【开学考】2024年秋季高一上入学分班考试模拟卷秋季高一上入学分班考试模拟卷数学（广东专用02，初高衔接知识）.zip

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数 学
(满分150分)
第I卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式性质和交集定义即可求解.
【详解】因为，，
所以，
故选：D.
2．已知集合，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】由两集合相等列方程求出，再检验集合元素的互异性即可得答案.
【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，
又根据集合互异性，可知，解得舍去，
所以解得，
所以，
故选：A
3．设命题，则的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，即可得答案.
【详解】因为命题是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题，即为．
故选：C.
4．“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断即可.
【详解】因为可以推出，即充分性成立；
但不能推出，例如，即必要性不成立；
综上所述：“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
5．已知且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质判断AD；举例说明即可判断BC.
【详解】A：当时，，故A错误；
B：当时，满足，但不成立，故B错误；
C：当时，，故C错误；
D：由，得，故D正确.
故选：D
6．已知一次函数的图象经过一､三､四象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据一次函数的图象经过一､三､四象限，得到mn<0，m-n>0求解.
【详解】解：因为一次函数y=mx+n的图象经过一､三､四象限，
所以m>0，n<0，所以mn<0，m-n>0，
所以一次函数y=mnx+m﹣n的图象经过一､二､四象限.
观察各选项中的图象可知A正确，
故选：A.
7．已知，，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据，，，利用 在上递增判断.
【详解】解：因为，，，，且在上递增，
，
，
故选：A
8．秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据进而得，即可求解.
【详解】∵，∴，∴，∴．
故选：B．
9．如图，边长为的正方形，点F为正方形的中心，点E在的延长线上，．的半径为，圆心O在线段EF上从点E出发向点F运动，小明发现：当满足①；②；③；④时，与正方形的边只有两个公共点，你认为小明探究结论正确的是（ ）
A．①③B．②③C．②④D．①③④
【答案】A
【分析】根据给定的图象，确定与正方形边的两个公共点位置，结合点A与圆的位置关系求出范围作答.
【详解】依题意，，有，④不正确；
因与正方形边有两个公共点，则这两个公共点只能在边上，当且仅当点A在内或与AB相切，
当点A在内时，，即，解得，①正确，②不正确；
当与AB相切时，圆心O在线段AF上，到AB的距离为1，则，，③正确，
所以小明探究结论正确的是①③.
故选：A
10．将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第一层、第二层、第三层……，则第层正方体的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过规律可得第层的正方体个数为：，即可求解.
【详解】观察可得，第​层正方体的个数为​，第​层正方体的个数为​，比第​层多​个；第​层正方体的个数为​，比第​层多​个；...
可得，每一层比上一层多的个数依次为 ​;
故第​层正方体的个数​.
故选：A
二、填空题
11．已知，则集合的真子集的个数为 .
【答案】7
【分析】根据题意得到集合中元素的个数，然后求真子集的个数即可.
【详解】由题意得，集合中含有，，三个元素，所以集合的真子集个数为.
故答案为：7.
12．已知，则的值为 .
【答案】
【分析】利用指数运算可得出，解之即可.
【详解】由，可得，解得.
故答案为：.
13．某小学六年级一班共有名学生．在某次测试中，语文成绩优秀的学生有名，数学成绩优秀的学生有名，则两门成绩都优秀的学生最多有 名，最少有 名．
【答案】
【分析】根据题意，当所有数学成绩优秀的学生语文成绩也优秀时，两门成绩都优秀的学生最多，当所有学生至少有一门成绩为优秀时，两门成绩都优秀的学生最少，进而算出答案.
【详解】当所有数学成绩优秀的学生语文成绩也优秀时，两门成绩都优秀的学生最多，最多有名．当所有学生至少有一门成绩为优秀时，两门成绩都优秀的学生最少，最少有名．
故答案为：30；25.
14．方程的两根都在区间内，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可.
【详解】设方程的两个根为，则有，
所以有且且，
由；
由，显然成立；
由，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
15．集合，，且，则的值是 ．
【答案】0或1或
【分析】解一元二次方程，可得集合，再由且得到，最后分析集合的元素，可得的值是或或．
【详解】

①当时，，满足题意；
②当时， 或，解得：或
综上所述：的值为或或
故答案为：或或
【点睛】本题考查了集合包含关系的判断及应用，属于基础题；在解决一个集合是另一个集合子集的问题时，应注意不能忽略空集这一特殊情况而致错．
16．已知中，，，，边上的高，则内切圆的半径为 ．
【答案】/
【分析】利用三角形内切圆的性质，结合等面积法可得答案.
【详解】设内切圆的半径是，
∵，即，
∴．
故答案为：
17．函数的最小值为 .
【答案】
【分析】化简函数为，结合，得到，即可求解.
【详解】由题意，函数，
因为，可得，所以，
所以函数的最小值为.
故答案为：
18．对于正数​，规定​，例如​，计算​​ .
【答案】​
【分析】由已知计算可得，代入要求的代数式计算可得答案．
【详解】​，​，​，​．．．​，则​​​​​
故答案为：
第II卷
19．已知全集，集合，，求：
(1)，；
(2)
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根据交集和并集的定义，即可求解；
（2）首先计算补集，再求交集.
【详解】（1）由交集的定义可知，；
由并集的定义可知，；
（2）由补集定义可知，，
.
20．阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：
立方和公式： ；
立方差公式： ；
根据材料和已学知识，先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【分析】利用立方差公式，以及因式分解，先化简，再代入求值.
【详解】
，
当时，原式.
21．已知命题，，命题，．
(1)若命题和命题有且只有一个为假命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出命题、为真时参数的取值范围，再分类讨论，分别计算可得；
（2）首先求出命题和命题都为假命题时参数的取值范围，再取其补集即可得解.
【详解】（1）解：若命题为真命题，即命，，所以，所以，
若命题为真命题，即，，所以，解得，
因为命题和命题有且只有一个为假命题，
当命题为假，命题为真时，解得；
当命题为真，命题为假时，所以；
所以；
（2）解：若命题和命题都为假命题，则，即；
因为命题和命题至少有一个为真命题，所以或，即；
22．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司本月在这两地一共销售10辆车，求该公司本月获得的最大利润.
【答案】36万元.
【分析】设甲地销售了辆，总利润为万元，列出关于的关系式，利用基本不等式求出最大值.
【详解】设甲地销售了辆，则乙地销售了辆，总利润设为万元，
故，
根据基本不等式，，当且仅当，即时，等号成立，
故
故最大利润为（万元）.
23．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+2|x|+1的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，m＝ ．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程﹣x2+2|x|+1＝0有 个实数根；
②关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，a的取值范围是 ．
【答案】（1）1；（2）答案见解析；（3）①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（答案不唯一）（4）①2；②1＜a＜2．
【分析】（1）根据对称性或直接代数计算即可得答案；
（2）描点画出图形即可；
（3）可写函数的最大值和最小值问题，也可确定一个范围写增减性问题（答案不唯一）；
（4）①当y=0时，图象与x轴的交点有两个，则方程有2个实数根；②直线y=a与图象有4个交点，即表示方程有4个实根，据此结合图象确定a的范围即可．
【详解】（1）当时，，所以m=1，
故答案为：1；
（2）根据表格数据，描点画图如下：
（3）根据图象可知，函数具有如下性质：①函数的最大值是2，没有最小值；②当x＞1时，y随x的增大而减小；（答案不唯一）
（4）①由图象可知：函数图象与x轴有两个交点，
所以方程﹣x2+2|x|+1＝0有2个实数根，
故答案为：2；
②方程﹣x2+2|x|+1＝a有4个实数根时，
即表示y＝a与图象有4个交点，
故由图象可知，a的取值范围是：1＜a＜2．
故答案为：1＜a＜2．
【点睛】本题结合绝对值考查了抛物线与x轴的交点问题，考查了二次函数的性质，结合图象作答是解题的关键．
24．粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重要工具，图（1）、图（2）是我国某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图（3）是粒子加速器的俯视示意图，其中粒子真空室可看作圆，粒子在点注入，经过优弧后，在点引出，粒子注入和引出路径都与圆相切，，是两个加速电极，粒子在经过时被加速．已知，粒子注入路径与的夹角，所对的圆心角是90°．
(1)求圆的直径；
(2)比较与的长度哪个更长．（相关数据：）
【答案】(1)20km；
(2)AB的长度更长.
【分析】（1）连接OA，过O作OE⊥AB于E，结合tan∠EAO=求，再由弦长、半径、弦心距的关系求半径，即可得结果；
（2）弧长的求法可得为，再与比较大小即可.
【详解】（1）连接OA，过O作OE⊥AB于E，
因为粒子注入和引出路径都与圆相切，
所以∠EAO=90°-，
因为OE⊥AB，OE所在的是直径，AB为弦，
所以AE=BE=，则tan∠EAO=，
所以km，
所以AOkm，
所以圆的直径为2×10=20 km；
（2）的长l=，
因为，所以，
则AB的长度更长．
25．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；
；
；
(2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值；
(3)若关于的方程（、是常数，）是“邻根方程”，令，试求的最大值．
【答案】(1)不是“邻根方程”， 是 “邻根方程”
(2)或
(3)
【分析】（1）分别求出、的根，即可判断；
（2）利用求根公式解出方程，利用，即可解出答案；
（3）利用求根公式解出方程，利用，可得，代入，利用二次函数的最值，即可解出答案.
【详解】（1），
所以，
所以，，，故不是“邻根方程”；
，
所以，
所以，故是 “邻根方程”；
（2）因为方程（是常数）是“邻根方程”，
所以方程必有两不相等实根，即，记，
由求根公式有：，
所以，
解得：或；
（3）因为方程是“邻根方程”， 记，
所以，
所以，
所以当时，的最大值为.
26．已知在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，直线交坐标轴于C、D两点，已知点，.
(1)设与交于点E，试判断的形状，并说明理由；
(2)点P、Q在的边上，且满足与全等（点Q异于点C），直接写出点Q的坐标.
【答案】(1)为等腰三角形，理由见详解
(2)点Q在坐标为，，，
【分析】（1）代入点，求得直线，进而可得到点E的坐标为，分别求出，，从而可判断出为等腰三角形；
（2）分①P、Q在上；②P在上，Q在上；③P在上，Q在上；④P在上，Q与点重合四种情况结合图形求解即可.
【详解】（1）为等腰三角形，理由如下：
对于直线，
令，可得，令，可得，即；
将点，代入直线，
可得，解得，则直线，
联立方程，解得，即，
可得，
即，所以为等腰三角形.
（2）①当P、Q在上时，如图1，此时，
则，设，
又因为，则，解得或（舍去），
所以；
②P在上，Q在上时，如图2，此时，
则，可知，
设，则，
代入得，解得，
所以；
③P在上，Q在上时，如图3，此时，
则，可知；
④P在上，Q与点重合时，如图4，此时，
则，
可得，，
所以Q与点重合，即；
综上所述：点Q在坐标为，，，.
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣2

m
2
1
2
1
﹣2
…