【开学考】2024年秋季高一上入学分班考试模拟卷秋季高一上入学分班考试模拟卷数学（上海专用，考试范围：初中内容初升高衔接内容）.zip

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满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试内容：初中内容+初升高衔接内容
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．计算：＝ ．
【答案】
【分析】先依据公式得出正确的符号，再利用幂的除法公式计算．
【解析】
故答案为：．
【点睛】本题考查幂的运算，正确运用公式是解题的关键．
2．计算：
【答案】/
【分析】根据特殊角三角函数代入求解即可得到答案；
【解析】解：原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角三角函数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值．
3．若一次函数的图象不过第一象限，则k的取值范围是 ．
【答案】
【分析】若函数的图象不过第一象限，则此函数的，，据此求解．
【解析】函数的图象不过第一象限，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，解题关键是掌握一次函数的图象经过第几象限，取决于x的系数是大于0或是小于0．
4．不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】由已知结合分式不等式的求法即可求解．
【解析】由,可得，
即，
解得或．
故答案为：或．
5．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据解析式列出不等式求解.
【解析】因为，
所以且，
解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：
6．某班进行一次班级活动，要在2名男同学和3名女同学中，随机选出2名学生担任主持人，那么选出的2名学生恰好是一男一女的概率是 ．
【答案】/0.6
【分析】本题考查的是画树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
先画出树状图得出所有等可能的情况数，再找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得到答案．
【解析】解：根据题意画图如下：
共有20种等可能的情况数，选出的2位同学恰好为一男一女的有12种，
则主持人是一男一女的概率为．
故答案为：．
7．已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 .
【答案】
【分析】设，结合题意，得到，即可求解.
【解析】设，
因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：.
8．如图，点是的重心，过点且平行于，点、分别在、上，设，，那么 ．（用、表示）
【答案】
【分析】先根据三角形重心的性质（重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1），求得与的数量关系，然后根据，可得与、的数量关系．
【解析】解，连接，并延长交于点，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的重心，平面向量，能够熟练掌握重心的性质是解决本题的关键．
9．已知方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用判别式与韦达定理得到关于的不等式组，从而得解.
【解析】因为有两个不相等的正根，即有两个不相等的正根，
所以，解得.
故答案为：.
10．如图，斜坡的坡度，现需要在不改变坡高的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡的坡度，已知斜坡米，那么斜坡 米．

【答案】
【分析】根据斜坡的坡度与的值先求出，再根据斜坡的坡度，求得，即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，,
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
11．在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，涉及到新定义，一次函数的图象，解不等式，解题的关键是利用数形结合的思想．
先求出点C、D所在的直线表达式为，当时，还出抛物线与直线的大致图象，联立直线和抛物线的表达式，用a的代数式表示出x，根据x的范围求出a的范围，还需考虑根的判别式；当时，不成立．
【解析】解：设二次函数图象上的两点为点C、D，
题意得点 的“跳跃点”为，将代入，
得：，
∴，则点C在直线上，同理点D也在直线上，
对于二次函数，
令，则，
解得：或，
∴抛物线与x轴交于和，
当时，抛物线与直线的大致图象如图：
直线也经过，设为点D，另一个交点设为点C，
则联立直线和抛物线的表达式得到，
则，
则，解得，
则，而，
∴ ，
∴，
对于，化简为：，
而直线和抛物线在时有两个交点，故
∴
∴，
∴且；
当时，如图：
直线不可能与抛物线在时有两个交点，故舍，
综上：且．
12．关于的方程的正整数解的个数 个．
【答案】1
【分析】先将原方程等号左边部分因式分解，可得，根据题意列举出两个正整数乘积为32的情况，考虑到因式分解后含有，在保证正整数集的条件下，可列出三个二元一次方程组，分别解方程组即可获得答案．
【解析】解：
，
由题意可知，
列举出两个正整数乘积为32的情况，可以有以下三种（只是因数位置不同的算一种），
，
，
，
∵因式分解后含有，在保证正整数集的条件下，则有，
又∵，，，
∴根据题意可列出方程组为或或，
解第一个方程组，可得，
解第二个方程组，可得，
解第三个方程组，可得，
只有第三个方程组的解均为正整数，因此原方程的正整数解得个数为1个．
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用以及解二元一次方程组，灵活运用相关知识，正确进行因式分解是解题关键．
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)
13．下列各数中，是有理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了有理数的概念，立方根，算术平方根知识．有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数；对各数进行判断即可．
【解析】解：，
∴有理数是，
故选：D．
14．某校交响乐团有90名成员，下表是合唱团成员的年龄分布统计表：对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（ ）
A．平均数、中位数B．平均数、方差
C．众数、中位数D．众数、方差
【答案】C
【分析】由频数分布表可知年龄15岁和年龄16岁的两组的频数和为26，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第45、46个数据的平均数，可得答案．
【解析】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+26﹣x＝26，
则总人数为：17+29+26+18＝90，
故该组数据的众数为14岁，
中位数为（14+14）÷2＝14（岁）．
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数．
故选：C．
【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
15．关于x方程在内恰有一解，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】讨论，方程根的情况，结合根的分布列不等式，即可求的范围.
【解析】当时，，不合题意；
∴，令，有，，要使在内恰有一个零点，
∴即可，则，
故选：B
【点睛】本题考查了由一元二次方程根的分布求参数范围，应用了分类讨论的方法，属于基础题.
16．已知抛物线与的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为，，，且．若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，以及不等式性质，根据题意得到，，再联立函数解析式表示出，，，利用不等式性质，比较其大小，即可解题．
【解析】解：，，
，，
抛物线与的交点为A，
，
整理得，
解得或，
，
，
抛物线与，与x轴的交点分别为B，C，
，可得，，可得，
，
，，
，
故选：C．
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．解下列不等式：
(1):
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简后解不等式组即可得到答案；
（2）根据绝对值分类讨论即可得到答案.
【解析】（1）由，得，
所以，解得或，
所以不等式的解集为
（2）当，即时，，得，
此时，，
当，即时，，得，
此时，，
综上所述，，即不等式的解集为
18．某企业为了增收节支，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销． 经过调查，得到如下数据：
(1)把上表中 的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，根据所描出的点猜想 是 的什么函数，并求出函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）
(3)为了支持希望工程，在实际的销售过程中该公司决定每销售一件工艺品就捐元给希望工程，公司通过销售记录发现，当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)50元/件；9000
(3)
【分析】（1）根据表格中数据进行描点作图，并猜想函数关系为一次函数，从而求解；
（2）求出利润的关系式，从而可求解；
（3）求出捐赠后的利润，根据二次函数性质求得，从而可求解.
【解析】（1）如下图，由图猜想与是一次函数，设这个函数为，
又这个函数图象过两点，，
所以，解得，
所以函数关系式为.
（2）由（1）知总销售额为，设利润为，
所以总利润为，
当时，有最大值元.
（3）由题意可得设扣除捐赠后的利润为，
因为，所以抛物线开口向下，在对称轴的左侧随的增大而增大。
所以时，有最大值，
又因为当销售单元价不超过51元/件时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价 的增大而增大，
所以，解得，又因为，
所以的取值范围为.
19．已知函数
(1)解关于的不等式；
(2)若方程有两个正实数根，求的最小值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)6.
【分析】（1）解含参一元二次不等式，即可得答案；
（2）根据方程有两个正实数根可得相应不等式组，进而表示出，采用换元法结合基本不等式即可求得答案.
【解析】（1）不等式即为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上可知：当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
（2）方程有两个正实数根，
即有两个正实数根
故，解得，
所以
令，则，故
当且仅当即时取得等号，
故的最小值为6.
20．在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线．
(1)如图，已知抛物线顶点为A．
①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式；
②已知该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果（是锐角），求m的值．
(2)已知抛物线的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为．如果是直角三角形，求该抛物线的表达式．
【答案】(1)①；②或
(2)
【分析】（1）①由，可得，则该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为，然后求镜像抛物线的表达式即可；②当在点左侧时，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为，如图，连接交轴于点，则，由，可得，计算求解即可；如图，当在点右侧时，同理可得，，计算求解即可；
（2）如图2，由题意知，若是直角三角形，则是等腰直角三角形，则，设，由，可得，即抛物线的表达式为，将代入得，，求出满足要求的，进而可得抛物线的表达式．
【解析】（1）①解：∵，
∴，
∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为，
∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式为，即；
②当在点左侧时，
∵，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，
∴，
如图，连接交轴于点，则，
图
∵，
∴，
解得，；
如图，当在点右侧时，
图
同理可得，，
解得，；
综上所述，的值为或；
（2）解：如图2，
图2
由题意知，若是直角三角形，则是等腰直角三角形，则，
设，
∵，
∴，
∴抛物线的表达式为，
将代入得，，
解得，或（舍去），
∴抛物线的表达式为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切等知识，熟练掌握二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键．
21．已知，在中，，，点P是边上的一个动点，连接，以为一边，在外作，交的延长线于点D．
(1)当平分时，求的面积；
(2)当时，求的正弦值；
(3)设，，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围.
【答案】(1)10
(2)
(3)
【分析】（1）过点A作于点E．由题意易证，即可证明，得出．再根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可；
（2）在（1）的基础上作于点F．由等积法可求出的长，再根据勾股定理可求出的长．又易证，即得出，代入数据即可；
（3）过点P作交BC于点G，作于点H．即易证，得出．由题意可求出，根据，可求出，再根据勾股定理可求出，从而可求出，进而可求出．再根据平行线分线段成比例可得，即得出，从而可求出．最后将数据代入，即得出y与x的关系．
【解析】（1）如图，过点A作于点E．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，在（1）的基础上作于点F．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
（3）如图，过点P作交BC于点G，作于点H．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
由题意可求出．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴．
∴，
整理，得：．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求角的正弦值，相似三角形的判定和性质等知识，综合性强，为压轴题．正确的作出辅助线是解题关键．
年龄（单位：岁）
13
14
15
16
17
频数（单位：名）
17
29
x
26﹣x
18
销售单价（元/件）
…
30
40
50
60
…
明天销售量（件）
…
500
400
300
200
…