1
10
24
24
乙的射出频数
3
2
10
30
15
丙的射出频数
2
4
10
18
26
轮次
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
第一次分数
7
6
8
9
8
5
9
7
10
7
第二次分数
8
7
9
10
8
9
8
7
7
9
疱疹面积（单位： SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
第1组（只）
3
4
1
2
0
第2组（只）
1
3
2
3
1
1号
2号
3号
4号
5号
6号
7号
8号
9号
10号
第一轮测试成绩
96
89
88
88
92
91
87
90
92
90
第二轮测试成绩
90
90
91
88
88
87
96
92
89
92
班号
1
2
3
4
人数
30
40
20
10