初中苏科版3.1 勾股定理习题

这是一份初中苏科版3.1 勾股定理习题，共45页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11833" 【题型1 求梯子滑落高度】 PAGEREF _Tc11833 \h 1
\l "_Tc12733" 【题型2 求旗杆高度】 PAGEREF _Tc12733 \h 6
\l "_Tc32411" 【题型3 求小鸟飞行距离】 PAGEREF _Tc32411 \h 9
\l "_Tc21489" 【题型4 求大树折断前的高度】 PAGEREF _Tc21489 \h 12
\l "_Tc6542" 【题型5 解一元一次不等式组】 PAGEREF _Tc6542 \h 16
\l "_Tc19332" 【题型6 解决水杯中筷子问题】 PAGEREF _Tc19332 \h 20
\l "_Tc29230" 【题型7 解决航海问题】 PAGEREF _Tc29230 \h 23
\l "_Tc14785" 【题型8 求河宽】 PAGEREF _Tc14785 \h 28
\l "_Tc7365" 【题型9 求台阶上地毯长度】 PAGEREF _Tc7365 \h 31
\l "_Tc16685" 【题型10 判断汽车是否超速】 PAGEREF _Tc16685 \h 34
\l "_Tc15245" 【题型11 选址使到两地距离相等】 PAGEREF _Tc15245 \h 37
\l "_Tc26074" 【题型12 求最短路径】 PAGEREF _Tc26074 \h 41
【题型1 求梯子滑落高度】
【例1】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB=CD=15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE=12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE=15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）
【答案】消防车从原处向着火的楼房靠近的距离AC为3m
【分析】在Rt△ABO中，根据勾股定理得到AO和OC，于是得到结论．
【详解】解：在Rt△ABO中, ∵ ∠AOB=90°，AB=15m，OB=12-3=9（m），
∴ AO=AB2-OB2=152-92=12（m），
在Rt△ABO中，∵ ∠COD=90°，CD=15m，OD=15-3=12（m），
∴ OC=CD2-OD2=152-122=9（m），
∴ AC=OA-OC=3（m），
答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离AC为3m．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·山西晋中·八年级统考期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为0.7米，顶端B距墙顶的距离AB为0.6米若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为1.5米，顶端E距墙项D的距离DE为1米，点A、B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：
(1)墙的高度；
(2)竹竿的长度．
【答案】(1)墙高3米
(2)竹竿的长2.5米
【分析】（1）设墙高x米，在RtΔBCO，RtΔEFO根据勾股定理即可表示出竹竿长度的平方 ，联立即可得到答案；
（2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案．
【详解】（1）解：设墙高x米，
∵AC⊥CF，DF⊥CF，
∴∠BCO=∠EFO=90° ，
在RtΔBCO，RtΔEFO根据勾股定理可得，
BO2=(x-0.6)2+0.72 ，OE2=(x-1)2+1.52，
∵BO=OE ，
∴(x-1)2+1.52=(x-0.6)2+0.72，
解得：x=3 ，
答：墙高3米；
（2）由（1得），
BO2=(x-0.6)2+0.72 ，x=3 ，
∴BO=(3-0.6)2+0.72=2.5
答：竹竿的长2.5米．
【点睛】本题考查勾股定理实际应用题，解题的关键时根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算．
【变式1-2】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C．
(1)若AB=6.5米，BC=2.5米．
①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？
②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）．
(2)若AC=BC，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小．
【答案】(1)①69-52米；②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由见解析
(2)不可能相等，顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离．
【分析】（1）先根据勾股定理可得AC=6米，①根据题意得：AA'=1m，可得到A'C=AC-AA'=5米，由勾股定理可得B'C的长，即可求解；②设从A处沿墙AC下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据勾股定理，列出方程，即可求解；
（2）设AC=BC=a，从A处沿墙AC下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则AB=A'B'=2a，根据勾股定理，列出方程，可得m-n=m2+n22a，即可求解．
【详解】（1）解：∠C=90°，AB=A'B'=6.5米，
∴AC=AB2-BC2=6米，
①根据题意得：AA'=1m，
∴A'C=AC-AA'=5米，
∴B'C=A'B'2-A'C2=692米，
∴BB'=B'C-BC=692-2.5=69-52米，
即点B将向外移动69-52米；
②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由如下：
设从A处沿墙AC下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据题意得：
6-x2+2.5+x2=6.52，
解得：x1=3.5,x2=0（舍去），
∴从A处沿墙AC下滑的距离为3.5米时，点B也向外移动的距离为3.5米，
即竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等；
（2）解：不可能相等，理由如下：
设AC=BC=a，从A处沿墙AC下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则AB=A'B'=2a，根据题意得：
a-m2+a+n2=2a2，
整理得：2am-n=m2+n2，
即m-n=m2+n22a，
∵a、m、n都为正数，
∴m-n=m2+n22a>0，即m>n．
∴顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式1-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，一直某种拉杆箱箱体长AB＝65cm，拉杆最大伸长距离BC＝35cm，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A处，点A到地面的距离AD＝3cm，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm到A′处，求拉杆把手C离地面的距离（假设C点的位置保持不变）．
【答案】拉杆把手C离地面的距离为63cm
【分析】过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，根据勾股定理即可得到方程652-x2=1002-（55+x）2，求得A'F的长，即可利用勾股定理得到CF的长，进而得出CE的长．
【详解】如图所示，过C作CE⊥DN于E，延长AA'交CE于F，则∠AFC＝90°，
设A'F＝x，则AF＝55+x，
由题可得，AC＝65+35＝100，A'C＝65，
∵Rt△A'CF中，CF2＝652﹣x2，
Rt△ACF中，CF2＝1002﹣（55+x）2，
∴652﹣x2＝1002﹣（55+x）2，
解得x＝25，
∴A'F＝25，
∴CF＝A'C2-A'F2＝60（cm），
又∵EF＝AD＝3（cm），
∴CE＝60+3＝63（cm），
∴拉杆把手C离地面的距离为63cm．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．
【题型2 求旗杆高度】
【例2】（2023春·山西临汾·八年级统考期末）同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．
【答案】12.5米
【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB-1)2+52，求出AB的长即可．
【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：
由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，
∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，
在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：
AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，
即AC2=AB2+12，AE2=(AB-1)2+52，
又∵AC=AE，
∴AB2+12=(AB-1)2+52，
解得：AB=12.5．
答：学校旗杆的高度为12.5米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12=(AB-1)2+52．
【变式2-1】（2023春·江西景德镇·八年级统考期中）2021年是中国共产党建党100周年，大街小巷挂满了彩旗．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图（单位：cm）．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在地面上．旗杆从旗顶到地面的高度为240cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．
【答案】90cm
【分析】首先观察题目，作辅助线构造一个直角三角形，如图，连接DE；已知彩旗为长方形，由题意可知，无风的天气里，彩旗自然下垂时，彩旗最低处到旗杆顶部的长度正好是长方形彩旗完全展开时的对角线的长度，根据勾股定理可求出它的长度；然后用旗杆顶部到地面高度减去这个数值，即可求得答案．
【详解】彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，
在Rt△DEF中，根据勾股定理，得
DE＝DF2+EF2＝1202+902＝150．
h＝240－150＝90(cm)．
∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为90 cm．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，此类题的难点在于正确理解题意，结合实际运用勾股定理．
【变式2-2】（2023春·八年级课时练习）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明身高1.7米．
(1)求风筝的高度CE．
(2)过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度．
【答案】(1)风筝的高度CE为21.7米
(2)BH的长度为9米
【分析】（1）在Rt△CDB中由勾股定理求得CD的长，再加上DE即可；
（2）利用等积法求出DH的长，再在Rt△BHD中由勾股定理即可求得BH的长．
【详解】（1）在Rt△CDB中，由勾股定理，得：
CD=C2-BD2=252-152=20（米），
所以CE=CD+DE=20+1.7=21.7（米），
答：风筝的高度CE为21.7米．
（2）由等积法知：12BD×DC=12BC×DH，
解得：DH=15×2025=12（米）．
在Rt△BHD中，BH=BD2-DH2=9（米），
答：BH的长度为9米．
【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理是关键，注意计算准确．
【变式2-3】（2023春·山西吕梁·八年级统考期中）如图，一根直立的旗杆高8米，一阵大风吹过，旗杆从点C处折断，顶部（B）着地，离旗杆底部（A）4米，工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25米D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
【答案】6
【分析】先根据勾股定理求得AC，进而求得AD，根据勾股定理即可求得范围．
【详解】由题意可知AC+BC=8,AB=4，
则AC2+AB2=BC2，
即AC2+42=(8-AC)2，
解得AC=3，
若下次大风将旗杆从D处吹断，如图，
∴AD=AC-1.25=3-1.25=1.75，
∴BD=AB-AD=8-1.75=6.25，
AB=BD2-AD2=6.252-1.752=6．
∴则距离旗杆底部周围6米范围内有被砸伤的危险．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
【题型3 求小鸟飞行距离】
【例3】（2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C点的距离．
【答案】17米
【分析】已知AB和AC的长度，根据勾股定理即可求出BC的长度，小鸟下降12米，则BD=AB-12，根据勾股定理即可求出CD的长度．
【详解】解：由勾股定理得；BC2=AC2-AB2=252-202=225，
∴BC=15（米），
∵BD=AB-AD=20-12=8（米），
∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=DB2+BC2=82+152=17，
∴此时小鸟到地面C点的距离17米．
答； 此时小鸟到地面C点的距离为17米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理的内容是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·八年级课时练习）有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（ ）米．
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】此题可以过低树的一端向高树引垂线．则构造了一个直角三角形：其斜边是小鸟飞的路程，一条直角边是4，另一条直角边是两树相差的高度3．根据勾股定理得：小鸟飞了5米．
【详解】解：如图所示，
AB＝6m，CD＝3m，BC＝4m，过D作DE⊥AB于E，
则DE＝BC＝4m，BE＝CD＝3m，AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3m，
在Rt△ADE中，AD＝5m．
故选：C．
【点睛】能够正确理解题意，准确画出图形，熟练运用勾股定理即可．
【变式3-2】（2023春·山东枣庄·八年级统考期中）有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？
【答案】它至少需要5.2s才能赶回巢中．
【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答．
【详解】解：如图，由题意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．
过A作AE⊥CD于E．则CE=13-3=10，AE=24，
∴在Rt△AEC中，
AC2=CE2+AE2=102+242．
∴AC=26，26÷5=5.2（s）．
答：它至少需要5.2s才能赶回巢中．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程÷速度．
【变式3-3】（2023春·贵州贵阳·八年级校考期中）假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝，按照探宝图，他们从A点登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？
【答案】10千米
【分析】通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度．根据题意构造直角三角形，利用勾股定理求解．
【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D．
根据题意可知，AD=8﹣3+1=6，BD=2+6=8，
在Rt△ABD中，
∴AB=AD2+BD2=62+82=10．
答：登陆点A到宝藏处B的距离为10千米．
【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．读懂题意，根据题意找到需要的等量关系，与勾股定理结合求线段的长度是解题的关键．
【题型4 求大树折断前的高度】
【例4】（2023春·八年级课时练习）如图，在倾斜角为45°（即∠NMP=45°）的山坡MN上有一棵树AB，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树CD的根部C处，已知AE=1m， AC=18m．
(1)求这两棵树的水平距离CF；
(2)求树AB的高度．
【答案】(1)3m
(2)6m
【分析】（1）根据平行的性质，证得AF=CF，根据勾股定理即可求得．
（2）在Rt△CEF中，根据勾股定理即可解得．
【详解】（1）由题可知MP∥CF，∠F=90°
∴∠ACF=∠NMP=45°，
∴AF=CF
在Rt△ACF中，
CF2+AF2=AC2，
∴2CF2=18，
∴AF=CF=3（m）．
即这两棵树的水平距离为3m．
（2）在Rt△CEF中，
CE2=CF2+EF2
∴CE=32+42=5，
∴AB=AE+CE=5+1=6（m）．
即树AB的高度为6m．
【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的实际应用．
【变式4-1】（2023春·广东云浮·八年级统考期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（ ）

A．10mB．15mC．18mD．20m
【答案】C
【分析】如图，勾股定理求出AC的长，利用AC+BC求解即可．
【详解】解：如图，由题意，得：BC=5,AB=12，BC⊥AB，

∴AC=AB2+BC2=13，
∴这棵大树在折断前的高度为13+5=18m；
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【变式4-2】（2023春·山西阳泉·八年级统考期末）我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即P'C=10尺，秋千踏板离地的距离P'B和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为 ．
【答案】（x+1﹣5）2+102＝x2．
【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论．
【详解】解：由题意知：
OP'＝x，OC＝x+1﹣5，P'C＝10，
在Rt△OCP'中，由勾股定理得：
（x+1﹣5）2+102＝x2．
故答案为：（x+1﹣5）2+102＝x2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和列方程，读懂题意是解题的关键．
【变式4-3】（2023春·广东珠海·八年级校考期中）如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m.
（1）求旗杆距地面多高处折断；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
【答案】（1）旗杆距地面3m处折断；（2）距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．
【分析】（1）由题意可知：AC+BC=8米，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因为AB=4米，即可求得AC的长；（2）易求D点距地面3-1.25=1.75米，BD=8-1.75=6.25米，再根据勾股定理可以求得AB=6米，所以6米内有危险．
【详解】（1）由题意可知：AC+BC=8米，
∵∠A=90°，
∴AB2+AC2=BC2，
又∵AB=4米，
∴AC=3米，BC=5米，
∴旗杆距地面3m处折断；
（2）如图，
∵D点距地面AD=3-1.25=1.75米，
∴BD=8-1.75=6.25米，
∴AB=BD2-AD2=6米，
∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
【题型5 判断是否受台风影响】
【例5】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为 秒．
【答案】9
【分析】过点A作AC⊥MN，求出最短距离AC的长度，然后在MN上取点B，D，使得AB=AD=150米，根据勾股定理得出BC，CD的长度，即可求出BD的长度，然后计算出时间即可．
【详解】解：过点A作AC⊥MN，
∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=12OA=120米，
在MN上取点B，D，使得AB=AD=150米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，
∵AB=150米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=AB2-AC2=1502-1202=90米，CD=AD2-AC2=1502-1202=90米，即BD=180米，
∵ 72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：180÷20=9秒．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度．
【变式5-1】（2023春·陕西西安·八年级统考期中）为了鼓励大家积极接种新冠疫苗，某区镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄到公路MN的距离为300m，宣讲车P周围500m以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿MN方向行驶．
(1)村庄能否听到广播宣传？请说明理由．
(2)已知宣讲车的速度是50m/min，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间？
【答案】(1)能，理由见解析
(2)16
【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为300米