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初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理课时练习
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这是一份初中数学苏科版八年级上册3.1 勾股定理课时练习，共13页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc6731" 【题型1 勾股数的运用】 PAGEREF _Tc6731 \h 1
\l "_Tc9474" 【题型2 勾股树的探究】 PAGEREF _Tc9474 \h 2
\l "_Tc14186" 【题型3 由勾股定理在坐标系中求距离】 PAGEREF _Tc14186 \h 3
\l "_Tc1653" 【题型4 由勾股定理探究图形面积】 PAGEREF _Tc1653 \h 5
\l "_Tc27833" 【题型5 由勾股定理求线段长度】 PAGEREF _Tc27833 \h 6
\l "_Tc19760" 【题型6 由勾股定理证明线段之间的关系】 PAGEREF _Tc19760 \h 8
\l "_Tc2484" 【题型7 勾股定理中的规律探究】 PAGEREF _Tc2484 \h 9
\l "_Tc13147" 【题型8 由勾股定理求最值】 PAGEREF _Tc13147 \h 11
【题型1 勾股数的运用】
【例1】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）（ ）
A．m2-1B．2m+2C．m2+1D．2m+3
【变式1-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）下列各组a，b，c是勾股数的是（ ）
A．a=30，b=40，c=50 B． a=1，b=1，c= 2
C．a=3，b=4，c＝5D．a=7，b=14，c=15
【变式1-2】（2023春·广西河池·八年级统考期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且32+42=52，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律；
(1)当a=11时，求b，c的值
(2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
【变式1-3】（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数c能表示为两个正整数a，b的平方和，即c=a2+b2，那么称a，b，c为一组广义勾股数，c为广义斜边数，则下面的结论：①m为正整数，则3m，4m，5m为一组勾股数；②1，2，3是一组广义勾股数；③13是广义斜边数；④两个广义斜边数的和是广义斜边数；⑤若a=2k2+2k,b=1+2k,c=2k2+2k+1，其中k为正整数，则a，b，c为一组勾股数；⑥两个广义斜边数的积是广义斜边数．依次正确的是（ ）
A．①②③B．①②④⑤C．③④⑤D．①③⑤
【题型2 勾股树的探究】
【例2】（2023春·全国·八年级期中）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（ ）
A．31B．63C．65D．67
【变式2-1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是 ．
【变式2-2】（2023春·湖南长沙·八年级长郡中学校考期末）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn．
设第一个正方形的边长为1．
请解答下列问题：
（1）S1= ．
（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn= ．
【变式2-3】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形（如图1），三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ．
【题型3 由勾股定理在坐标系中求距离】
【例3】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）如图，点P是平面坐标系内一点，则点P到原点的距离是（ ）
A．3B．2C．22D．7
【变式3-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）在平面直面坐标系中有两点A3,0和B0,4，则这两点之间的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．7
【变式3-2】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）【复习旧知】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：数轴上表示4和1的两点之间的距离是3：而|4-1|=3；表示－3和2两点之间的距离是5：而|-3-2|=5；表示-4和-7两点之间的距离是3，而|-4-(-7)|=3，一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为|m-n|．
（1）数轴上表示数-5的点与表示-2的点之间的距离为___；
【探索新知】如图1，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．下面我们以求DE为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：D(-7,5)，E(4,-3)，所以DF=5--3=8，EF=4--7=11，所以由勾殿定理可得：DE=82+112=185．
（2）在图2中：设Ax1,y1,Bx2,y2，试用x1,y1,x2,y2表示AB的长：AB=___．
得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”；
【学以致用】请用此公式解决如下问题：
（3）如图3，已知：A(2,1)，B(4,3)，C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标．
【变式3-3】（2023春·湖南·八年级期末）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点Ax1,0、Bx2,0的距离记作AB=x1-x2，如果Ax1,y1、Bx2,y2是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1、N1、M2、N2，直线AN1交BM2于点Q，在Rt△ABQ中，AQ=x1-x2，BQ=y1-y2，∴AB2=AQ2+BQ2=x1-x22+y1-y22=x1-x22+y1-y22．
(1)由此得到平面直角坐标系内任意两点Ax1,y1、Bx2,y2间的距离公式为：AB= ______．
(2)直接应用平面内两点间距离公式计算点A(1,-3)，B(-2,1)之间的距离为______．
利用上面公式解决下列问题：
(3)在平面直角坐标系中的两点A(0,3)，B(4,1)，P为x轴上任一点，求PA+PB的最小值和此时点P的坐标；
(4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式x2+y-22+x-32+y-12的最小值（直接写出答案）．
【题型4 由勾股定理探究图形面积】
【例4】（2023春·河南新乡·八年级河南师大附中校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCD．记△ACE的面积是S1，△BCD的面积是S2，则S1+S2=（ ）
A．16B．32C．48D．64
【变式4-1】（2023春·吉林四平·八年级统考期末）如果一个三角形，三条边的长度之比为3:4:5，且周长为48cm，那么这个三角形的面积是（ ）
A．48cm2B．96cm2C．192cm2D．220cm2
【变式4-2】（2023春·广西南宁·八年级校联考期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．
(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为a+b2，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ，结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为： ，结论③；
(2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式 ；结合结论②和结论③，可以得到一个等式 ；
(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作S1、S2、S3，且S1+S2+S3=20，求S2的值．
(4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边a=5，b=12，斜边c=13，求图中阴影部分面积和．
【变式4-3】（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）在△ABC中，AB=10，BC= 27，∠A=30°，则△ABC的面积是 ．
【题型5 由勾股定理求线段长度】
【例5】（2023春·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）如图，△ABC的周长为4+25，其中AB=4，BC=5-3．
(1)AC=______；
(2)判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由．
(3)过点A作AE⊥AB，AE=22，在AB上取一点D，使得DB=DE，求AD的长度．
【变式5-1】（2023春·山西太原·八年级校联考期中）如图，∠ACB=∠BDC=90°，且AB=13，AC=12，BD=4，则DC的长度为（ ）
A．3B．8C．4D．9
【变式5-2】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，线段AB，AC的垂直平分线交于点O，则OA的长度为 ．
【变式5-3】（2023春·重庆合川·八年级统考期末）如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=29，D是AC上一点，连接BD，BD＝5，CD＝2．
(1)求证：ΔBDC是直角三角形；
(2)求AB边的长度．
【题型6 由勾股定理证明线段之间的关系】
【例6】（2023春·四川成都·八年级校联考期中）已知△ABC是等边三角形．
(1)如图1，△BDE也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：AD=CE；
(2)如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC=30°，请证明结论DA2=DC2+DB2；
(3)如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13，DB=52，DC=7．试求∠BDC的度数．
【变式6-1】（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且A4,0，点B在y轴上，且B0,4．
(1)求线段AB的长；
(2)若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE=OF，求AE+AF的值；
(3)在（2）的条件下，过点O作OM⊥EF，交AB于点M，试证明：AM2+BE2=EM2
【变式6-2】（2023春·河南鹤壁·八年级统考期末）亲爱的同学们，在全等三角形中，我们见识了很多线段关系的论证题，下面请你用本阶段所学知识，分别完成下列题目．
(1)如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE；
(2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．容易证明△ACD≌△BCE，则：
①∠AEB的度数为______；
②直接写出AE、BE、CM之间的数量关系．
(3)如图3，△ABC中，若∠A=90°，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F，求证：BE2+CF2=EF2．
【变式6-3】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴正半轴上一点，AO=a，BO=b，CO=c,且a、b、c满足a=a-b+b-a+c有意义．
(1)若c=3，求AB=__________________；
(2)如图1，点P在x轴上（点P在点A左边），以PB为直角边在PB的上方作等腰直角三角形PDB，求证：PA2+PC2=PD2；
(3)如图2，点M为AB中点，点E为射线OA上一点，点F为射线BO上一点，且∠EMF=90°，设AE=m，BF=n，请求出EF的长度（用含m、n的代数式表示）．
【题型7 勾股定理中的规律探究】
【例7】（2023春·四川眉山·八年级统考期末）如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1=1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为 ．
【变式7-1】（2023春·云南昆明·八年级统考期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．67B．34C．98D．73
【变式7-2】（2023春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形组成的，图中的OA1=A1A2=A2A3=⋯=A7A8=1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，⋯，OA10中，长度为整数的线段有 条．
【变式7-3】（2023春·江西南昌·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2023的坐标是（ ）
A．2022,0B．2022,-3C．2023,3D．2023,-3
【题型8 由勾股定理求最值】
【例8】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）如图，已知∠MON=60∘，点P,Q为∠MON内的两个动点，且∠POQ=30∘，OP=3，OQ=4，点A,B分别是OM,ON上的动点，则PA+AB+BQ的最小值是（ ）
A．5B．7C．8D．10
【变式8-1】（2023春·贵州贵阳·八年级统考期中）如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰长分别为4和2，其中∠BAC=∠DAE=90°，M为边DE的中点．若等腰Rt△ADE绕点A旋转，则点B到点M的距离的最大值为 ．
【变式8-2】（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为6，线段EF在边BC上左右滑动，若EF=1，则AE+DF的最小值为 ．
【变式8-3】（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=22，点D在AC上，将△ABD沿BD折叠，点A落在点A1处，A1B与AC相交于点E，则A1E的最大值为 ．
3，4，5；
9，40，41；
5，12，13；
……；
7，24，25；
a，b，c．
a
b
c
3
4
5
8
6
10
15
8
17
24
10
26
…
…
…
x
14
y
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc6731" 【题型1 勾股数的运用】 PAGEREF _Tc6731 \h 1
\l "_Tc9474" 【题型2 勾股树的探究】 PAGEREF _Tc9474 \h 2
\l "_Tc14186" 【题型3 由勾股定理在坐标系中求距离】 PAGEREF _Tc14186 \h 3
\l "_Tc1653" 【题型4 由勾股定理探究图形面积】 PAGEREF _Tc1653 \h 5
\l "_Tc27833" 【题型5 由勾股定理求线段长度】 PAGEREF _Tc27833 \h 6
\l "_Tc19760" 【题型6 由勾股定理证明线段之间的关系】 PAGEREF _Tc19760 \h 8
\l "_Tc2484" 【题型7 勾股定理中的规律探究】 PAGEREF _Tc2484 \h 9
\l "_Tc13147" 【题型8 由勾股定理求最值】 PAGEREF _Tc13147 \h 11
【题型1 勾股数的运用】
【例1】（2023春·江苏南通·八年级统考期末）勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）（ ）
A．m2-1B．2m+2C．m2+1D．2m+3
【变式1-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）下列各组a，b，c是勾股数的是（ ）
A．a=30，b=40，c=50 B． a=1，b=1，c= 2
C．a=3，b=4，c＝5D．a=7，b=14，c=15
【变式1-2】（2023春·广西河池·八年级统考期末）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个数为勾股数，如：3，4，5都是正整数，且32+42=52，所以3，4，5是勾股数．观察下列各勾股数有哪些规律；
(1)当a=11时，求b，c的值
(2)判断10，24，26是否为一组勾股数？若是，请说明理由．
【变式1-3】（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）我们知道，如果直角三角形的三边的长都是正整数，这样的三个正整数就叫做一组勾股数．如果一个正整数c能表示为两个正整数a，b的平方和，即c=a2+b2，那么称a，b，c为一组广义勾股数，c为广义斜边数，则下面的结论：①m为正整数，则3m，4m，5m为一组勾股数；②1，2，3是一组广义勾股数；③13是广义斜边数；④两个广义斜边数的和是广义斜边数；⑤若a=2k2+2k,b=1+2k,c=2k2+2k+1，其中k为正整数，则a，b，c为一组勾股数；⑥两个广义斜边数的积是广义斜边数．依次正确的是（ ）
A．①②③B．①②④⑤C．③④⑤D．①③⑤
【题型2 勾股树的探究】
【例2】（2023春·全国·八年级期中）“勾股树”是以正方形－边为斜边向外作直角三角形 ，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这－过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似－－棵树而得名．假设下图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树中正方形的个数为（ ）
A．31B．63C．65D．67
【变式2-1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末）如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为②．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的面积是 ．
【变式2-2】（2023春·湖南长沙·八年级长郡中学校考期末）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S1，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S2，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为Sn．
设第一个正方形的边长为1．
请解答下列问题：
（1）S1= ．
（2）通过探究，用含n的代数式表示Sn，则Sn= ．
【变式2-3】（2023春·山东烟台·八年级统考期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形（如图1），三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图2），如果按此规律继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是 ．
【题型3 由勾股定理在坐标系中求距离】
【例3】（2023春·安徽安庆·八年级统考期中）如图，点P是平面坐标系内一点，则点P到原点的距离是（ ）
A．3B．2C．22D．7
【变式3-1】（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）在平面直面坐标系中有两点A3,0和B0,4，则这两点之间的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．7
【变式3-2】（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）【复习旧知】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：数轴上表示4和1的两点之间的距离是3：而|4-1|=3；表示－3和2两点之间的距离是5：而|-3-2|=5；表示-4和-7两点之间的距离是3，而|-4-(-7)|=3，一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离公式为|m-n|．
（1）数轴上表示数-5的点与表示-2的点之间的距离为___；
【探索新知】如图1，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB或DE的长度，显然是化为求Rt△ABC或Rt△DEF的斜边长．下面我们以求DE为例来说明如何解决：
从坐标系中发现：D(-7,5)，E(4,-3)，所以DF=5--3=8，EF=4--7=11，所以由勾殿定理可得：DE=82+112=185．
（2）在图2中：设Ax1,y1,Bx2,y2，试用x1,y1,x2,y2表示AB的长：AB=___．
得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”；
【学以致用】请用此公式解决如下问题：
（3）如图3，已知：A(2,1)，B(4,3)，C为坐标轴上的点，且使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形．请求出C点的坐标．
【变式3-3】（2023春·湖南·八年级期末）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点Ax1,0、Bx2,0的距离记作AB=x1-x2，如果Ax1,y1、Bx2,y2是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求AB间的距离．如下左图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线AM1、AN1和BM2、BN2，垂足分别是M1、N1、M2、N2，直线AN1交BM2于点Q，在Rt△ABQ中，AQ=x1-x2，BQ=y1-y2，∴AB2=AQ2+BQ2=x1-x22+y1-y22=x1-x22+y1-y22．
(1)由此得到平面直角坐标系内任意两点Ax1,y1、Bx2,y2间的距离公式为：AB= ______．
(2)直接应用平面内两点间距离公式计算点A(1,-3)，B(-2,1)之间的距离为______．
利用上面公式解决下列问题：
(3)在平面直角坐标系中的两点A(0,3)，B(4,1)，P为x轴上任一点，求PA+PB的最小值和此时点P的坐标；
(4)应用平面内两点间的距离公式，求代数式x2+y-22+x-32+y-12的最小值（直接写出答案）．
【题型4 由勾股定理探究图形面积】
【例4】（2023春·河南新乡·八年级河南师大附中校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=8，若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCD．记△ACE的面积是S1，△BCD的面积是S2，则S1+S2=（ ）
A．16B．32C．48D．64
【变式4-1】（2023春·吉林四平·八年级统考期末）如果一个三角形，三条边的长度之比为3:4:5，且周长为48cm，那么这个三角形的面积是（ ）
A．48cm2B．96cm2C．192cm2D．220cm2
【变式4-2】（2023春·广西南宁·八年级校联考期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为a和b的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为c的正方形）．
(1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为a+b2，结论①；图2中的大正方形的面积又可以用含字母a、b的代数式表示为： ，结论②；图3中的大正方形的面积又可以用含字母a、b、c的代数式表示为： ，结论③；
(2)思考：结合结论①和结论②，可以得到一个等式 ；结合结论②和结论③，可以得到一个等式 ；
(3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作S1、S2、S3，且S1+S2+S3=20，求S2的值．
(4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边a=5，b=12，斜边c=13，求图中阴影部分面积和．
【变式4-3】（2023春·湖南衡阳·八年级校考期中）在△ABC中，AB=10，BC= 27，∠A=30°，则△ABC的面积是 ．
【题型5 由勾股定理求线段长度】
【例5】（2023春·广东佛山·八年级佛山市华英学校校考期中）如图，△ABC的周长为4+25，其中AB=4，BC=5-3．
(1)AC=______；
(2)判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由．
(3)过点A作AE⊥AB，AE=22，在AB上取一点D，使得DB=DE，求AD的长度．
【变式5-1】（2023春·山西太原·八年级校联考期中）如图，∠ACB=∠BDC=90°，且AB=13，AC=12，BD=4，则DC的长度为（ ）
A．3B．8C．4D．9
【变式5-2】（2023春·山东济南·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，线段AB，AC的垂直平分线交于点O，则OA的长度为 ．
【变式5-3】（2023春·重庆合川·八年级统考期末）如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=29，D是AC上一点，连接BD，BD＝5，CD＝2．
(1)求证：ΔBDC是直角三角形；
(2)求AB边的长度．
【题型6 由勾股定理证明线段之间的关系】
【例6】（2023春·四川成都·八年级校联考期中）已知△ABC是等边三角形．
(1)如图1，△BDE也是等边三角形．点A、B、E三点不共线，求证：AD=CE；
(2)如图2，点D是△ABC外一点，且∠BDC=30°，请证明结论DA2=DC2+DB2；
(3)如图3，点D是等边三角形△ABC外一点，若DA=13，DB=52，DC=7．试求∠BDC的度数．
【变式6-1】（2023春·湖北十堰·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，且A4,0，点B在y轴上，且B0,4．
(1)求线段AB的长；
(2)若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE=OF，求AE+AF的值；
(3)在（2）的条件下，过点O作OM⊥EF，交AB于点M，试证明：AM2+BE2=EM2
【变式6-2】（2023春·河南鹤壁·八年级统考期末）亲爱的同学们，在全等三角形中，我们见识了很多线段关系的论证题，下面请你用本阶段所学知识，分别完成下列题目．
(1)如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE；
(2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．容易证明△ACD≌△BCE，则：
①∠AEB的度数为______；
②直接写出AE、BE、CM之间的数量关系．
(3)如图3，△ABC中，若∠A=90°，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F，求证：BE2+CF2=EF2．
【变式6-3】（2023春·广东广州·八年级校考期中）如图，点A为x轴负半轴上一点，点B为y轴正半轴上一点，点C为x轴正半轴上一点，AO=a，BO=b，CO=c,且a、b、c满足a=a-b+b-a+c有意义．
(1)若c=3，求AB=__________________；
(2)如图1，点P在x轴上（点P在点A左边），以PB为直角边在PB的上方作等腰直角三角形PDB，求证：PA2+PC2=PD2；
(3)如图2，点M为AB中点，点E为射线OA上一点，点F为射线BO上一点，且∠EMF=90°，设AE=m，BF=n，请求出EF的长度（用含m、n的代数式表示）．
【题型7 勾股定理中的规律探究】
【例7】（2023春·四川眉山·八年级统考期末）如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1=1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为 ．
【变式7-1】（2023春·云南昆明·八年级统考期末）如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．67B．34C．98D．73
【变式7-2】（2023春·湖北咸宁·八年级统考期末）如图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形组成的，图中的OA1=A1A2=A2A3=⋯=A7A8=1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，⋯，OA10中，长度为整数的线段有 条．
【变式7-3】（2023春·江西南昌·八年级校考期中）在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…的路线运动，设第n秒运动到点Pn（n为正整数），则点P2023的坐标是（ ）
A．2022,0B．2022,-3C．2023,3D．2023,-3
【题型8 由勾股定理求最值】
【例8】（2023春·安徽六安·八年级校考期中）如图，已知∠MON=60∘，点P,Q为∠MON内的两个动点，且∠POQ=30∘，OP=3，OQ=4，点A,B分别是OM,ON上的动点，则PA+AB+BQ的最小值是（ ）
A．5B．7C．8D．10
【变式8-1】（2023春·贵州贵阳·八年级统考期中）如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰长分别为4和2，其中∠BAC=∠DAE=90°，M为边DE的中点．若等腰Rt△ADE绕点A旋转，则点B到点M的距离的最大值为 ．
【变式8-2】（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的边长为6，线段EF在边BC上左右滑动，若EF=1，则AE+DF的最小值为 ．
【变式8-3】（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=22，点D在AC上，将△ABD沿BD折叠，点A落在点A1处，A1B与AC相交于点E，则A1E的最大值为 ．
3，4，5；
9，40，41；
5，12，13；
……；
7，24，25；
a，b，c．
a
b
c
3
4
5
8
6
10
15
8
17
24
10
26
…
…
…
x
14
y
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