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北师大版八年级上册 第2章《实数》 题型归纳与变式训练（原卷+解析卷）
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【能力提升】第2章《实数》 题型归纳与变式训练【题型1】平方根【例1】（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数的两个平方根分别是和．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】(1) (2)【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（1）先根据平方根的定义，得，再化简即可；（2）根据平方根的定义，得，代入，再利用平方根的定义解方程即可．解：（1）解：正实数的两个平方根分别是和，，，若，则；（2）解：正实数的两个平方根分别是和，，，，即，，是正实数，即，．【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是（ ）A． B． C．或 D．或【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平方根，解题关键是掌握平方根的性质．一个正数有两个平方根且互为相反数，的平方根是，所以同一个数的平方根可能相等，也可能互为相反数．则或，求解即可得到答案．解：和是同一个数的平方根，有或，解得或．故选：．【变式2】（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，则的平方根为 ．【答案】【分析】本题考查了数的开方和非负数的性质，平方根，根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式，最后根据平方根的定义即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．解：∵，∴，，解得：，，∴，∴的平方根为，故答案为：．【题型2】算术平方根【例2】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．【答案】【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可．解：的算术平方根是5，，解得：． ∵的平方根是，，解得：．是的整数部分，而，，，的平方根为．【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键．【变式1】（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（ ）A． B． C． D．0【答案】A【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数．解： 正方形的面积为3，，，， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，点所表示的数为 . 故选：A.【变式2】（22-23七年级下·内蒙古通辽·期中）若与互为相反数，则的绝对值为 ．【答案】/【分析】本题考查了相反数，绝对值，算术平方根的非负性，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得，再利用算术平方根和绝对值的非负性求出、，最后根据绝对值的意义进行计算即可．解：与互为相反数又，，，，故答案为：．【题型3】立方根【例3】（22-23七年级下·安徽合肥·期中）若实数的平方根是和，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】8【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义及解一元一次方程，根据平方根的定义可得，解方程可求出a的值，即可得出m的值，根据立方根得定义可得b的值，根据算术平方根的定义即可得答案．解：∵实数的平方根是和，∴，解得：．∴，∴． ∵的立方根是，∴，∴，∴的算术平方根为．【变式1】（22-23七年级上·浙江温州·期末）下列说法正确的是（ ）A．的平方根是 B．没有立方根C．的立方根是 D．的算术平方根是【答案】D【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的定义即可求出答案．解：、根据平方根的定义可知的平方根是，该选项不符合题意；B、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意；C、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意；D、根据算术平方根的定义可知的算术平方根是，该选项符合题意；故选：．【点睛】本题考查平方根，立方根和算术平方根，解题的关键是熟练运用其定义，本题属于基础题型．【变式2】（21-22七年级下·四川绵阳·阶段练习）已知、、在数轴上的位置如图，化简： ．【答案】【分析】先根据数轴的性质可得，从而可得，再计算算术平方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得．解：由数轴可知，，，，，，， 故答案为：．【点睛】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键．【题型4】无理数【例4】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）把下列各数写在相应的横线上：，，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，（1）有理数 ；（2）无理数 ．【答案】(1)，0，(2)，，，（两个1之间依次多一个6）【分析】本题考查了实数中有理数和无理数的分类，解题的关键是掌握有限小数和无限循环小数都称为有理数，无限不循环小数叫无理数．（1）进行分类之前，先对某些数进行计算或化简，然后再根据有理数的定义进行分类．（2）根据无理数的定义进行分类．解：（1）解：，有理数：，0，；（2）无理数：，，，（两个1之间依次多一个6）．【变式1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）实数，，，，（相邻两个之间1的个数依次加），其中无理数有（ ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．解：是有理数，不符合题意；是分数，属于有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意；是无理数，符合题意；（相邻两个之间1的个数依次加）是无理数，符合题意；∴无理数有个，故选：．【变式2】（2024·四川雅安·中考真题）将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．【答案】【分析】本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．先根据无理数的定义得到取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，再根据概率公式即可求解．解：将，，，0，，3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，所以取到有理数的概率为，故答案为：．【题型5】实数【例5】（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）观察如图，每个小正方形的边长均为1（1）图中阴影部分面积（正方形）的面积是______，边长是______；（2）请用尺规作图，在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）．【答案】(1)17， (2)见解析【分析】本题考查的知识点是勾股定理以及无理数基本作图，利用格点的特征求出阴影部分正方形的面积是解此题的关键． （1）根据格点的特征利用勾股定理求边长，再计算面积即可；（2）以为圆心，以正方形边长为半径画弧，与数轴正方向的交点即为所求．解：（1）解：图中阴影部分面积（正方形）的边长是，面积是，故答案为：17，；（2）解：如图：点P表示的数为.【变式1】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算：的值为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查实数的混合运算，先化简绝对值，再进行加减运算即可．解：原式；故选C．【变式2】比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）．【答案】【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小．解：，，∵，∴，故答案为：．【题型6】二次根式及其相关概念【例6】（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值．【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，非负数的性质．由同类二次根式的定义和非负数的性质得出①，②，③，将①、②代入③得，求得，继而可得、，将分式化简、代入计算可得．解：最简二次根式与可以合并，，且、，则①，②，③，将①、②代入③，得：，解得：，、，．【变式1】使式子在实数范围有意义的的取值范围是（ ）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据被开方数为非负数且分母不为，可求出的取值范围．解：∵在实数范围内有意义．且，解得：且，故选：．【变式2】（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是 ．【答案】4【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题 属于基础题型．根据同类二次根式以及最简二次根式的定义即可求出答案．解：由题意可知：，，．故答案为：4【题型7】二次根式的运算【例7】（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）计算：(1)； (2)；(3)； (4)．【答案】(1)1 (2) (3) (4)【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键，（1）直接化简二次根式，再进行加减运算法即可；（2）直接利用完全平方公式计算即可；（3）直接化简二次根式并运用平方差公式化简，再进行二次根式的加减混合运算进而得出答案；（4）直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算即可．解：（1）（2） （3）（4）【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）下列计算错误的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查的知识点是二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的相关运算法则．根据二次根式的相关运算法则对选项进行逐一判断即可得解．解：选项，，计算正确，不符合题意，选项错误；选项，，计算正确，不符合题意，选项错误；选项，，计算正确，不符合题意，选项错误；选项，，计算错误，符合题意， 选项正确．故选：．【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算的结果为 ．【答案】【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据运算法则计算即可． 解：原式，故答案为：．【题型8】二次根式的化简求值【例8】（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知，，求下列各式的值：(1)； (2)．【答案】(1) (2)【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化：（1）先利用分母有理化法则求出，进而得到，，再根据完全平方公式的变形求解即可；（2）根据进行求解即可．解：（1∵，，∴，，，，∴；（2） ．【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（ ）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据运算法则计算即可．解：原式，故选：B．【变式2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为 ．【答案】【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键．解：∵，∴，∴，即，∴，∴，∴代数式的值为．故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，归纳类推得：第七行共有个数，则第八行左起第1个数是，故选：C．【例2】（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．解：，当时，原式．2、拓展延伸【例1】（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据 可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ．【答案】 3 75 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．先进行分母的有理化计算，即化去分母中的根号，得到，然后通过估算减去整数部分即可；解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．解：，且为整数，最小为3，是大于1的整数，越小，越小，则越大，当时，，，故的小数部分为故答案为：3；75；【例2】（23-24七年级下·河南安阳·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．（1）仿照以上方法计算：________；=________；（2）若，写出满足题意的正整数的值_________；（3）如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次， ，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程．（4）只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．【答案】(1)2，6； (2)1，2，3 (3)四次之后结果为1，详见解析 (4)15，详见解析【分析】本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点，（1）根据题意得，，，则，即可得；（2）根据，，，x为正整数，即可得；（3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，第四次：，即可得；（4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，即可得；解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算．解：（1）∵，，，∴，∴，，故答案为：2，6；（2）∵，，，x为正整数，∴或或，故答案为：1，2，3；（3）∵第一次：，第二次：，第三次：，第四次：，∴第四次之后结果为1；（4）最大的是15，理由如下，由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ∵，，∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，∴只对一个正整数进行2次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是15，故答案为：15．
【能力提升】第2章《实数》 题型归纳与变式训练【题型1】平方根【例1】（23-24七年级下·北京·期中）已知正实数的两个平方根分别是和．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【答案】(1) (2)【分析】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（1）先根据平方根的定义，得，再化简即可；（2）根据平方根的定义，得，代入，再利用平方根的定义解方程即可．解：（1）解：正实数的两个平方根分别是和，，，若，则；（2）解：正实数的两个平方根分别是和，，，，即，，是正实数，即，．【变式1】（23-24八年级上·河北保定·期末）已知与是同一个数的平方根，则的值是（ ）A． B． C．或 D．或【答案】C 【分析】本题考查的知识点是平方根，解题关键是掌握平方根的性质．一个正数有两个平方根且互为相反数，的平方根是，所以同一个数的平方根可能相等，也可能互为相反数．则或，求解即可得到答案．解：和是同一个数的平方根，有或，解得或．故选：．【变式2】（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，则的平方根为 ．【答案】【分析】本题考查了数的开方和非负数的性质，平方根，根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式，最后根据平方根的定义即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．解：∵，∴，，解得：，，∴，∴的平方根为，故答案为：．【题型2】算术平方根【例2】（23-24七年级下·河南商丘·期中）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分，求的平方根．【答案】【分析】根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可．解：的算术平方根是5，，解得：． ∵的平方根是，，解得：．是的整数部分，而，，，的平方根为．【点睛】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键．【变式1】（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（ ）A． B． C． D．0【答案】A【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数．解： 正方形的面积为3，，，， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，点所表示的数为 . 故选：A.【变式2】（22-23七年级下·内蒙古通辽·期中）若与互为相反数，则的绝对值为 ．【答案】/【分析】本题考查了相反数，绝对值，算术平方根的非负性，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得，再利用算术平方根和绝对值的非负性求出、，最后根据绝对值的意义进行计算即可．解：与互为相反数又，，，，故答案为：．【题型3】立方根【例3】（22-23七年级下·安徽合肥·期中）若实数的平方根是和，的立方根是，求的算术平方根． 【答案】8【分析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义及解一元一次方程，根据平方根的定义可得，解方程可求出a的值，即可得出m的值，根据立方根得定义可得b的值，根据算术平方根的定义即可得答案．解：∵实数的平方根是和，∴，解得：．∴，∴． ∵的立方根是，∴，∴，∴的算术平方根为．【变式1】（22-23七年级上·浙江温州·期末）下列说法正确的是（ ）A．的平方根是 B．没有立方根C．的立方根是 D．的算术平方根是【答案】D【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的定义即可求出答案．解：、根据平方根的定义可知的平方根是，该选项不符合题意；B、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意；C、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意；D、根据算术平方根的定义可知的算术平方根是，该选项符合题意；故选：．【点睛】本题考查平方根，立方根和算术平方根，解题的关键是熟练运用其定义，本题属于基础题型．【变式2】（21-22七年级下·四川绵阳·阶段练习）已知、、在数轴上的位置如图，化简： ．【答案】【分析】先根据数轴的性质可得，从而可得，再计算算术平方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得．解：由数轴可知，，，，，，， 故答案为：．【点睛】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键．【题型4】无理数【例4】（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）把下列各数写在相应的横线上：，，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，（1）有理数 ；（2）无理数 ．【答案】(1)，0，(2)，，，（两个1之间依次多一个6）【分析】本题考查了实数中有理数和无理数的分类，解题的关键是掌握有限小数和无限循环小数都称为有理数，无限不循环小数叫无理数．（1）进行分类之前，先对某些数进行计算或化简，然后再根据有理数的定义进行分类．（2）根据无理数的定义进行分类．解：（1）解：，有理数：，0，；（2）无理数：，，，（两个1之间依次多一个6）．【变式1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）实数，，，，（相邻两个之间1的个数依次加），其中无理数有（ ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．解：是有理数，不符合题意；是分数，属于有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意；是无理数，符合题意；（相邻两个之间1的个数依次加）是无理数，符合题意；∴无理数有个，故选：．【变式2】（2024·四川雅安·中考真题）将，，，0，，这6个数分别写在6张同样的卡片上，从中随机抽取1张，卡片上的数为有理数的概率是 ．【答案】【分析】本题考查概率的求法与运用，有理数与无理数的识别，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．先根据无理数的定义得到取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，再根据概率公式即可求解．解：将，，，0，，3.14这6个数分别写在6张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，有6种等可能结果，其中取到有理数的有，，0，3.14这4种结果，所以取到有理数的概率为，故答案为：．【题型5】实数【例5】（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）观察如图，每个小正方形的边长均为1（1）图中阴影部分面积（正方形）的面积是______，边长是______；（2）请用尺规作图，在数轴上作出边长的对应点P（要求保留作图痕迹）．【答案】(1)17， (2)见解析【分析】本题考查的知识点是勾股定理以及无理数基本作图，利用格点的特征求出阴影部分正方形的面积是解此题的关键． （1）根据格点的特征利用勾股定理求边长，再计算面积即可；（2）以为圆心，以正方形边长为半径画弧，与数轴正方向的交点即为所求．解：（1）解：图中阴影部分面积（正方形）的边长是，面积是，故答案为：17，；（2）解：如图：点P表示的数为.【变式1】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算：的值为（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查实数的混合运算，先化简绝对值，再进行加减运算即可．解：原式；故选C．【变式2】比较大小： （请填写“>”、“<”或“=”）．【答案】【分析】本题主要考查了实数大小比较，将两个无理数平方即可比较出大小．解：，，∵，∴，故答案为：．【题型6】二次根式及其相关概念【例6】（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值．【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，非负数的性质．由同类二次根式的定义和非负数的性质得出①，②，③，将①、②代入③得，求得，继而可得、，将分式化简、代入计算可得．解：最简二次根式与可以合并，，且、，则①，②，③，将①、②代入③，得：，解得：，、，．【变式1】使式子在实数范围有意义的的取值范围是（ ）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据被开方数为非负数且分母不为，可求出的取值范围．解：∵在实数范围内有意义．且，解得：且，故选：．【变式2】（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是 ．【答案】4【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题 属于基础题型．根据同类二次根式以及最简二次根式的定义即可求出答案．解：由题意可知：，，．故答案为：4【题型7】二次根式的运算【例7】（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）计算：(1)； (2)；(3)； (4)．【答案】(1)1 (2) (3) (4)【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键，（1）直接化简二次根式，再进行加减运算法即可；（2）直接利用完全平方公式计算即可；（3）直接化简二次根式并运用平方差公式化简，再进行二次根式的加减混合运算进而得出答案；（4）直接化简二次根式，再利用二次根式的混合运算法则计算即可．解：（1）（2） （3）（4）【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）下列计算错误的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查的知识点是二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握二次根式的相关运算法则．根据二次根式的相关运算法则对选项进行逐一判断即可得解．解：选项，，计算正确，不符合题意，选项错误；选项，，计算正确，不符合题意，选项错误；选项，，计算正确，不符合题意，选项错误；选项，，计算错误，符合题意， 选项正确．故选：．【变式2】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算的结果为 ．【答案】【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据运算法则计算即可． 解：原式，故答案为：．【题型8】二次根式的化简求值【例8】（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知，，求下列各式的值：(1)； (2)．【答案】(1) (2)【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化：（1）先利用分母有理化法则求出，进而得到，，再根据完全平方公式的变形求解即可；（2）根据进行求解即可．解：（1∵，，∴，，，，∴；（2） ．【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，则的值为（ ）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据运算法则计算即可．解：原式，故选：B．【变式2】（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为 ．【答案】【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键．解：∵，∴，∴，即，∴，∴，∴代数式的值为．故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列：则第八行左起第1个数是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，归纳类推得：第七行共有个数，则第八行左起第1个数是，故选：C．【例2】（2024·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题主要考查了整式的化简求值，实数的运算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．解：，当时，原式．2、拓展延伸【例1】（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知m为正整数，若是整数，则根据 可知m有最小值．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 ，的小数部分为 ．【答案】 3 75 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，先将化简为，可得最小为3，由是大于1的整数可得越小，越小，则越大，当时，即可求解．先进行分母的有理化计算，即化去分母中的根号，得到，然后通过估算减去整数部分即可；解题的关键是读懂题意，根据关键词“大于”，“整数”进行求解．解：，且为整数，最小为3，是大于1的整数，越小，越小，则越大，当时，，，故的小数部分为故答案为：3；75；【例2】（23-24七年级下·河南安阳·期末）对于实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，例如：，．（1）仿照以上方法计算：________；=________；（2）若，写出满足题意的正整数的值_________；（3）如果我们对连续求根整数，直到结果为1停止．例如：对10连续求根整数2次， ，这时候结果为1．那么对400连续求根整数，多少次之后结果为1？请写出你的求解过程．（4）只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的是_________．【答案】(1)2，6； (2)1，2，3 (3)四次之后结果为1，详见解析 (4)15，详见解析【分析】本题主要考查了无理数的估算的应用等知识点，（1）根据题意得，，，则，即可得；（2）根据，，，x为正整数，即可得；（3）根据题意得，第一次：；第二次：；第三次：，第四次：，即可得；（4）由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3，进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，即可得；解题的关键是理解题意，掌握无理数的估算．解：（1）∵，，，∴，∴，，故答案为：2，6；（2）∵，，，x为正整数，∴或或，故答案为：1，2，3；（3）∵第一次：，第二次：，第三次：，第四次：，∴第四次之后结果为1；（4）最大的是15，理由如下，由（2）得，进行1次求根整数运算后结果为1的正整数最大为3， ∵，，∴进行1次求根整数运算后结果为3的正整数最大为15，∴只对一个正整数进行2次连续求根整数运算后结果为1，则这个正整数最大值是15，故答案为：15．
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