新高考数学三轮冲刺通关练习06 概率统计（两大易错点 六大题型）（2份打包，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学三轮冲刺通关练习06 概率统计（两大易错点 六大题型）（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考数学三轮冲刺通关练习06概率统计两大易错点六大题型原卷版doc、新高考数学三轮冲刺通关练习06概率统计两大易错点六大题型解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。

目录
【高考预测】概率预测+题型预测+考向预测
【应试秘籍】总结常考点及应对的策略
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点一：回归方程
易错点二：独立性检验的意义
【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略
【题型一】条件概率
【题型二】 全概率公式与贝叶斯公式
【题型三】 离散型随机变量的分布列和概率性质
【题型四】 二项分布
【题型五】 超几何分布
【题型六】 正态分布
概率属于解答题必考题，大多考察两方面，一个是超几何分布与二项分布的区别，还有就是线性回归方程与独立性检验。小题中新教材新加的全概率公式和条件概率是重点，当然古典概型和相互独立事件的判断以及正态分布也是需要熟练掌握的。今年还需对冷门的知识点，比如用样本方差估计总体方差、最小二乘法、残差等知识点的掌握和理解。均是书本上提到的内容，但长久未考，学生都容易忽视。
概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
选择题、填空题☆☆☆☆☆
考向预测
全概率公式、正态分布、总体百分位数的估计
易错点一：回归方程
(1)回归方程为，其中.
(2)通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法.
例（2023·天津·高考真题）鸢是鹰科的一种鸟，《诗经·大雅·旱麓》曰：“鸢飞戾天，鱼跃余渊”. 鸢尾花因花瓣形如鸢尾而得名，寓意鹏程万里、前途无量.通过随机抽样，收集了若干朵某品种鸢尾花的花萼长度和花瓣长度（单位：cm），绘制散点图如图所示，计算得样本相关系数为，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据以上信息，如下判断正确的为（ ）
A．花瓣长度和花萼长度不存在相关关系
B．花瓣长度和花萼长度负相关
C．花萼长度为7cm的该品种鸢尾花的花瓣长度的平均值为
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
【答案】C
【详解】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误
散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，
把代入可得，C选项正确；
由于是全部数据的相关系数，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是，D选项错误
故选：C
变式1：（2024·青海海南·一模）近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下：
(1)计算的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与经济收益具有较高的线性相关程度：（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高）
(2)求出关于的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益．
参考数据：
附：相关系数，线性回归方程的斜率，截距．
【答案】(1)，
(2)，约为亿元
【详解】（1）依题意，，
，
所以，
所以，
因为，所以可以认为研发投入与经济收益具有较高的线性相关程度；
（2）由（1）可得，
所以，
所以关于的线性回归方程为，
当时，所以当研发投入亿元时的经济收益约为亿元.
变式2：（2024·全国·模拟预测）某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现
研发投入亿元
1
2
3
4
5
经济收益亿元
2.5
4
6.5
9
10.5
统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化
(1)观察散点图可知，天数与作物高度之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度关于天数的线性回归方程（其中用分数表示）；
(2)小明测得使用营养液后第22天该作物的高度为，请根据（1）中的结果预测第22天该作物的高度的残差.
参考公式：.参考数据：.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，，
，
故，
，故所求回归直线方程为.
（2）由（1）可知，当时，，
故所求残差为.
易错点二：独立性检验的意义
独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断.
例 （2024·吉林·模拟预测）短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.
(1)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：单位：人
天数x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
作物高度y/cm
9
10
10
11
12
13
13
14
14
14
(2)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.
（i）求经过次传递后球回到甲的概率；
（ii）记前次传递中球传到乙的次数为，求的数学期望.
参考公式：，其中；
附表：
【答案】(1)列联表见解析，无关
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）将所给数据进行整理，得到如下列联表：
零假设：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
游客
短视频
合计
收看
未看
南方游客
北方游客
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
游客
短视频
合计
收看
未看
南方游客
200
100
300
北方游客
80
120
200
合计
280
220
500
（2）（i）设经过次传递后回到甲的概率为，
，，
又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（ii）（方法一）
设第次传递时甲接到球的次数为，则服从两点分布，，
设前次传递中球传到甲的次数为，
，
因为，所以.
（方法二）
设第次传递时，乙接到球的概率和次数分别为与，则服从两点分布，
，由题可知，，
又，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
，，
，
故.
变式1： （2024·河北沧州·一模）流感病毒是一种病毒，大致分为甲型、乙型、丙型三种，其中甲流病毒传染性最强，致死率最高，危害也最大．某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流
药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下2×2列联表：
(1)根据的独立性检验，分析预防药品对预防甲流的有效性；
(2)用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样方式每次选出1只，用治疗药品对该动物进行治疗，已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为0.5，对使用过预防药品的动物的治愈率为0.75，若共选取3只已感染动物，每次选取的结果相互独立，记选取的3只已感染动物中被治愈的动物只数为，求的分布列与数学期望．
附：．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）假设：使用预防药品与对预防甲流无效果，
由列联表可知，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为使用预防药品与对预防甲流有效果，此推断犯错误的概率不大于0.05.
（2）设事件表示使用治疗药品并且治愈，事件表示未使用过预防药品，事件表示使用过预防药品，
由题意可得，
且，
则，
治疗药品的治愈概率，
预防药品
甲流病毒
合计
感染
未感染
未使用
24
21
45
使用
16
39
55
合计
40
60
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
则，
所以，，
，，
所以，随机变量的分布列为
.
【题型一】条件概率
一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(A|B), 而且P(A|B)=.

【例1】（多选）（2024·湖南娄底·一模）对于事件与事件，若发生的概率是0.72，事件发生的概率是事件发生的概率的2倍，下列说法正确的是（ ）
A．若事件与事件互斥，则事件发生的概率为0.36
B．
C．事件发生的概率的范围为
D．若事件发生的概率是0.3，则事件与事件相互独立
【答案】BCD
【详解】对于，若事件与事件互斥，则，所以，故A错误；
0
1
2
3
对于B，，故正确；
对于C，，
若事件与事件互斥，则，此时取到最小值为0.24，若，此时取到最大值为，故C正确；
对于D，，则，由，
得，则事件与事件相互独立，故D正确.
故选：BCD.
【例2】（2024·北京石景山·一模）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】.
故选：C.
【例3】（2024·辽宁沈阳·二模）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，事件“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”，
则，则
故选：C

【变式1】（2024·山西·二模）一个盒子里装有5个小球，其中3个是黑球，2个是白球，现依次一个一个地往外取球（不放回），记事件表示“第次取出的球是黑球”，，则下面不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】依次一个一个地往外取球（不放回）的试验，基本事件总数是，它们等可能，
对于A，表示第3次取出黑球，，A正确；
对于B，表示第1次、第2次取出的球都是黑球，，B正确；
对于C，，，
所以，C正确；
对于D，，所以，D错误.
故选：D
【变式2】（2024·全国·模拟预测）甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】用分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果，
因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含个等可能的基本事件.
其中，甲得3分，即包含的基本事件有
，共15个，概率为.
同理可得，甲每轮得0分的概率也是，得1分的概率为.
所以每一轮甲得分低于3分的概率为．
设事件A表示甲至少有一轮比赛得3分，事件表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分.
则，.
事件可分三类情形：
①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为；
②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为；
③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为.
所以，
所以.
故选：B．
【变式3】（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为，走2级台阶的概率为.小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设事件“小明爬到第4级台阶”，“小明走了3步爬到第4级台阶”，
事件包含三种情况：①小明走了4步到第4级台阶，概率为；
②小明走了3步到第4级台阶，概率为，即；
③小明走了2步到第4级台阶，概率为；
所以，
.
故选：B
【题型二】 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式
一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有
P(B)=P(Ai)P(B|Ai)
我们称上面的公式为全概率公式．
*贝叶斯公式：
一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有
【例1】（2024·江西南昌·一模）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.已知从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设从甲中取出个球，其中白球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中白球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意：
①，；
②，；
③，；
根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的也是2个白球的概率为
故选：C
【例2】（2024·海南省直辖县级单位·一模）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件，
则，，，，
故，
则所求概率为.
故选：C.
【例3】（2024·全国·二模）某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛，现有“初心”“使命”两支预备队.选哪支队是随机的，其中选“初心”队获胜的概率为0.8，选“使命”队获胜的概率为0.7，单位在比赛中获胜的条件下，选“使命”队参加比赛的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，记选“初心”队为事件，选“使命”队为事件，该单位获胜为事件，
则,
因此，
所以选“使命”队参加比赛的概率.
故选：D
【变式1】（多选）（2024·山西朔州·一模）在信道内传输信号，信号的传输相互独立，发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为．若输入四个相同的信号的概率分别为，且．记事件分别表示“输入”“输入”“输入”，事件表示“依次输出”，则（ ）
A．若输入信号，则输出的信号只有两个的概率为
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】A：因为发送某一信号时，收到的信号字母不变的概率为，收到其他两个信号的概率均为，即收到的信号字母变的概率为，且信号的传输相互独立，
所以输入信号，则输出的信号只有两个的概率为，故A错误；
B：因为，故B正确；
C：，故C正确；
D：因为，
而
，
所以
，
故D正确；
故选：BCD.
【变式2】（2024·江苏扬州·模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起.已知第台车床加工的零件数分别占总数的.任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为 .
【答案】
【详解】设表示“取到的零件是第台车床加工”，表示“取到的零件是次品”，
则
，
，
故.
故答案为：.
【变式3】（2024·浙江丽水·二模）为保护森林公园中的珍稀动物，采用某型号红外相机监测器对指定区域进行监测识别.若该区域有珍稀动物活动，该型号监测器能正确识别的概率（即检出概率）为；若该区域没有珍稀动物活动，但监测器认为有珍稀动物活动的概率（即虚警概率）为.已知该指定区域有珍稀动物活动的概率为0.2.现用2台该型号的监测器组成监测系统，每台监测器（功能一致）进行独立监测识别，若任意一台监测器识别到珍稀动物活动，则该监测系统就判定指定区域有珍稀动物活动.
(1)若.
（i）在该区域有珍稀动物活动的条件下，求该监测系统判定指定区域有珍稀动物活动的概率；
（ii）在判定指定区域有珍稀动物活动的条件下，求指定区域实际没有珍稀动物活动的概率（精确到0.001）；
(2)若监测系统在监测识别中，当时，恒满足以下两个条件：①若判定有珍稀动物活动时，该区域确有珍稀动物活动的概率至少为0.9；②若判定没有珍稀动物活动时，该区域确实没有珍稀动物活动的概率至少为0.9.求的范围（精确到0.001）.
（参考数据：）
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)
【详解】（1）记事件为“监测系统判定指定区域有珍稀动物活动”，事件为“监测区域实际上有珍稀动物活动”，
（i）；
（ii）
，
则
；
（2），
，
由题意可得，即，
令，，得，，故，，
即，即，则，
因为，所以，所以，
故，即，所以，
故.
【题型三】 离散型随机变量的分布列和概率性质
设离散型随机变量X的分布列为：
则(1)pi≥0，i＝1,2，…，n；
(2)p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1；
(3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn；
(4)D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn.
随机变量的数学期望与方差
(1)如果E(η)和E(ξ)都存在，则E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)．
(2)若η＝aξ＋b，则E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)．
(3)期望与方差的转化：D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.
【例1】（2024·山西临汾·二模）已知质量均匀的正面体，个面分别标以数字1到．
(1)抛掷一个这样的正面体，随机变量表示它与地面接触的面上的数字．若求n；
(2)在(1)的情况下，抛掷两个这样的正n面体，随机变量表示这两个正面体与地面接触的面上的数字和的情况，我们规定：数字和小于7，等于7，大于7，分别取值0，1，2，求的分布列及期望．
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
【答案】(1).
(2)分布列见解析，.
【详解】（1）因为，所以.
（2）样本空间，共有36个样本点.
记事件“数字之和小于7”，事件“数字之和等于7"，
事件“数字之和大于7”.
，
，共15种，
故
，共6种，
故；
，
，共15种，
故；
从而的分布列为：
故
【例2】（2024·浙江宁波·二模）三个人利用手机软件依次进行拼手气抢红包活动，红包的总金额数为个单位.第一个人抢到的金额数为1到个单位且等可能（记第一个人抢完后剩余的金额数为），第二个人在剩余的个金额数中抢到1到个单位且等可能，第三个人抢到剩余的所有金额数，并且每个人抢到的金额数均为整数个单位.三个人都抢完后，获得金额数最高的人称为手气王（若有多人金额数相同且最高，则先抢到最高金额数的人称为手气王）.
(1)若，则第一个人抢到的金额数可能为个单位且等可能.
（i）求第一个人抢到金额数的分布列与期望；
（ii）求第一个人获得手气王的概率；
(2)在三个人抢到的金额数为的一个排列的条件下，求第一个人获得手气王的概率.
【答案】(1)（i）分布列见解析，2；（ii）；
0
1
2
(2).
【详解】（1）若第一个人抢到的金额数为个单位，第二个人抢到的金额数为个单位，第三个人抢到的金额数为个单位，我们将三个人抢到的金额数记作.
（i），
所以的分布列为
.
（ii）第一个人获得手气王时，三个人抢到的金额数只可能为，
故第一个人获得手气王的概率
.
（2）记事件“三个人抢到的金额数为的一个排列”，事件“第一个人获得手气王”.
所要求的是条件概率，有.
当三个人抢到的金额数为的一个排列时，总金额数为9，故第一个人抢到的金额数可能为
.
又，
，
故.
【例3】（2024·湖南·模拟预测）有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
1
2
3
【详解】的所有可能取值为，记三次得到的数组成数组，
满足的数组有：
，共4个，
所以，
满足的数组有：
，
，共18个，
所以，
满足的数组有：
，
，
，
，共24个，
所以，
满足的数组有：
，，
，，
，，共18个，
所以，
所以X的数学期望.
故选：D.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）在2002年美国安然公司（在2000年名列世界财富500强第16位，拥有数千亿资产的巨头公司，曾经是全球最大电力、天然气及电讯服务提供商之一）宣布破产，原因是持续多年的财务数据造假．但是据说这场造假丑闻的揭露并非源于常规的审计程序，而是由于公司公布的每股盈利数据与一个神秘的数学定理——本福特定律——严重偏离．本福特定律指出，一个没有人为编造的自然生成的数据（为正实数）中，首位非零的数字是这九个事件并不是等可能的，而是大约遵循这样一个
公式：随机变量是一个没有人为编造的首位非零数字，则， 则根据本福特定律，在一个没有人为编造的数据中，首位非零数字是8的概率约是（参考数据：，）（ ）
A．0.046B．0.051C．0.058D．0.067
【答案】B
【详解】由题意可得：,
故选：B
【变式2】（2024·贵州黔西·一模）高一（1）班每周举行历史擂台比赛，排名前2名的同学组成守擂者组，下周由3位同学组成攻擂者组挑战，共答20题，若每位守擂者答出每道题的概率为，每位攻擂者答出每道题的概率为.为提高攻擂者的积极性，第一题由攻擂者先答，若未答对，再由守擂者答；剩下的题抢答，抢到的组回答，只要有一人答出，即为答对，记为1分，否则为0分.
(1)求攻擂者组每道题答对的概率及守擂者组第1题后得分为0分的概率；
(2)设为3题后守擂者的得分，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)，
(2)分布列见解析，；
【详解】（1）根据答题规则可知，若三人均答不出，则攻擂者组答不出每道题的概率；
则可知攻擂者组每道题答对的概率；
若守擂者组第1题后得分为0分，则第一题由攻擂者先答，
该题需答对或者该题答错由守擂者组再答题并答错，
易知守擂者组答出每道题的概率为，
因此；
（2）易知的所有可能取值为；
第一题守擂者组得一分的概率为，
抢答环节的题目守擂者组和攻擂者组抢到的概率均为，守擂者组每题得一分的概率为；
即可知前三题中第一题守擂者组得一分的概率为，第二、三题得一分的概率均为；
则，
，
，
，
因此的分布列为
数学期望.
【变式3】（2024·湖南益阳·模拟预测）新鲜是水果品质的一个重要指标.某品牌水果销售店，为保障所销售的某种水果的新鲜度，当天所进的水果如果当天没有销售完毕，则第二天打折销售直至售罄．水果销售店以每箱进货价50元、售价100元销售该种水果，如果当天卖不完，则剩下的水果第二天将在原售价的基础上打五折特价销售，而且要整体支付包装更换与特别处理等费用30元．这样才能保障第二天特价水果售罄，并且不影响正价水果销售，水果销售店经理记录了在连续50天中该水果的日销售量x（单位：箱）和天数y（单位：天）如下表所示：
(1)为能减少打折销售份额，决定地满足顾客需求（即在100天中，大约有70天可以满足顾客需求）．请根据上面表格中的数据，确定每天此种水果的进货量的值.（以箱为单位，结果保留一位小数）
(2)以这50天记录的日需求量的频率作为日需求量的概率，设（1）中所求的值满足，请以期望作为决策依据，帮销售店经理判断每天购进此种水果是箱划算还是箱划算？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）地满足顾客需求相当于估计某类水果日销售量的分位数.
由表可知，把50个日需求量的数据从小到大排列，
由，日需求量在箱及以下（含箱）的天数为，
0
1
2
3
日销售量x（单位：箱）
22
23
24
25
26
天数y（单位：天）
10
10
15
9
6
可知，可以估计日需求量的第分位数为，
所以能地满足顾客的需求，估计每天应该进货量为箱.
（2）由（1）知，即，
设每天的进货量为箱的利润为，
由题设，每天的进货量为箱，
当天卖完的概率为，
当天卖不完剩下箱的概率为，
当天卖不完剩下箱的概率为，
若当天卖完元，
若当天卖不完剩下箱，元，
若当天卖不完剩下箱，元，
所以元.
设每天的进货量为箱的利润为，
由题设，每天的进货量为箱，
当天卖完的概率为，
当天卖不完剩下箱的概率为，
当天卖不完剩下箱的概率为，
当天卖不完剩下箱的概率为，
若当天卖完元，
当天卖不完剩下箱，则元，
当天卖不完剩下箱，则元，
当天卖不完剩下箱，则元，
所以元，
由于，
显然每天的进货量箱的期望利润小于每天的进货量为箱的期望利润，
所以每天购进此种水果箱划算一些.
【题型四】 二项分布
二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.
二项分布的数学期望与方差：若X～B(n，p)，则E(X)＝np.D(X)=np（1-p）
【例1】（2024·河北邢台·一模）小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍．
(1)求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；
(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个（，1，2，，10）的概率为，则当k为何值时，最大？
【答案】(1)0.6
(2)6
【详解】（1）设小张回答A类题正确的概率为，小张回答B类题正确的概率为，小张在题库中任选一题，回答正确的概率为，
由题意可得，
所以，
所以小张在题库中任选一题，回答正确的概率为0.6.
（2）由（1）可得，
设，
即，
所以，
即，
解得，
又，所以时，最大.
【例2】（2024·全国·模拟预测）某市物理教研员在一次高二全市统考后为了了解本市物理考试情况，从全市高二参加考试的学生中随机抽取50名学生对其物理成绩（单位：分，成绩都在内）进行统计，制成频率分布直方图如图所示：
(1)求的值，并以样本估计总体，求本次高二全市统考物理成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)从该市高二参加考试的学生中随机抽取3人，记这3人中物理考试成绩在内的人数为，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)，68
(2)分布列见解析，
【详解】（1）由题知，解得，
因为，
，
所以可设中位数为，
则，
解得，所以本次高二全市统考物理成绩的中位数为68.
（2）从该市高二参加考试的学生中随机抽取1人，其物理考试成绩在内的概率为.由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，
且，，
，，
所以的分布列为
所以的数学期望.
（另解：，）
【例3】（2024·全国·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，
所以
.
故选：D．
【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是（ ）
A．B．C．D．
0
1
2
3
【答案】C
【详解】因为移动6次后仍然回到原点，故质子水平方向移动偶数次，竖直方向移动偶数次
若质子水平方向移动0次，则回到原点的概率；
若质子水平方向移动2次，则回到原点的概率；
若质子水平方向移动4次，则回到原点的概率；
若质子水平方向移动6次，则回到原点的概率；
故移动6次后仍然回到原点的概率为，
故选：C
【变式2】（2023·山东·模拟预测）已知随机变量，其中，随机变量的分布列为
表中，则的最大值为 ．我们可以用来刻画与的相似程度，则当，且取最大值时， ．
【答案】
【详解】由题意，可得，则，
因为，所以当时，取得最大值，
又由，可得，解得，
可得，
又因为，
0
1
2
可得，
所以.
故答案为：；,
【变式3】（2024·北京西城·一模）10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲､乙､丙的资格赛成绩如下：
假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的射击成绩相互独立．
(1)若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；
(2)若甲､乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；
(3)甲､乙､丙各射击10次，用分别表示甲､乙､丙的10次射击中大于环的次数，其中．写出一个的值，使．（结论不要求证明）
【答案】(1)甲进入决赛，理由见解析
(2)
(3)或8
【详解】（1）甲进入决赛，理由如下：
丙射击成绩的总环数为，
甲射击成绩的总环数为．
因为，
所以用样本来估计总体可得甲进入决赛．
（2）根据题中数据：
“甲命中9环”的概率可估计为；
“甲命中10环”的概率可估计为；
“乙命中9环”的概率可估计为；
“乙命中10环”的概率可估计为．
环数
6环
7环
8环
9环
10环
甲的射出频数
1
1
10
24
24
乙的射出频数
3
2
10
30
15
丙的射出频数
2
4
10
18
26
所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：
（3）或8．
根据题中数据：
当时，
在每次射击中，甲击中大于环的的概率为；
在每次射击中，乙击中大于环的的概率为；
在每次射击中，丙击中大于环的的概率为；
由题意可知：，，.
此时，，，
不满足.
当时，
在每次射击中，甲击中大于环的的概率为；
在每次射击中，乙击中大于环的的概率为；
在每次射击中，丙击中大于环的的概率为；
由题意可知：，，.
此时，，，
满足.
当时，
在每次射击中，甲击中大于环的的概率为；
在每次射击中，乙击中大于环的的概率为；
在每次射击中，丙击中大于环的的概率为；
由题意可知：，，.
此时，，，
满足.
当时，
在每次射击中，甲击中大于环的的概率为；
在每次射击中，乙击中大于环的的概率为；
在每次射击中，丙击中大于环的的概率为；
由题意可知：，，.
此时，，，
不满足.
所以或8．
【题型五】 超几何分布
超几何分布列
在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*❺.
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从超几何分布
超几何分布列的数学期望与方差
若X～H(n，M，N)，则E(X)＝. D(X)=
【例1】（23-24高三上·北京西城·期末）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：
X
0
1
…
m
P
…
跑步软件一
跑步软件二
跑步软件三
跑步软件四
假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.
(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；
(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；
(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)分布列详见解析，
(3)
【详解】（1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，
这人都最喜爱使用跑步软件一的概率为.
（2）因为抽取的人中最喜爱跑步软件二的人数为，
所以的所有可能取值为，
，
所以的分布列为：
所以.
（3），证明如下：
，
，
中学生
80
60
40
20
大学生
30
20
20
10

所以.
，
，
所以.
数据：，，，，，，，，
对应的平均数为
所以
所以.
【例2】（2024·云南昆明·模拟预测）某校举行知识竞赛，最后一个名额要在A，B两名同学中产生，测试方案如下：A，B两名学生各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知A能正确作答其中的3个，B能正确作答每个问题的概率都是，A，B两名同学作答问题相互独立．
(1)求A，B两名同学恰好共答对2个问题的概率；
(2)若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生，简要说明理由．
【答案】(1)
(2)应该选择学生，理由见解析
【详解】（1）设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，.
则，；
设同学答对的题数为，则随机变量的所有可能取值为，，，.
，，
，.
所以，两名同学恰好共答对个问题的概率为.
（2）由（1）知，，；
而，.
因为，<．所以应该选择学生．
【例3】（2023·江西鹰潭·模拟预测）设随机变量（且），当最大时， .
【答案】2
【详解】由随机变量，则，
因为最大，所以有，
即
整理得，
又，所以，则，
故答案为：2
【变式1】（2024·陕西西安·三模）每个国家对退休年龄都有不一样的规定，2018年开始，我国关于延迟退休的话题一直在网上热议，为了了解市民对“延迟退休”的态度，现从某地市民中随机选取100人进行调查，调查情况如下表：
(1)从赞成“延迟退休”的人中任选1人，此年龄在的概率为，求出表格中，的值；
(2)若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成“延迟退休”进行分层抽样，从中抽取10人参与某项调查，然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会，记这4人中赞成“延迟退休”的人数为，求的分布列及数学期望．
【答案】(1)，
(2)分布列见解析；期望为
【详解】（1）因为总共抽取100人进行调查，所以，
因为从赞成“延迟退休”的人中任选1人，其年龄在的概率为，所以．
（2）从年龄在中按分层抽样抽取10人，赞成的抽取人，不赞成的抽取2人，再从这10人中随机抽取4人，则随机变量的可能取值为2，3，4.
则，
，
．
所以的分布列为
所以.
【变式2】（2024·新疆·二模）水果按照果径大小可分为四类：标准果､优质果､精品果､礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
年龄段（单位：岁）
被调查的人数
10
15
20
25
5
赞成的人数
6
12
20
12
2
2
3
4
等级
标准果
优质果
精品果
礼品果
个数个
10
25
40
25
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；
(2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取20个，再从抽取的20个水果中随机地抽取2个，用表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，0.8
【详解】（1）设“从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果”为事件，则，
现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为，则，
故恰好抽到2个礼品果的概率为；
（2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取20个，则其中精品果8个，非精品果12个，
现从中抽取2个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为，
则，
所以的分布列为：
故的数学期望.
【变式3】（2024·北京怀柔·模拟预测）某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

0
1
2
(1)求a的值；
(2)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为X，求X的分布列和期望；
(3)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有k名学生参加公益劳动时间在（单位：小时）内的概率，其中，1，2，，20.当最大时，写出k的值.（只需写出结论）.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
(3)
【详解】（1）由频率分布直方图得：
，
解得；
（2）由频率分布直方图得：
这500名学生中参加公益劳动时间在，，三组内的学生人数分别为：
人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
的分布列为：
则其期望为；
（3）由（1）可知参加公益劳动时间在的概率，
所以，
0
1
2
3
依题意，即，
即，解得，
因为为非负整数，所以，
即当最大时，.
【题型六】 正态分布
正态分布的定义
对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(nrmal dis-tributin),记为X~N(u,σ2).特别地,当u=0, σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
正态分布的期望和方差
参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的
离散程度。
正态分布的3σ原则
【例1】（2024·山西·二模）某高校对参加军训的4000名学生进行射击、体能、伤病自救等项目的综合测试，现随机抽取200名军训学生，对其测试成绩（满分：100分）进行统计，得到样本频率分布直方图，如图.
(1)根据频率分布直方图，求出的值并估计这200名学生测试成绩的平均数（单位：分）.
(2)现该高校为了激励学生，举行了一场军训比赛，共有三个比赛项目，依次为“10千米拉练”“实弹射击”“伤病救援”，规则如下：三个环节均参与，三个项目通过各奖励200元、300元、500元，不通过则不奖励.学生甲在每个环节中通过的概率依次为，，，假设学生甲在各环节中是否通过是相互独立的.记学生甲在这次比赛中累计所获奖励的金额为随机变量，求的分布列和数学期望.
(3)若该高校军训学生的综合成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，规定军训成绩不低于98分的为“优秀标兵”，据此估计该高校军训学生中优秀标兵的人数（结果取整数）.
参考数据：若，则，，.
【答案】(1)，
(2)分布列见解析，
(3)人
【详解】（1）有图可得，解得，
；
（2）的可能取值为、、、、、、，
，
，
，
，
，
，
，
则其分布列为：
；
（3），，则,
又，故，
，故可估计该高校军训学生中优秀标兵的人数为人.
【例2】（2024·四川·模拟预测）新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门．
(1)若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；
(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布．
①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；
②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．
附：．
【答案】(1)；
(2)①3274人；②不可信.
【详解】（1）甲､乙两名学生必选语文､数学､外语．
若另一门相同的为物理､历史中的一门，有种，
在生物､化学､思想政治､地理4门中，甲､乙选择不同的2门，
则有种，共种；
若另一门相同的为生物､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种．
所以甲､乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为．
（2）①设此次网络测试的成绩记为，则．
由题知，
则，
所以．
所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人．
②不可信．
，
则，
4000名学生中成绩大于410分的约有人，
这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分．
所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信．
【例3】（2024·广东梅州·二模）某中学1500名同学参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布，已知成绩大于170次的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为 .
【答案】
【详解】由题意可知，，
又因为，
所以
所以跳绳成绩X在130～150次之间的人数约为.
故答案为：.
【变式1】（多选）（2024·新疆喀什·二模）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，则
B．设随机变量服从正态分布，若，则
C．已知一组数据为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，则它的第70百分位数为7
D．若事件满足，则事件相互独立
【答案】AD
【详解】因为随机变量服从二项分布，则，故A正确；
因为随机变量服从正态分布，则对称轴为，，故B错误；
这组数据的第70百分位数为，故C错误；
因为，所以，所以事件相互独立.
故选：AD.
【变式2】（2024·河北石家庄·二模）某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有50000名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为（ ）
A．2000B．3000C．4000D．5000
【答案】D
【详解】由题易知均值，
由正态曲线的对称性可知 ，
则该市这次考试数学成绩超过110分的考生人数约为．
故选：D．
【变式3】（2024·广西贺州·一模）某电器厂购进了两批电子元件，其中第一批电子元件的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布，且使用寿命不少于1200小时的概率为0.1，使用寿命不少于800小时的概率为0.9．第二批电子元件的使用寿命不少于900小时的概率为0.8，使用寿命不少于1000小时的概率为0.6且这两批电子元件的使用寿命互不影响．若该厂产出的某电器中同时装有这两批电子元件各一个，则在1000小时内这两个元件都能正常工作的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】依题意，，则，
由正态分布的对称性知，使用寿命X的期望，则，
所以在1000小时内这两个元件都能正常工作的概率为.
故选：B