初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理3.1 勾股定理练习

这是一份初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理3.1 勾股定理练习，共42页。
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对勾股定理与最短路径问题的七大类型的理解！
【类型1 平面图形上的“捷径”问题】
1．（2023春·安徽合肥·八年级期末）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从A处快速到达图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6B．8C．10D．11
【答案】A
【分析】利用勾股定理求出AC，即可得出答案．
【详解】在RtΔABC中，由勾股定理得，
AC=AB2-BC2=172-82=15（米)，
∴AC+BC-AB=15+8-17=6（米)，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．．

【答案】4
【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，与直角边进行比较即可求得结果．
【详解】解：依据题意可得：∠C=90°，AC=3m，BC=4m，
∴AB=AC2+BC2=32+42=5m，
∴少走了3+4-5=2m，
∵2步为1米，
∴2×2=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，会用勾股定理解决问题是解题的关键．
3．（2023春·八年级单元测试）如图，有两条互相垂直的街道a和b ，a路上有一小商店A,b路上有一批发部B ．小商店主人每次进货都沿着 A—O—B路线到达 B处，然后原路返回．已A,B两处距十字 路口 O的距离分别为 600 米、800 米，如果小商店主人重新选一条最近的路线，那么往返一趟最多可比原来少走 米．
【答案】800
【分析】连接AB，由勾股定理解得AB=1000，根据两点之间线段最短，可知最近的路线是从A直接到B，往返一趟需要走2000米，再求出原来走的路线往返一趟需要走2800米，据此求出差即可解答．
【详解】解：连接AB，
∵∠AOB=90°，
∴AB=OA2+OB2=6002+8002=1000，
根据两点之间线段最短，可知最近的路线是从A直接到B，往返一趟需要走1000×2=2000米，
原来走的路线往返一趟需要走2×（600+800）=2800米，
最近路线比原来路线少走2800-2000=800米，
故答案为：800．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出AB的长是解题的关键．
4．（2023春·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，AD=8m．技术人员通过测量确定了∠ABC=90°．

(1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
(2)这片绿地的面积是多少？
【答案】(1)6m
(2)114m2
【分析】（1）连接AC，利用勾股定理求出AC=AB2+BC2=92+122=15m，问题随之得解；
（2）先利用勾股定理逆定理证明△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，再根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）如图，连接AC，

∵∠ABC=90°，AB=9m，BC=12m，
∴AC=AB2+BC2=92+122=15m，
∴AB+BC-AC=9+12-15=6（m），
答：居民从点A到点C将少走6m路程．
（2）∵CD=17m，AD=8m．AC=15m，
∴AD2+AC2=DC2，
∴△ADC是直角三角形，∠DAC=90°，
∴S△DAC=12AD⋅AC=12×8×15=60（m2）， S△ACB=12AB⋅AC=12×9×12=54（m2），
∴S四边形ABCD=60+54=114（m2），
答：这片绿地的面积是114m2．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．
5．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，某学校进大门是一直角通道（A→B→C），为方便学生进入教学楼，学校打开了操场绿色通道（A→C）进行分流，学生可以走“捷径AC”直接到达教学楼，若AB＝80米，BC＝60米，则走“捷径AC”可以少走多少米？
【答案】走“捷径AC”可以少走40米．
【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵AB=80米，BC=60米，
∴AC=AB2+BC2=802+602=100（米)，
AB+BC-AC=60+80-100=40（米)，
答：走“捷径AC”可以少走40米．
【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是理解题意求出AC的长．
【类型2 平面图形上的“饮水”问题】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB2=120．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（ ）
A．6 B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可．过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，则A'B为所求，最后利用勾股定理可求得其值．
【详解】解：如图，过A作直线a的垂线，并在此垂线上取点A′，使得AA′＝4，连接A′B，与直线b交于点N，过N作直线a的垂线，交直线a于点M，连接AM，过点B作BE⊥AA′，交射线AA′于点E，
∵AA′⊥a，MN⊥a，
∴AA′∥MN．
又∵AA′＝MN＝4，
∴四边形AA′NM是平行四边形，
∴AM＝A′N．
由于AM+MN+NB要最小，且MN固定为4，所以AM+NB最小．
由两点之间线段最短，可知AM+NB的最小值为A′B．
∵AE＝2+3+4＝9，AB2=120，
∴BE2=AB2-AE2=39．
∵A′E＝AE﹣AA′＝9﹣4＝5，
∴A′B=A'E2+BE2=8．
所以AM+NB的最小值为8．
故答案为：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，平行四边形的判定和性质、两点间距离最短等知识点，解答本题的关键是找到点M、点N的位置是解答本题的关键．
2．（2023春·河南许昌·八年级校考期末）如图，一个牧童在小河正南方向4km的A处牧马，若牧童从A点向南继续前行7km到达点C．则此时牧童的家位于C点正东方向8km的B处．牧童打算先把在A点吃草的马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请先在图上作出最短路径，再进行计算．
【答案】画图见详解，牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km．
【分析】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD．根据题意可知：牧童的行走路线为AF+BF，根据A点关于河岸l的对称点为D，可得AF+BF=DF+BF，即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，根据题意可得AD=4×2=8（km），DC=AD+AC=8+7=15（km），利用勾股定理即可求出BD．
【详解】作图：先取A点关于河岸l的对称点D，连接BD交直线l于点F，连接AF，即最短路径为：BD，如图：
∵牧童先由A点去河边，再从河边直接返回家中，
∴牧童的行走路线为AF+BF，
∵A点关于河岸l的对称点为D，
∴AF=DF，
∴AF+BF=DF+BF，
即根据两点之间线段最短，可知当点D、F、B三点共线时，路径最短，且最短路径为BD，
∵A点距离河岸l为4km，
∴AD=4×2=8（km），
∵AC=7km，
∴DC=AD+AC=8+7=15（km），
根据题意可知∠C=90°，BC=8km，
∴△BCD是直角三角形，
∴BD=DC2+BC2=152+82=17，
答：牧童选择如图所示的AF+FB的回家路线时，所走的路程最短，最短路程为17km．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确作出图形，找到最短回家路线是解答本题的关键．
3．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米.现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水（水管需直接到A、B村）.
(1)水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短（请你在图中设计出水厂的位置）：
(2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？
【答案】(1)见解析
(2)100000元
【分析】（1）属于“将军饮马”类型的题目，作点A的对称点E，连接BE，与CD的交点的位置就是修建水厂的位置
（2）先作出直角三角形，再利用勾股定理即可
【详解】（1）如图，作点A的对称点E，连接BE，交CD于点P，点P的位置就是修建水厂的位置
（2）如图，过点E，作BD的垂线EF，交BD的延长线于点F
AP+PB=FP+PB=FB=EF2+BF2=32+42=5
20000×5=100000元
答：最节省的铺设水管的费用为100000元
【点睛】本题考查“将军饮马”类型题的作图，以及勾股定理，准确作图是解题的关键
4．（2023春·江苏南京·八年级南京第五初中校考阶段练习）“数学建模”：
(1)模型——小马喝水问题：直线MN表示一条河流的岸，在河流同侧有A、B两地，小马从A地出发到B地，中间要在河边饮水一次，请在图①中用三角板作出使小马行走最短路程的饮水点P的位置．（保留作图痕迹）
(2)运用——和最小问题：如图②，长方形ABCD，E是BC的中点，AB=4，BC=43，P是对角线BD上的一个动点，求PC＋PE的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)PE+PC的最小值为6．
【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A'．连接A'B交直线l于点P，则点P即为所求点；
（2）作E关于BD的对称点E'，连接CE'，则PE+PC的最小值即为CE'的长；由已知可求△ EBE'是等边三角形；过点E'作E'G⊥BC，再利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求点；
；
（2）解：作E关于BD的对称点E'，连接CE'，
则BE'=BE，∠EBD=∠E'BD，
则PE+PC的最小值即为CE'的长；
∵AB=CD=4，BC=43，
∴BD=42+(43)2=8，
∴BD=2CD，E为BC的中点，
∴∠DBC=30°，
∴∠EBE'=60°，
∴△ EBE'是等边三角形，且EB=BE'=EE'=23，
过点E'作E'G⊥BC，
∴BG=GE=3，
在Rt△ E'BG中，E'G=(23)2-(3)2=3，
在Rt△ CE'G中，CG=43-3=33，
∴CE'=(33)2+32=6；
∴PE+PC的最小值为6．
【点睛】本题考查矩形的性质，轴对称求最短距离，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理；通过轴对称将PE+PC转化为线段CE'的长是解（2）题的关键．
5．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，已知AC=200米，BD=600米，且CD=600米．
(1)牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？
(2)所走最短路程是多少？
【答案】(1)见解析；
(2)1000米．
【分析】（1）根据题意作点A关于直线CD的对称点A1，连接A1B交CD于点E，所以在点E所在的位置饮水，所走的路程最短
（2）最短路程可构建直角三角形求得
【详解】（1）如图所示：作点A关于直线CD的对称点A1，连接A1B交CD于点E，
∴牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家，在点E处饮水，所走路程最短，最短路程是AE+BE=A1E+BE=A1B
在CD上任取一点F（不与点E重合），连接AE，AF，A1F，BF，
如果在点F处饮水，则走的路程为AF+BF=A1F+BF
下面证明在点E处饮水，所走路程最短
∵AE=A1E，AF=A1F
∴AE+BE=A1E+BE=A1B，AF+BF=A1F+BF
在△A1BF中，A1F+BF>A1B，
∴在点E所在的位置饮水，所走的路程最短
（2）如图：过点D作BD的延长线DA2，使得DA2=CA1=200米，则△A1BA2是直角三角形，
∵A1A2=CD=600，BA2=BD+DA2=600+200=800
∴AE+BE=A1B=A1A22+BA22=6002+8002=1000
∴所走最短路程是1000米
【点睛】本题考查了最短路径问题，这类问题的解答依据是：两点之间线段最短，可以利用对称性的特点，通过等线代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离
6．（2023春·全国·八年级专题练习）在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．
证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C'，连结AC',BC',B'C'，
∵点B，B'关于直线l对称，点C，C'在l上，
∴CB=_________，C'B= _________，∴AC+CB=AC+CB'=_________．
在△AC'B'中，∵AB'l2，最短路径的长是l2=74．
故选A．
【点睛】此题主要考查了长方体展开图的对角线长度求法，这种题型经常在中考中出现，也是易错题型，希望能引起同学们的注意．
4．（2023春·全国·八年级期末）如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（ ）
A．12B．15C．18D．21
【答案】B
【分析】把长方体沿AB边剪开，再根据勾股定理计算即可．
【详解】如图所示，连接AB'，则AB'即为所求的最短长度，
AA'=4+2+4+2=12，AB=A'B'=9
在Rt△AA'B'中，AB'=AA'2+A'B'2=122+92=15
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，把长方体沿AB边剪开得到矩形AA'B'B是解题的关键．
5．（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图所示的长方体，AB=BC=2，BD=1，点F是DE的中点，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面爬到点F，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．
【答案】22
【分析】按照不同的展开图计算，比较确定答案即可．
【详解】如图，得到如下展开图：
取GH的中点M，连接FM，
则四边形GDFM是矩形，
此时，AG=GM=1,FM=GD=AB=2
所以AF=AM2+FM2=22+22=22；
取BC的中点N，连接FN，
则四边形BDFN是矩形，
此时，AG=FN=1,AN=2+1=3
所以AF=AN2+FN2=12+32=10；
因为10＞8=22，
所以最短距离为22．
故答案为：22．
【点睛】本题考查了几何体展开图上的最短距离计算，正确把握展开图是解题的关键．
6．（2015秋·江苏苏州·八年级统考期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)
【答案】（1）BG＝5 dm；（2）答案见解析过程．
【分析】（1）直接根据勾股定理可得出BG的长；
（2）将正方体展开，联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考查特殊点等方法，化曲为直．
【详解】解：（1）如图，连接BG．
在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝BC2+GC2＝42+32＝5（dm），
即线段BG的长度为5dm；

（2）①把ADEH展开，如图此时总路程为(3+3+5)2+42＝137
②把ABEF展开，如图
此时的总路程为(3+3+4)2+52＝125＝55
③如图所示，把BCFGF展开，
此时的总路程为(3+3)2+(5+4)2＝117
由于117＜125