新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题12 解三角形（2份打包，原卷版+解析版）

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1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
一、正弦定理和余弦定理
【思维导图】
【考点总结】
1．正弦定理和余弦定理
2.三角形解的判断
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin_B＝eq \f(1,2)absin C.
(3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
【常用结论】
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cs(A＋B)＝－cs C；
(3)sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2)；
(4)cs eq \f(A＋B,2)＝sin eq \f(C,2).
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcs C＋ccs B；
b＝acs C＋ccs A；
c＝bcs A＋acsB．
二、解三角形的综合应用
【思维导图】
【考点总结】
1．仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
3．方向角
相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
4．坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
常用结论
测量中的几种常见问题
【题型汇编】
题型一：正弦定理
题型二：余弦定理
题型三：三角形的面积公式
题型四：解三角形的实际应用
【题型讲解】
题型一：正弦定理
一、单选题
1．（2022·江西南昌·二模（理））在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．8B．6C．5D．3
2．（2022·吉林·延边州教育学院一模（文））已知 SKIPIF 1 < 0 ，内角 SKIPIF 1 < 0 的对边分别是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
3．（2022·江西·二模（文））设在 SKIPIF 1 < 0 中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 不唯一，则m的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·四川·乐山市教育科学研究所二模（文））设 SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 SKIPIF 1 < 0 ，则A=（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
5．（2022·陕西西安·三模（文））在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·安徽·芜湖一中一模（文））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，则角A的大小为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·贵州黔东南·一模（理））设a，b，c分别为 SKIPIF 1 < 0 内角A，B，C的对边．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2022·湖南省临澧县第一中学一模）在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
1．（2022·重庆八中模拟预测）在△ SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则△ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形
题型二：余弦定理
一、单选题
1．（2022·陕西商洛·二模（文）） SKIPIF 1 < 0 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
2．（2022·四川雅安·三模（文））在 SKIPIF 1 < 0 中，内角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·陕西咸阳·二模（文））在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．4
4．（2022·宁夏·吴忠中学三模（理））在 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．16B．9C．－9D．－16
5．（2022·北京昌平·二模）在△ SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 只需添加一个条件，即可使△ SKIPIF 1 < 0 存在且唯一.条件：① SKIPIF 1 < 0 ； ② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 中，所有可以选择的条件的序号为（ ）
A．①B．①②C．②③D．①②③
6．（2022·内蒙古包头·二模（文）） SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A．9B．6C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
7．（2022·陕西榆林·三模（理））△ SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若△ SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．10B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．（2022·全国·二模（理））△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则AB边上的高的最大值为（ ）
A．2B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
1．（2022·广东广州·三模）在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．下面四个结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的外接圆半径是4
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 一定是钝角三角形
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
三、解答题
1．（2022·北京市第十二中学三模） SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求角 SKIPIF 1 < 0 的大小；
(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求 SKIPIF 1 < 0 的面积.
条件①： SKIPIF 1 < 0 ；条件②： SKIPIF 1 < 0 ；条件③： SKIPIF 1 < 0 ；条件④： SKIPIF 1 < 0 .
题型三：三角形的面积公式
一、单选题
1．（2022·江西萍乡·三模（文））在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别为角 SKIPIF 1 < 0 的对边，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为2，则边长 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（2022·江西鹰潭·一模（理）） SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ，设D是 SKIPIF 1 < 0 边的中点，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A．2B．4C．-4D．-2
3．（2022·天津河西·三模）已知 SKIPIF 1 < 0 的内角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的对边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学一模（理））在 SKIPIF 1 < 0 中，角A，B，C所以对的边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或3
5．（2022·江西·南昌市实验中学一模（文））在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对应边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）.
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．（2022·宁夏银川·一模（理））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 SKIPIF 1 < 0 ，则△ABC面积的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、解答题
1．（2022·北京·潞河中学三模）在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
(1) SKIPIF 1 < 0 的值；
(2) SKIPIF 1 < 0 的面积.
条件①： SKIPIF 1 < 0 ；条件②： SKIPIF 1 < 0 .
题型四：解三角形的实际应用
一、单选题
1．（2022·青海西宁·一模（文））某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m和68m，它们的夹角是 SKIPIF 1 < 0 .已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费用为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 元B． SKIPIF 1 < 0 元C． SKIPIF 1 < 0 元D． SKIPIF 1 < 0 元
2．（2022·江西师大附中三模（理））滕王阁，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为 SKIPIF 1 < 0 ，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为 SKIPIF 1 < 0 ，则小明估算滕王阁的高度为（ ）（精确到 SKIPIF 1 < 0 ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（2022·江西师大附中三模（文））地处赣江东岸的腾王阁与岳阳楼､黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国古代四大名楼之一､“中国十大历史文化名楼”之一，世称“西江第一楼”.“云销雨霁，彩彻区明.落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色.渔舟唱晚，响穷彭蠡之滨；雁阵惊寒，声断衡阳之浦”是唐代文学家王勃对腾王阁的生动描写.某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进72米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若 SKIPIF 1 < 0 ，则楼高AB约为（ ）
A．58米B．68米C．78米D．88米
4．（2022·四川泸州·二模（理））如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000 SKIPIF 1 < 0 ，速度为50 SKIPIF 1 < 0 .某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为（ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）（ ）
A．7350 SKIPIF 1 < 0 B．2650 SKIPIF 1 < 0 C．3650 SKIPIF 1 < 0 D．4650 SKIPIF 1 < 0
二、多选题
5．（2022·福建·厦门双十中学模拟预测）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔 SKIPIF 1 < 0 (A为塔顶，B为塔底)的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得 SKIPIF 1 < 0 .测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有： SKIPIF 1 < 0 ，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔 SKIPIF 1 < 0 的高度的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
三、解答题
6．（2022·重庆八中模拟预测）如图：某公园改建一个三角形池塘， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （百米）， SKIPIF 1 < 0 （百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏．
(1)若在 SKIPIF 1 < 0 内部取一点P，建造APC连廊供游客观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求连廊 SKIPIF 1 < 0 的长（单位为百米）；
(2)若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建行连廊，使得 SKIPIF 1 < 0 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当 SKIPIF 1 < 0 为正三角形时，求 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值．
定理
正弦定理
余弦定理
内容
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccs_A；
b2＝c2＋a2－2cacs_B；
c2＝a2＋b2－2abcs_C
变形形式
a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝eq \f(a,sin A)
cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；
cs B＝eq \f(c2＋a2－b2,2ca)；
cs C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Aa≥b
a>b
解的个数
一解
两解
一解
一解
求AB
图形
需要测量的元素
解法
求竖直高度
底部可达
∠ACB＝α
BC＝a
解直角三角形AB＝atan α
底部不可达
∠ACB＝α
∠ADB＝β
CD＝a
解两个直角三角形AB＝
eq \f(atan αtan β,tan β－tan α)
求水平距离
山两侧
∠ACB＝α
AC＝b
BC＝a
用余弦定理AB＝eq \r(a2＋b2－2abcs α)
河两岸
∠ACB＝α
∠ABC＝β
CB＝a
用正弦定理
AB＝eq \f(asin α,sin（α＋β）)
河对岸
∠ADC＝α
∠BDC＝β
∠BCD＝δ
∠ACD＝γ
CD＝a
在△ADC中，
AC＝eq \f(asin α,sin（α＋γ）)
在△BDC中，
BC＝eq \f(asin β,sin（β＋δ）)
在△ABC中，应用余弦定理求AB