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新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题03 等式与不等式的性质（2份打包，原卷版+解析版）
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1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质.
2、会利用不等式性质比较大小
【思维导图】
【考点总结】
【考点总结】
一、等式的基本性质
性质1 如果a＝b，那么b＝a；
性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
二、不等式的概念
我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．
三、比较两个实数a、b大小的依据
[化解疑难]
1．上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出．
2．“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系.
四、不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b
(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.
推论(同向可加性)：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d；
(4)可乘性：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c>0))⇒ac>bc；eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a>b,c<0))⇒ac
(5)正数乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥1)；
(6)正数开方性：a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)(n∈N*，n≥2)．
[化解疑难]
1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件．
2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．
【题型汇编】
题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小
题型二：作差法比较数（式）大小
题型三：利用不等式的性质证明不等式
【题型讲解】
题型一：利用不等式的性质比较数（式）大小
一、单选题
1．（2022·浙江·三模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【详解】
由题意知： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 异号，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
2．（2022·北京·北大附中三模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，下列不等式中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 ，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.
【详解】
解：对于选项A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 的正负不确定，故A错误；
对于选项B，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于选项C，依题意 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于选项D，因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 正负不确定，故大小不确定，故D错误；
故选：C.
3．（2022·江西萍乡·三模（理））设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求导研究函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，利用不等式的性质比较得出 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得答案.
【详解】
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，可以判断 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
4．（2022·北京·二模）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据不等式的性质，求解出 SKIPIF 1 < 0 ，进而根据逻辑关系进行判断即可.
【详解】
对于 SKIPIF 1 < 0 等价为：
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
即： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2022·江西鹰潭·二模（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 则下列不等式中恒成立的个数是（ ）
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 ③ SKIPIF 1 < 0 ④ SKIPIF 1 < 0
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
①，分析得到 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 正确；②，构造函数举反例判断得解；③，构造函数利用函数单调性判断得解；④，转化为判断 SKIPIF 1 < 0 ，再构造函数利用导数判断函数的单调性即得解.
【详解】
解：①，若 SKIPIF 1 < 0 ，所以矛盾，所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 正确；
②， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不恒成立，如 SKIPIF 1 < 0 ，所以该命题错误；
③， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 恒成立，所以该命题正确；
④， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减.
取 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
所以该命题错误.
故选：B
6．（2022·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
由不等式的基本性质和特值法即可求解.
【详解】
对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则 SKIPIF 1 < 0 ，A选项正确；
对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，B选项错误；
对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，C选项错误；
对于D选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以无法判断 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 大小，D选项错误.
7．（2022·陕西渭南·二模（文））设x、y都是实数，则“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由不等式性质及特殊值法判断条件间的推出关系，结合充分必要性的定义即可确定答案.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，必有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，如 SKIPIF 1 < 0 不满足 SKIPIF 1 < 0 ，故不一定有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
所以“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件.
故选：A
8．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A，B，C可以取特殊值验证，对于D，根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式求解即可.
【详解】
对于A：当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时不成立，故A错误；
对于B：当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于C：当 SKIPIF 1 < 0 时不成立，故C错误；
对于D：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （等号成立的条件是 SKIPIF 1 < 0 ），故D正确.
故选：D.
9．（2022·宁夏六盘山高级中学二模（文））设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的极小值点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
先对函数求导，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，然后分 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 结合 SKIPIF 1 < 0 的正负讨论判断函数的极值点即可
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，
若 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 是函数的极大值点，不合题意，
若 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 是函数的极小值点，满足题意，此时由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 是函数的极大值点，不合题意，
若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 是函数的极小值点，满足题意，此时由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 一定成立，所以C正确，ABD错误，
故选：C
10．（2022·江西·二模（文））已知正实数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 的最小值是9
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 的最大值为0
【答案】D
【解析】
【分析】
利用基本不等式，以及对数的运算，不等式的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】
对 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故A正确；
对 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故B正确；
对 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对 SKIPIF 1 < 0 ：由 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故D错误.
故选： SKIPIF 1 < 0 .
二、多选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等关系中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，特值法以及基本不等式即可判断各关系式的真假．
【详解】
对A，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，A错误；
对B，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，B错误；
对C，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，根据基本不等式知，C正确：
对D，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确．
故选：CD．
2．（2022·辽宁·二模）己知非零实数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【解析】
【分析】
利用不等式的性质及特殊值法判断即可．
【详解】
解：对于非零实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故A一定成立；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，故B一定成立；
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C一定成立；
对于D：令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故D不一定成立．
故选：ABC
3．（2022·重庆·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据指数式与对数式的互化，再利用对数的运算性质及对数大小的比较及不等式的性质即可求解.
【详解】
SKIPIF 1 < 0
对于A， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故C 正确；
对于D，由B知， SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：BCD. SKIPIF 1 < 0
题型二：作差法比较数（式）大小
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D： SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：D
2．（2022·重庆·二模）若非零实数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质、基本不等式的条件和对数的运算，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，由 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 不确定，所以A错误；
对于B中，只有当 SKIPIF 1 < 0 不相等时，才有 SKIPIF 1 < 0 成立，所以B错误；
对于C中，例如 SKIPIF 1 < 0 ，此时满足 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，所以C错误；
对于D中，由不等式的基本性质，当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 成立，所以D正确.
故选：D.
3．（2022·江西上饶·二模（理））设 SKIPIF 1 < 0 ，其中e是自然对数的底数，则（ ）
注： SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，利用导数研究函数的单调性可得
SKIPIF 1 < 0 ；根据作差法和对数的运算性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，构造新函数
SKIPIF 1 < 0 ，利用导数研究函数的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，
进而 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出结果.
【详解】
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
综上， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
4．（2022·安徽黄山·二模（文））设实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
对于A，B，C可以取特殊值验证，对于D，根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式求解即可.
【详解】
对于A：当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时不成立，故A错误；
对于B：当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于C：当 SKIPIF 1 < 0 时不成立，故C错误；
对于D：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 （等号成立的条件是 SKIPIF 1 < 0 ），故D正确.
故选：D.
5．（2022·广东广州·一模）若正实数a，b满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数单调性及 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，分别讨论两种情况下四个选项是否正确，A选项可以用对数函数单调性得到，B选项可以用作差法，C选项用作差法及指数函数单调性进行求解，D选项，需要构造函数进行求解.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
故ABC均错误；
D选项， SKIPIF 1 < 0 ，两边取自然对数， SKIPIF 1 < 0 ，因为不管 SKIPIF 1 < 0 ，还是 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故只需证 SKIPIF 1 < 0 即可，
设 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，故 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）单调递减，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，结论得证，D正确
故选：D
6．（2022·山西太原·二模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的有（ ）
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 ③ SKIPIF 1 < 0 ④ SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 个B． SKIPIF 1 < 0 个C． SKIPIF 1 < 0 个D． SKIPIF 1 < 0 个
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，比较 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的大小，利用指数函数的单调性、导数法、不等式的基本性质以及基本不等式逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
对于①， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，①对；
对于②， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，②错；
对于③， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，③错；
对于④，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，④对.
故选：B.
7．（2022·河北衡水中学一模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A中，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以A不正确；
对于B中，由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以B不正确；
对于C中，由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，所以C不正确；
对于D中，由 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确.
故选：D.
8．（2022·重庆·三模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小关系正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
作差法比较出 SKIPIF 1 < 0 ，构造函数，利用函数单调性比较出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，其中因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
9．（2022·湖南·雅礼中学二模）有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位： SKIPIF 1 < 0 ）分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，三种颜色涂料的粉刷费用（单位：元/ SKIPIF 1 < 0 ）分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元）是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ；同理， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故最低费用为 SKIPIF 1 < 0 .故选B.
二、多选题
1．（2022·山东日照·三模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限 SKIPIF 1 < 0 ，劳累程度 SKIPIF 1 < 0 ，劳动动机 SKIPIF 1 < 0 相关，并建立了数学模型 SKIPIF 1 < 0 ，已知甲、乙为该公司的员工，则下列结论正确的是（ ）
A．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高
B．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率低
C．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．则甲比乙劳累程度弱
D．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强
【答案】AC
【解析】
【分析】
设甲与乙的工人工作效率 SKIPIF 1 < 0 ，工作年限 SKIPIF 1 < 0 ，劳累程度 SKIPIF 1 < 0 ，劳动动机 SKIPIF 1 < 0 ，利用作差法和指数函数的性质比较大小即可判断选项AB；利用作商法和幂函数指数函数的性质比较大小即可判断选项CD.
【详解】
设甲与乙的工人工作效率 SKIPIF 1 < 0 ，工作年限 SKIPIF 1 < 0 ，劳累程度 SKIPIF 1 < 0 ，劳动动机 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即甲比乙工作效率高，故A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即甲比乙工作效率高，故B错误：
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即甲比乙劳累程度弱，故C正确；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即甲比乙劳累程度弱，故D错误．
故选：AC
2．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】
【分析】
AB选项，利用基本不等式进行求解；CD选项，利用作差法比较大小.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由基本不等式得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 可能比1大，可能比1小，所以 SKIPIF 1 < 0 符号不确定，所以D错误，
故选：AB
3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为自然对数的底数），则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用作差法即可判断A；令 SKIPIF 1 < 0 ，根据导数可判断函数在 SKIPIF 1 < 0 上递增，结合A及指数函数的单调性可判断B；根据指数函数的单调性结合基本不等式可判断C；结合B根据对数函数的单调性可判断D.
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对于C，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ACD.
4．（2022·广东潮州·二模）已知幂函数 SKIPIF 1 < 0 的图象经过点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题正确的有（ ）．
A．函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0
B．函数 SKIPIF 1 < 0 为非奇非偶函数
C．过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 图象相切的直线方程为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】
先利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项A错误、选项B正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点 SKIPIF 1 < 0 求出切线方程，进而判定选项C正确；平方作差比较大小，进而判定选项D错误.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
对于A： SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，即选项A错误；
对于B：因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 不具有奇偶性，即选项B正确；
对于C：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则切线斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，
切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又因为切线过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即选项C正确；
对于D：当 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 成立，即选项D错误．
故选：BC．
5．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a和b，满足 SKIPIF 1 < 0 ，下列不等式正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
【分析】
A选项，利用 SKIPIF 1 < 0 作出判断；B选项，利用基本不等式即函数单调性求解；CD选项，用作差法求解.
【详解】
由于两个不相等的正实数a和b，满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以a和b可取一个比1大，一个比1小，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，但不知道a和b的大小关系，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BD
6．（2022·山东聊城·三模）已知实数m，n满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用作差法比较大小，可判断A,B,利用指数函数和幂函数的单调性，可判断C;根据对数函数的单调性，可判断D.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 知， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
因为指数函数 SKIPIF 1 < 0 为单调减函数，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由幂函数 SKIPIF 1 < 0 为单调增函数知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
根据, SKIPIF 1 < 0 对数函数 SKIPIF 1 < 0 为单调减函数,
故 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误，
故选：AC
题型三：利用不等式的性质证明不等式
一、单选题
1．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质可证充分性成立，举例说明可证必要性不成立.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，所以充分性成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 不成立，所以必要性不成立．
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要条件.
故选：A．
2．（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）若 SKIPIF 1 < 0 均为实数，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
通过列举，和推理证明可以推出充要性.
【详解】
若 SKIPIF 1 < 0 中，取 SKIPIF 1 < 0 ，则推不出 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则可得出 SKIPIF 1 < 0 ；
故“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件，
故选：B.
【点睛】
本题考查充分必要不条件的定义以及不等式的性质，可通过代入特殊值解决．
3．（2021·浙江·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，即得解.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
反之，也成立.
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分必要条件.
故选：C
【点睛】
方法点睛：充分必要条件的判断，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
4．（2021·上海长宁·二模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 满足：对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ．
命题 SKIPIF 1 < 0 ：若 SKIPIF 1 < 0 是增函数，则 SKIPIF 1 < 0 不是减函数；
命题 SKIPIF 1 < 0 ：若 SKIPIF 1 < 0 有最大值和最小值，则 SKIPIF 1 < 0 也有最大值和最小值．
则下列判断正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是真命题B． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是假命题
C． SKIPIF 1 < 0 是真命题， SKIPIF 1 < 0 是假命题D． SKIPIF 1 < 0 是假命题， SKIPIF 1 < 0 是真命题
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数单调性定义结合已知判断命题p的真假，再利用函数最大、最小值的意义借助不等式性质判断命题q的真假而得解.
【详解】
对于命题 SKIPIF 1 < 0 ：设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故函数 SKIPIF 1 < 0 不是减函数，
故命题 SKIPIF 1 < 0 为真命题；
对于命题 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 有界，但不一定有最大值和最小值，故命题 SKIPIF 1 < 0 为假命题．
故选：C
【点睛】
结论点睛：含绝对值不等式转化方法：a>0时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
5．（2021·浙江·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
利用不等式的性质证明必要性成立，利用特殊值法证明充分性不成立即可得到结果.
【详解】
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即必要性成立；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，所以充分性不成立
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件
故选：B．
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是利用不等式的性质证明必要性.
6．（2021·全国·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
不等式 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，分类讨论 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，分别求出实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，最后取交集即可.
【详解】
易知 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，对任意的实数 SKIPIF 1 < 0 ，不等式恒成立；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【点睛】
方法点睛：本题考查不等式恒成立求参数问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数 SKIPIF 1 < 0 恒成立( SKIPIF 1 < 0 即可)或 SKIPIF 1 < 0 恒成立（ SKIPIF 1 < 0 即可）；
②数形结合( SKIPIF 1 < 0 图像在 SKIPIF 1 < 0 上方即可)；
③讨论最值 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
7．（2021·浙江·模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ，给出下列命题：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ； ②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ； ④若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
其中真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，然后两边平方，再通过作差法即可得解；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用立方差公式可知 SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 以及不等式的性质即可判断；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，再利用 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得 SKIPIF 1 < 0 的范围，进而判断；
④取特殊值， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可判断．
【详解】
解：①若 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即①错误；
若 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以②正确；
若 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即③正确；
④取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
但 SKIPIF 1 < 0 ，所以④错误；
所以真命题有②③，
故选：B．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及根据不等式的性质证明不等式、指对运算法则、立方差公式等，考查学生的分析能力和运算能力．
8．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知 SKIPIF 1 < 0 且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 结合条件可得结果.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
9．（2022·浙江·杭州高级中学模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求得 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，再把 SKIPIF 1 < 0 转化为关于 SKIPIF 1 < 0 的代数式 SKIPIF 1 < 0 ，利用函数 SKIPIF 1 < 0 的单调性去求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围即可解决
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
故选：C
10．（2022·浙江·模拟预测）若实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据不等式的性质即可得出答案.
【详解】
解：设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
二、多选题
1．（2021·江苏·扬州中学模拟预测）已知两个不为零的实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】
对四个选项一一验证：
对于A：利用 SKIPIF 1 < 0 为增函数直接证明；
对于B：取特殊值判断；
对于C：若 SKIPIF 1 < 0 时，利用同向不等式相乘判断；若 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，直接判断；若 SKIPIF 1 < 0 时，利用不等式的乘法性质进行判断
对于D：取特殊值判断；
【详解】
对于A：因为两个不为零的实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 为增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；故A正确；
对于B：可以取 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；故B不正确；
对于C：若 SKIPIF 1 < 0 时，则有 SKIPIF 1 < 0 根据同向不等式相乘得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成立；
若 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 成立；
若 SKIPIF 1 < 0 时，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 成立；
故C正确；
对于D：可以取 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；故D不正确；
故选：AC
【点睛】
（1）判断不等式是否成立：①利用不等式的性质或定理直接证明；②取特殊值进行否定，用排除法；
（2）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
（3）要证明一个命题是真命题，需要严格的证明；要判断一个命题是假命题，只需要举一个反例否定就看可以了.
2．（2021·福建·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．设 SKIPIF 1 < 0 ，则“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件
B． SKIPIF 1 < 0 是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件
C．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的充要条件
D．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 “ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分而不必要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】
对于AC，利用不等式的性质结合充分必要条件的定义判断即可；对于B，解 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，结合充分必要条件的定义判断即可；对于D，运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图像与性质，化简两个已知不等式，结合充分必要条件的定义判断即可.
【详解】
对于A，当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，可推出 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 成立，反之，当 SKIPIF 1 < 0 时，例 SKIPIF 1 < 0 满足条件，即不能推出 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件，故A正确；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，反之， SKIPIF 1 < 0 不一定得 SKIPIF 1 < 0 ，如 SKIPIF 1 < 0 也满足 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分不必要条件，故B错误；
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，反之，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 成立的必要不充分条件，故C错误；
对于D，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，反之，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，推不出 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分而不必要条件，故D正确.
故选：AD
【点睛】
关键点点睛：本题考查充分条件和必要条件的判断，同时考查三角函数的性质与不等式的性质，运用定义法和解不等式是解题的关键，属于基础题.
3．（2021·广东·石门中学模拟预测）设 SKIPIF 1 < 0 为正实数，下列命题正确的有（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】AD
【解析】
SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 ，分解变形为 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 可通过举反例的方法证明其错误性；
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，去掉绝对值，将 SKIPIF 1 < 0 分解变形为 SKIPIF 1 < 0 ，即可证明 SKIPIF 1 < 0 ，同理当 SKIPIF 1 < 0 时也可证明 SKIPIF 1 < 0 ，从而命题④正确．
【详解】
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，该选项正确；
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，可取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 该选项错误；
SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，则可取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 该选项错误；
SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 该选项正确；
故选：AD
【点睛】
方法点睛：证明不等式常用的方法有：（1）比较法；（2）综合法；（3）分析法；（4）放缩法；（5）数学归纳法；（6）反证法.要根据已知灵活选择.
4．（2021·江苏南京·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
根据已知条件，利用基本不等式可以证明A正确；根据已知条件，求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，结合不等式的基本性质和指数函数的单调性判定BD；利用对数函数的单调性对C进行等价转化，通过举例可以否定C.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 正确；
SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
等价于 SKIPIF 1 < 0 ,但当 SKIPIF 1 < 0 时，满足条件 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,故C错误；
故选： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
本题考查不等式的基本性质，基本不等式，涉及指数对数函数的单调性，属中档题.关键是要熟练掌握不等式的基本性质和基本不等式，掌握指数对数函数的单调性.注意使用等价分析法，举反例否定法进行判定.
文字语言
符号表示
如果a＞b，那么a－b是正数；
如果a＜b，那么a－b是负数；
如果a＝b，那么a－b等于0，
反之亦然
a>b⇔a－b>0
a
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