新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题05 基本不等式及其应用（2份打包，原卷版+解析版）

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1、能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小
2、能初步运用基本不等式证明简单的不等式．
3、熟练掌握基本不等式及其变形的应用，会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题
4、能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．
【思维导图】
一、重要不等式及证明
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．请证明此结论．
证明 ∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”．
二、基本不等式
1．内容：
eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，其中a≥0，b≥0，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．证明：
∵a＋b－2eq \r(ab)＝(eq \r(a))2＋(eq \r(b))2－2eq \r(a)·eq \r(b)
＝(eq \r(a)－eq \r(b))2≥0.
∴a＋b≥2eq \r(ab).
∴eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．
三、基本不等式的常用推论
1．ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b∈R)．
2.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 (a，b同号)．
3．当ab>0时，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2；
当ab<0时，eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≤－2.
4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
四、基本不等式求最值
1．理论依据：
(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为eq \f(s2,4).
(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2eq \r(p).
2．基本不等式求最值的条件：
(1)x，y必须是正数；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．
(3)等号成立的条件是否满足．
3．利用基本不等式求最值需注意的问题：
(1)各数(或式)均为正．
(2)和或积为定值．
(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．
(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．
【题型汇编】
题型一：基本不等式及其应用
题型二：利用基本不等式求最值
题型三：利用基本不等式解决实际问题
【题型讲解】
题型一：基本不等式及其应用
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据指对互化以及对数函数的单调性即可知 SKIPIF 1 < 0 ，再利用基本不等式，换底公式可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．综上， SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A.
2．（2022·江西赣州·二模（理））在等差数列 SKIPIF 1 < 0 和等比数列 SKIPIF 1 < 0 中，有 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列关系式中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断两者的大小.
【详解】
设等比数列的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
结合题设条件有 SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
3．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.
【详解】
解：对于A选项，当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式显然不成立，故错误；
对于B选项， SKIPIF 1 < 0 成立的条件为 SKIPIF 1 < 0 ，故错误；
对于C选项，当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式显然不成立，故错误；
对于D选项，由于 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，正确.
故选：D
4．（2022·四川攀枝花·三模（理））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的表达式，再利用对数的运算法则进行变形比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ，再利用基本不等式以及函数的单调性进行判断即可.
【详解】
依题意得， SKIPIF 1 < 0 ，，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由基本不等式得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 为单调递增函数
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故选：D.
5．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知x，y都是正数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列选项不恒成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本不等式判断．
【详解】
x，y都是正数，
由基本不等式， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，这三个不等式都是当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，而题中 SKIPIF 1 < 0 ，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；
SKIPIF 1 < 0 中当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，如 SKIPIF 1 < 0 即可取等号，D中不等式不恒成立．
故选：D．
6．（2022·河北石家庄·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则x､y､z的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出 SKIPIF 1 < 0 ，再由 SKIPIF 1 < 0 ，可比较出 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小即可得出 SKIPIF 1 < 0 的大小关系.
【详解】
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
综上， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
7．（2022·江西新余·二模（文））设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数，利用函数的单调性结合均值不等式可得答案．
【详解】
令 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，虽然 SKIPIF 1 < 0 是单调递增函数，而 SKIPIF 1 < 0 无法比较大小，
所以 SKIPIF 1 < 0 大小无法确定，排除AB；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
二、多选题
1．（2022·湖南衡阳·三模）已知实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．则下列不等式正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】
对于A、D利用 SKIPIF 1 < 0 换元整理， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再结合基本不等式；对于B根据 SKIPIF 1 < 0 ，代入整理；对于C SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 计算处理．
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立
A正确；
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立
D正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，B正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立
SKIPIF 1 < 0 ，C不正确；
故选：ABD．
2．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，利用函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调性可判断D选项.
【详解】
对于A选项，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，A对；
对于B选项，由基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，B对；
对于C选项，取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，C错；
对于D选项，令 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，所以，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选：ABD.
3（2022·河北邯郸·一模）下列大小关系正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】
A、B选项画出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象，数形结合进行比较，C选项构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，借助单调性进行判断，D选项作减法，借助对数运算及基本不等式进行比较.
【详解】
作出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的图象，如图所示，由图象可得，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故A，B正确.
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误.
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD.
4．（2022·辽宁·一模）已知不相等的两个正实数a和b，满足 SKIPIF 1 < 0 ，下列不等式正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
【分析】
A选项，利用 SKIPIF 1 < 0 作出判断；B选项，利用基本不等式即函数单调性求解；CD选项，用作差法求解.
【详解】
由于两个不相等的正实数a和b，满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以a和b可取一个比1大，一个比1小，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
由题意得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，但不知道a和b的大小关系，故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：BD
三、填空题
1．（2021·河南·模拟预测（文））已知关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 有两个实根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则下列不等式中正确的有______.（填写所有正确结论的序号）
① SKIPIF 1 < 0 ； ② SKIPIF 1 < 0
③ SKIPIF 1 < 0 ； ④ SKIPIF 1 < 0 .
【答案】①
【解析】
【分析】
解方程 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用作差法和基本不等式得解.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
因为关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 有两个实根 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
对于①②， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以①正确，②错误.
对于③④， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0 .
所以③④错误.
故答案为：①
2．（2021·全国·模拟预测）已知等比数列 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数， SKIPIF 1 < 0 ，且存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为________．
【答案】4
【解析】
【分析】
由递推关系结合基本不等式的性质，得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 时等号成立， SKIPIF 1 < 0 ；再由条件 SKIPIF 1 < 0 ，求得首项的最小值.
【详解】
设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以由基本不等式得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立．
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4．
故答案为：4
【点睛】
关键点点睛：利用基本不等式得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而利用等比数列的通项公式求解 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
四、解答题
1．（2022·江西南昌·三模（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，已知不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）分类讨论可得 SKIPIF 1 < 0 解析式，进而得到 SKIPIF 1 < 0 的图象，采用数形结合的方式可确定 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，代入不等式左侧，利用基本不等式可求得 SKIPIF 1 < 0 ，由此可得结论.
(1)
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
由此可得 SKIPIF 1 < 0 图象如下图所示，
SKIPIF 1 < 0 恒成立，则由图象可知：当 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
(2)
由（1）知：只需证明 SKIPIF 1 < 0 ；
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号），
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
2．（2022·四川·成都七中三模（文））设函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立．
(1)求实数m的取值范围；
(2)求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1） SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 ，令
SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
（2）要证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，结合均值不等式即可证明.
(1)
由题意知 SKIPIF 1 < 0 恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即 SKIPIF 1 < 0 恒成立
令 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
可得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以要证 SKIPIF 1 < 0 ，
只需证 SKIPIF 1 < 0 ，即证 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 成立.
3．（2022·宁夏·银川一中二模（理））已知函数 SKIPIF 1 < 0
(1)若不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，求实数a的值.
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证: SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由绝对值不等式得解集求参数，首先得到 SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 两种情况下求解；（2）利用绝对值三角不等式和基本不等式进行证明.
(1)
SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，无解.
综上可知， SKIPIF 1 < 0 .
(2)
证明：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
等号成立的条件是 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 同号，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
题型二：利用基本不等式求最值
一、单选题
1．（2022·上海黄浦·二模）若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为非零实数，则不等式 SKIPIF 1 < 0 成立的一个充要条件为（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
利用基本不等式及充要条件的定义判断即可；
【详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均为非零实数且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 成立的一个充要条件为 SKIPIF 1 < 0 ；
故选：A
2．（2022·广东茂名·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，表示出a,b,再由 SKIPIF 1 < 0 ，结合不等式知识，即可求得答案.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2，
故选：C．
3．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，必有 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 只有一个零点，则函数 SKIPIF 1 < 0 有（ ）
A．最小值为 SKIPIF 1 < 0 B．最大值为 SKIPIF 1 < 0 C．最小值为4D．最大值为4
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数 SKIPIF 1 < 0 只有一个零点，结合条件可得方程 SKIPIF 1 < 0 只有一个根，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后可求出 SKIPIF 1 < 0 的最值情况.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的奇函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为对于任意 SKIPIF 1 < 0 ，必有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 只有一个零点，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 只有一个根，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
4．（2022·山东淄博·三模）已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列．若存在两项 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知条件及等差中项的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】
由题设 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为正项等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2.
故选：B
5．（2022·江西萍乡·三模（文））已知正实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式即可求出.
【详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
6．（2022·全国·二模（理））△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则AB边上的高的最大值为（ ）
A．2B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
将已知条件利用余弦的二倍角公式化简可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后由余弦定理和基本不等式可得面积的最大值，从而得到高的最大值.
【详解】
△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
可得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时取到最大值16，
设AB边上的高为h，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即AB边上的高的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
7．（2022·全国·二模（理））动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为（ ）
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
设动圆圆心 SKIPIF 1 < 0 ，利用动圆M经过坐标原点，可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式可得 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到要求的最大值.
【详解】
设动圆圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为1，动圆M经过坐标原点，可得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，即 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心M的横纵坐标之和的最大值为 SKIPIF 1 < 0
故选：C
二、多选题
1．（2022·全国·高考真题）若x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 R），由 SKIPIF 1 < 0 可变形为， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以A错误，B正确；
由 SKIPIF 1 < 0 可变形为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以C正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 变形可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时满足等式，但是 SKIPIF 1 < 0 不成立，所以D错误．
故选：BC．
2．（2022·山东临沂·三模）下列命题正确的是（ ）
A．正实数x，y满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为4
B．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”成立的充分条件
C．若随机变量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．命题 SKIPIF 1 < 0 ，则p的否定： SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】
对于A，可用基本不等式“1”的妙用求最值；对于B，根据充要条件的知识及不等式性质进行判断；对于C，根据二项分布期望及方差公式求解判断；对于D，根据命题的否定的知识进行判断.
【详解】
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，故A错误；
对于B，“ SKIPIF 1 < 0 ”能推出“ SKIPIF 1 < 0 ”，故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，p的否定： SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：BC.
3．（2022·湖南师大附中三模）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的可能取值有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】CD
【解析】
【分析】
利用题设条件，将式子化成 SKIPIF 1 < 0 ，观察得出 SKIPIF 1 < 0 ，之后利用乘以1不变，结合基本不等式求得其范围，进而得到正确答案.
【详解】
原式 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时取等号）.
故选：CD.
4．（2022·辽宁沈阳·三模）已知 SKIPIF 1 < 0 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减
C． SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为1
【答案】ACD
【解析】
【分析】
通过题目信息求出 SKIPIF 1 < 0 的解析式，然后利用函数性质进行判断.
【详解】
由题，将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以可得 SKIPIF 1 < 0 ，将该式与题干中原式联立可得 SKIPIF 1 < 0 .
对于A： SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B：由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不可能在在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，故B错误；
对于C： SKIPIF 1 < 0 为偶函数，关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 向右平移1101个单位，故 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 对称，故C正确；
对于D：根据基本不等式 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等，故D正确.
故选：ACD
5．（2022·河北唐山·三模）下列命题正确的有（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【解析】
【分析】
可通过反例排除A、C，对于B，两边取对数即可，对于D，通过对数运算得到 SKIPIF 1 < 0 的式子，应用基本不等式即可确定.
【详解】
对于A， SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C， SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：BD.
三、双空题
1．（2022·天津·耀华中学二模）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，D为 SKIPIF 1 < 0 中点，P为 SKIPIF 1 < 0 上一点，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________； SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
根据平面向量加法的几何意义、共线向量的性质，结合平面向量的运算性质、基本不等式进行求解即可.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以有 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当有仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】
关键点睛：运用基本不等式是解题的关键.
2．（2022·天津·二模）如图直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在等腰直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量的模为____________；若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
根据题意，建立平面直角坐标系，利用坐标法求解投影向量的模；再设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而根据题意得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据坐标运算得 SKIPIF 1 < 0 ，进而结合基本不等式求解即可.
【详解】
解：根据题意，如图，建立平面直角坐标系，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以，向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
故其模为 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的动点，
所以，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
3．（2022·辽宁·东北育才学校二模）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在定义域内为单调递减函数，则实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为___________；若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
空1：根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时恒成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，利用基本不等式处理求解；
空2：根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，借助于导数求解最值，同时注意讨论 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 在定义域内为单调递减函数，则 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时恒成立
则可得： SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，整理得： SKIPIF 1 < 0
构建 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∵当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时恒成立
∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即在 SKIPIF 1 < 0 时不满足原式
综上所述：实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ．
四、填空题
1．（2022·上海虹口·二模）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为_________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
根据基本不等式即可解出．
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）已知 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 取到最小值时， SKIPIF 1 < 0 ___________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.75
【解析】
【分析】
先将 SKIPIF 1 < 0 化为 SKIPIF 1 < 0 ，再结合基本不等式即可求出最小值及此时 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】
知 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 取到最小值时， SKIPIF 1 < 0
由题意知： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等，
故当 SKIPIF 1 < 0 取到最小值时， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
五、解答题
1．（2022·全国·高考真题）记 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求B；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 SKIPIF 1 < 0 化成 SKIPIF 1 < 0 ，再结合 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出；
（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用正弦定理以及二倍角公式将 SKIPIF 1 < 0 化成 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用基本不等式即可解出．
(1)
因为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2022·上海·高考真题）在椭圆 SKIPIF 1 < 0 中，直线 SKIPIF 1 < 0 上有两点C、D (C点在第一象限)，左顶点为A，下顶点为B，右焦点为F.
(1)若∠AFB SKIPIF 1 < 0 ，求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)若点C的纵坐标为2，点D的纵坐标为1，则BC与AD的交点是否在椭圆上？请说明理由；
(3)已知直线BC与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于点P，直线AD与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于点Q，若P与Q关于原点对称，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)交点为 SKIPIF 1 < 0 ，在椭圆上，理由见解析
(3)6
【解析】
【分析】
（1）写出 SKIPIF 1 < 0 三点的坐标，可将 SKIPIF 1 < 0 用坐标表示出来，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，再结合已知条件，即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，进而写出椭圆的标准方程；
（2）根据条件，写出直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的方程，求出交点坐标，再将其代入椭圆标准方程的左边，即可判断该点与椭圆的位置关系；
（3）利用三角换元（或者椭圆的参数方程）的方法设出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，再结合点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，写出直线 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的方程，求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，表示出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用三角恒等变换以及同角三角函数关系化简 SKIPIF 1 < 0 ，最后根据重要不等式计算出 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
(1)
由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
由 SKIPIF 1 < 0 ，得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
联立两方程，解得交点为 SKIPIF 1 < 0 ，
代入椭圆方程的左边，得 SKIPIF 1 < 0 ，
故直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点在椭圆上；
(3)
由题有 SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 两点在椭圆上，且关于原点对称，
则设 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的最小值为6.
【点睛】
关键点点睛：第（3）小题中，以三角函数形式（参数方程）设点是解题的关键，进而利用三角恒等变换和同角三角函数关系（二次齐次分式化正余弦为正切）将 SKIPIF 1 < 0 化简，最终利用重要不等式求出其最小值.
题型三：利用基本不等式解决实际问题
一、单选题
1．（2022·陕西西安·三模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则以下不等式正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件结合基本不等式进行求解.
【详解】
由题意， SKIPIF 1 < 0 ，故选项A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故选项B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C错误；
SKIPIF 1 < 0 ，故选项D错误.
故选：B.
2．（2022·安徽省舒城中学一模（文））在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的外接圆圆心分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】
由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用球的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用基本不等式即求.
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 平面ABC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，其外心 SKIPIF 1 < 0 为PB的中点， SKIPIF 1 < 0 的外心 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面ABC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的外接球的表面积为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号.
∴ SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
3．（2022·山西·怀仁市第一中学校一模（理））已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 在底面的射影 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂心，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 的面积之和的最大值为8时，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的体积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角新的垂心，利用线线垂直与线面垂直的关系，证明 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，从而可以将三棱锥的外接球问题，转变为一个长方体的外接球问题求解.
【详解】
连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 点，连接 SKIPIF 1 < 0 ,
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的垂心，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
设三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的体积为 SKIPIF 1 < 0 ,
故选:D.
4．（2022·四川·石室中学二模（理））设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，M是线段PF上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
设出 SKIPIF 1 < 0 ，P点坐标，根据 SKIPIF 1 < 0 及抛物线方程，得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而表达出直线OM的斜率，利用基本不等式求出最大值.
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，显然当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则要想求解直线OM的斜率的最大值，此时 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
二、多选题
1．（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ）
A．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B．函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
C．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】
对于选项A，利用基本不等式结合对数运算求解判断；对于选项B：结合对数的性质，利用对勾函数的单调性求解判断；C，用“1”的代换，利用基本不等式求解判断；对于选项D，将 SKIPIF 1 < 0 ，转化为 SKIPIF 1 < 0 ，利用二次函数的性质求解判断.
【详解】
对于选项A，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴A正确；
对于选项B：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以由对勾函数的单调性可知函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故B不正确；
对于选项C，根据题意，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于选项D， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 无解，所以选项D不正确，
故选：AC．
2．（2022·浙江·模拟预测）已知三棱锥 SKIPIF 1 < 0 ，过顶点B的平面 SKIPIF 1 < 0 交分别棱AC，AD于M，N（均不与棱端点重合）．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别表示三棱锥 SKIPIF 1 < 0 和三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积．下列不等式一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据题设结合棱锥的体积公式得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，再应用不等式的性质、基本不等式判断各选项中不等式是否一定成立即可.
【详解】
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 到底面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
由 SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C错误；
由 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，D正确；
故选：ABD
3．（2022·广东肇庆·二模）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据基本不等式逐个分析判断
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故A正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故B错误；
∵ SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故C正确；
由选项B的解析可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时取等号，故D错误．
故选：AC
三、双空题
1．（2022·浙江台州·二模）已知正实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________； SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ##0.5； SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
①由基本不等式直接计算即可；
②先由基本不等式计算 SKIPIF 1 < 0 的最大值，再由两部分取等条件相同得到整体的最大值即可.
【详解】
①由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等；
② SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时取等，
又由上知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
四、填空题
1．（2022·全国·高考真题（理））已知 SKIPIF 1 < 0 中，点D在边BC上， SKIPIF 1 < 0 ．当 SKIPIF 1 < 0 取得最小值时， SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
设 SKIPIF 1 < 0 ，利用余弦定理表示出 SKIPIF 1 < 0 后，结合基本不等式即可得解.
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .


2．（2022·山东济南·三模）2022年3月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见》，再次强调持续推进体育公园建设．如图，某市拟建造一个扇形体育公园，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 千米．现需要在 SKIPIF 1 < 0 ，OB， SKIPIF 1 < 0 上分别取一点D，E，F，建造三条健走长廊DE，DF，EF，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______千米．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 # SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
利用余弦定理和基本不等式即可求解.
【详解】
∵在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ,
在△ SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
五、解答题
27．（2022·上海松江·二模）如图，农户在 SKIPIF 1 < 0 米、 SKIPIF 1 < 0 米的长方形地块 SKIPIF 1 < 0 上种植向日葵，并在 SKIPIF 1 < 0 处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况．监控摄像头可捕捉到图像的角度范围为 SKIPIF 1 < 0 ，其中点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别在长方形的边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，监控的区域为四边形 SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点间的距离；（结果保留整数）
(2)问当 SKIPIF 1 < 0 取何值时，监控区域四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 最大？最大值为多少？（结果保留整数）
【答案】(1)82
(2) SKIPIF 1 < 0 ，4886
【解析】
【分析】
（1）根据 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 求解 SKIPIF 1 < 0 ，再用勾股定理求解即可
（2）根据直角三角函数中的关系分别求得 SKIPIF 1 < 0 的面积，进而表达出四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，再令 SKIPIF 1 < 0 ，化简 SKIPIF 1 < 0 再用基本不等式求解最小值即可
(1)
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
(2)
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时.
故当 SKIPIF 1 < 0 时，监控区域四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 最大约为 SKIPIF 1 < 0
35．（2022·上海宝山·一模）吴淞口灯塔 SKIPIF 1 < 0 采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ，如示意图，垂直放置的标杆 SKIPIF 1 < 0 的高度 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在同一直线上，也在同一水平面上，仰角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .（本题的距离精确到 SKIPIF 1 < 0
(1)该小组测得 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 的一组值为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，请据此计算 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离 SKIPIF 1 < 0 （单位： SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为 SKIPIF 1 < 0 ，试问 SKIPIF 1 < 0 为多少时， SKIPIF 1 < 0 最大？
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）根据题目所给数据，解直角三角形并利用 SKIPIF 1 < 0 建立方程即可求解；
（2）由两角差的正切公式，结合均值不等式求出 SKIPIF 1 < 0 的最值，再根据角的范围即可求得 SKIPIF 1 < 0 何时有最大值.
(1)
由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，
故当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 最大.