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苏科版八年级上册3.1 勾股定理随堂练习题
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这是一份苏科版八年级上册3.1 勾股定理随堂练习题，共16页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16439" 【题型1 由勾股定理求两条线段的平方和（差）】 PAGEREF _Tc16439 \h 1
\l "_Tc28229" 【题型2 勾股定理在网格问题中的运用】 PAGEREF _Tc28229 \h 2
\l "_Tc4389" 【题型3 勾股定理在折叠问题中的运用】 PAGEREF _Tc4389 \h 4
\l "_Tc9432" 【题型4 以弦图为背景的计算】 PAGEREF _Tc9432 \h 6
\l "_Tc10875" 【题型5 勾股定理的证明方法】 PAGEREF _Tc10875 \h 7
\l "_Tc30288" 【题型6 勾股定理与全等综合】 PAGEREF _Tc30288 \h 10
\l "_Tc24515" 【题型7 由勾股定理确定在几何体中的最短距离】 PAGEREF _Tc24515 \h 12
\l "_Tc21251" 【题型8 由勾股定理构造图形解决实际问题】 PAGEREF _Tc21251 \h 13
【题型1 由勾股定理求两条线段的平方和（差）】
【例1】（2023春·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，射线AM⊥AN于点A、点C、B在AM、AN上，D为线段AC的中点，且DE⊥BC于点E．
（1）若BC=10，直接写出AC2+AB2的值；
（2）若AC=8，△ABC的周长为24，求△ABC的面积；
（3）若AB=6，C点在射线AM上移动，问此过程中，BE2-CE2的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的取值范围．
【变式1-1】（2023·福建·模拟预测）如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于 ．
【变式1-2】（2023春·全国·八年级专题练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB=3，CD=2，则AD2+BC2= ．
【变式1-3】（2023春·福建莆田·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，已知点A4,4，B8,0．
(1)如图1，判断△AOB的形状并说明理由；
(2)如图2，M，N分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，且AM⊥AN，探究线段OM，ON，OA之间的数量关系并证明；
(3)如图3，延长BA交y轴于点C，M，N分别是x轴负半轴和y轴负半轴上的点，连接AN交x轴于D，且∠AMO+∠ANO=45°，探究BD2，DM2，OM2的数量关系并证明．
【题型2 勾股定理在网格问题中的运用】
【例2】（2023春·浙江·八年级期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E,F,G,H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为26，此时正方形EFGH的面积为52．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为26时，正方形EFGH的面积的所有可能值是 (不包括52)．
【变式2-1】（2023春·福建三明·八年级统考期中）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5，10，13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上： ；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为5a，22a，17a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为m2+16n2,9m2+4n2,24m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
【变式2-2】（2023春·湖北武汉·八年级校考期中）在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示：
（1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在网格中标出点B；
（2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小，保留画图痕迹，并直接写出PA＋PB的最小值：______；
（3）结合（2）的画图过程并思考，直接写出x2+32＋(7-x)2+42的最小值：____
【变式2-3】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）五边形ABCDE的周长为 ．
（2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称；
（3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积；
（4）在直线DF上找点H，使∠AHB＝135°．
【题型3 勾股定理在折叠问题中的运用】
【例3】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是 ．
【变式3-1】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝3，则该三角形的面积为 ；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝2，求△PDC的面积．
【变式3-2】（2023春·浙江·八年级期末）如图1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．
(1)求BC边上的高线长．
(2)点E是BC边上的动点，点D在边AB上，且AD＝4，连结DE．
①如图2，当点E是BC中点时，求△BDE的面积．
②如图3，沿DE将△BDE折叠得到△FDE，当DF与△ABC其中一边垂直时，求BE的长．
【变式3-3】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2=2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是___．
A. ①一定是“方倍三角形” B. ②一定是“方倍三角形”
C. ①②都一定是“方倍三角形” D. ①②都一定不是“方倍三角形”
(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB=3，则该三角形的面积为___；
(3)如图，△ABC中，∠ABC=120∘，∠ACB=45∘，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连结CD，AD，若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝2，求BC的长．
【题型4 以弦图为背景的计算】
【例4】（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB=7，BC=8，则小正方形的边长为（ ）
A．5B．6C．7D．22
【变式4-1】（2023春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）如图，它是由弦图变化得到的，是由八个全等的直角三角形拼接而成的，将图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别记为S1、S2、S3．
（1）若S1=25，S3=1，则S2= ．
（2）若S1+S2+S3=24，则S2= ．
【变式4-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知BE:AE=3:1，正方形ABCD的面积为80．连接ACAC，交BE于点P，交DG于点Q，连接FQ．则图中阴影部分的面积之和为 ．
【变式4-3】（2023春·四川巴中·八年级统考期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=45，则S2的值是 ．
【题型5 勾股定理的证明方法】
【例5】（2023春·广西百色·八年级统考期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)证明勾股定理
取4个与Rt△ABC（图1）全等的三角形，其中∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，把它们拼成边长为a+b的正方形DEFG，其中四边形OPMN是边长为c的正方形，如图2，请你利用以下图形验证勾股定理．
(2)应用勾股定理
①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于DA，在l上取点B，使AB=2，以点D为圆心，DB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．
②应用场景2：解决实际问题．
如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推至C处时，水平距离CD=2m，踏板离地的垂直高度CF=1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
【变式5-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期末）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是a+b2，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到：a+b2=a2+2ab+b2．
(1)如图2，正方形ABCD是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示）
(2)已知：两数x，y满足x+y=14，xy=24，求x-y的值．
(3)如图3，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是______．（用a，b，c表示，结果化到最简）
【变式5-2】（2023春·山西运城·八年级统考期中）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab×4+b-a2，从而得到等式c2=12ab×4+b-a2，化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高为______．
(3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．
【变式5-3】（2023春·全国·八年级期中）如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2；
（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程；
（3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．
①请写出C、D两点的坐标；
②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．
【题型6 勾股定理与全等综合】
【例6】（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为底边BC上的高线，E是AC上一点，连接BE交AD于点F，且∠CBE=45°．
(1)求证：AB2-AD2=BD⋅CD；
(2)如图1，若AB=6.5，BC=5，求AF的长；
(3)如图2，若AF=BC，以BF，EF和AE为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由．
【变式6-1】（2023春·江西宜春·八年级统考期中）如图，把一张矩形纸片沿对角线BD折叠，若BC=9，CD=3，那么AF的长为 ．
【变式6-2】（2023春·湖北襄阳·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（ ）
A．538B．22C．145D．10-52
【变式6-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=62，D是射线CB上的动点，过点A作AF⊥AD（AF始终在AD上方），且AF=AD，连接BF．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，判断BF与DC的关系，并说明理由．
(2)如图2，若点D、E为线段BC上的两个动点，且∠DAE=45°，连接EF，DC=3，求ED的长．
(3)若在点D的运动过程中，BD=3，则AF=___．
(4)如图3，若M为AB中点，连接MF，在点D的运动过程中，当BD=__时，MF的长最小？最小值是___．
【题型7 由勾股定理确定在几何体中的最短距离】
【例7】（2023春·山西大同·八年级统考期中）如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．若AB=3，BC=4，CC1=5，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．74B．310C．89D．12
【变式7-1】（2023春·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期中）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为10cm，底面圆的周长为32cm
(1)点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 cm；
(2)将左图改为一个无盖的圆柱形食品盒，点C距离下底面3cm，此时蚂蚁从C处出发，爬到盒内表面对侧中点B处(如右图)，则蚂蚁爬行的最短路程是 cm．
【变式7-2】（2023春·全国·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm
【变式7-3】（2023春·广东佛山·八年级统考期末）初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略．
问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，如何求最短路程呢？
(1)问题分析：蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，可以有几条路径？在图中画出来；
(2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为18cm，高为12cm，蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，求最短路程；
②若圆柱体的底面圆的周长为24cm，高为4cm，蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，求最短路程；
③若圆柱体的底面圆的半径为r，高为h，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，求最短路程．
【题型8 由勾股定理构造图形解决实际问题】
【例8】（2023春·吉林白城·八年级统考期末）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【变式8-1】（2023春·全国·八年级期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗缓缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（ ）
A．10mB．11mC．12mD．13m
【变式8-2】（2023春·陕西西安·八年级西北大学附中校考期末）【问题探究】
(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=12AE，并说明理由；
(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求12AM+MC的最小值；
【问题解决】
(3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)
【变式8-3】（2023·四川德阳·八年级校考期末）目前，某市正积极推进“五城联创”，其中扩充改造绿地是推进工作计划之一.现有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为a＝9m和b＝12m，现要将此绿地扩充改造为等腰三角形，且扩充部分包含以b＝12m为直角边的直角三角形，则扩充后等腰三角形的周长为 .
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16439" 【题型1 由勾股定理求两条线段的平方和（差）】 PAGEREF _Tc16439 \h 1
\l "_Tc28229" 【题型2 勾股定理在网格问题中的运用】 PAGEREF _Tc28229 \h 2
\l "_Tc4389" 【题型3 勾股定理在折叠问题中的运用】 PAGEREF _Tc4389 \h 4
\l "_Tc9432" 【题型4 以弦图为背景的计算】 PAGEREF _Tc9432 \h 6
\l "_Tc10875" 【题型5 勾股定理的证明方法】 PAGEREF _Tc10875 \h 7
\l "_Tc30288" 【题型6 勾股定理与全等综合】 PAGEREF _Tc30288 \h 10
\l "_Tc24515" 【题型7 由勾股定理确定在几何体中的最短距离】 PAGEREF _Tc24515 \h 12
\l "_Tc21251" 【题型8 由勾股定理构造图形解决实际问题】 PAGEREF _Tc21251 \h 13
【题型1 由勾股定理求两条线段的平方和（差）】
【例1】（2023春·陕西咸阳·八年级校考阶段练习）如图，射线AM⊥AN于点A、点C、B在AM、AN上，D为线段AC的中点，且DE⊥BC于点E．
（1）若BC=10，直接写出AC2+AB2的值；
（2）若AC=8，△ABC的周长为24，求△ABC的面积；
（3）若AB=6，C点在射线AM上移动，问此过程中，BE2-CE2的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的取值范围．
【变式1-1】（2023·福建·模拟预测）如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2-MB2等于 ．
【变式1-2】（2023春·全国·八年级专题练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB=3，CD=2，则AD2+BC2= ．
【变式1-3】（2023春·福建莆田·八年级校联考期中）在平面直角坐标系中，已知点A4,4，B8,0．
(1)如图1，判断△AOB的形状并说明理由；
(2)如图2，M，N分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，且AM⊥AN，探究线段OM，ON，OA之间的数量关系并证明；
(3)如图3，延长BA交y轴于点C，M，N分别是x轴负半轴和y轴负半轴上的点，连接AN交x轴于D，且∠AMO+∠ANO=45°，探究BD2，DM2，OM2的数量关系并证明．
【题型2 勾股定理在网格问题中的运用】
【例2】（2023春·浙江·八年级期末）在每个小正方形的边长为1的网格图形中．每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向外作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E,F,G,H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为26，此时正方形EFGH的面积为52．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为26时，正方形EFGH的面积的所有可能值是 (不包括52)．
【变式2-1】（2023春·福建三明·八年级统考期中）问题背景：在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为5，10，13，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上： ；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为5a，22a，17a（a＞0），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为m2+16n2,9m2+4n2,24m2+n2（m＞0，n＞0，且m≠n），试运用构图法求出这三角形的面积．
【变式2-2】（2023春·湖北武汉·八年级校考期中）在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示：
（1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在网格中标出点B；
（2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使PA＋PB的值最小，保留画图痕迹，并直接写出PA＋PB的最小值：______；
（3）结合（2）的画图过程并思考，直接写出x2+32＋(7-x)2+42的最小值：____
【变式2-3】（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）五边形ABCDE的周长为 ．
（2）在AB上找点F，使E，C两点关于直线DF对称；
（3）设DF交CE于点G，连接AG，直接写出四边形AEDG的面积；
（4）在直线DF上找点H，使∠AHB＝135°．
【题型3 勾股定理在折叠问题中的运用】
【例3】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是边AC上一动点，把△ABP沿直线BP折叠，使得点A落在图中点A′处，当△AA′C是直角三角形时，则线段CP的长是 ．
【变式3-1】（2023春·浙江宁波·八年级校考期中）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2＝2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．
（1）对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形”B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形”D．①②都一定不是“方倍三角形”
（2）若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB＝3，则该三角形的面积为 ；
（3）如图，△ABC中，∠ABC＝120°，∠ACB＝45°，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连接CD，AD．若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝2，求△PDC的面积．
【变式3-2】（2023春·浙江·八年级期末）如图1，在△ABC，AB＝AC＝10，BC＝12．
(1)求BC边上的高线长．
(2)点E是BC边上的动点，点D在边AB上，且AD＝4，连结DE．
①如图2，当点E是BC中点时，求△BDE的面积．
②如图3，沿DE将△BDE折叠得到△FDE，当DF与△ABC其中一边垂直时，求BE的长．
【变式3-3】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）定义：若a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2=2c2，则称△ABC为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是___．
A. ①一定是“方倍三角形” B. ②一定是“方倍三角形”
C. ①②都一定是“方倍三角形” D. ①②都一定不是“方倍三角形”
(2)若Rt△ABC是“方倍三角形”，且斜边AB=3，则该三角形的面积为___；
(3)如图，△ABC中，∠ABC=120∘，∠ACB=45∘，P为AC边上一点，将△ABP沿直线BP进行折叠，点A落在点D处，连结CD，AD，若△ABD为“方倍三角形”，且AP＝2，求BC的长．
【题型4 以弦图为背景的计算】
【例4】（2023春·浙江嘉兴·八年级统考期末）在认识了勾股定理的赵爽弦图后，一位同学尝试将5个全等的小正方形嵌入长方形ABCD内部，其中点M，N，P，Q分别在长方形的边AB，BC，CD和AD上，若AB=7，BC=8，则小正方形的边长为（ ）
A．5B．6C．7D．22
【变式4-1】（2023春·安徽合肥·八年级合肥市第四十二中学校考期中）如图，它是由弦图变化得到的，是由八个全等的直角三角形拼接而成的，将图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别记为S1、S2、S3．
（1）若S1=25，S3=1，则S2= ．
（2）若S1+S2+S3=24，则S2= ．
【变式4-2】（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知BE:AE=3:1，正方形ABCD的面积为80．连接ACAC，交BE于点P，交DG于点Q，连接FQ．则图中阴影部分的面积之和为 ．
【变式4-3】（2023春·四川巴中·八年级统考期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=45，则S2的值是 ．
【题型5 勾股定理的证明方法】
【例5】（2023春·广西百色·八年级统考期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．
(1)证明勾股定理
取4个与Rt△ABC（图1）全等的三角形，其中∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，把它们拼成边长为a+b的正方形DEFG，其中四边形OPMN是边长为c的正方形，如图2，请你利用以下图形验证勾股定理．
(2)应用勾股定理
①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点．
如图3，在数轴上找出表示1的点D和表示4的点A，过点A作直线l垂直于DA，在l上取点B，使AB=2，以点D为圆心，DB为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______．
②应用场景2：解决实际问题．
如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=0.5m，将它往前推至C处时，水平距离CD=2m，踏板离地的垂直高度CF=1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
【变式5-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期末）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是a+b2，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为a2+2ab+b2，由此得到：a+b2=a2+2ab+b2．
(1)如图2，正方形ABCD是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示）
(2)已知：两数x，y满足x+y=14，xy=24，求x-y的值．
(3)如图3，正方形ABCD的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是______．（用a，b，c表示，结果化到最简）
【变式5-2】（2023春·山西运城·八年级统考期中）综合与实践
【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即12ab×4+b-a2，从而得到等式c2=12ab×4+b-a2，化简便得结论a2+b2=c2．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形△ABC和△DEA如图2放置，其三边长分别为a，b，c，∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形ABDC，梯形AEDC，△EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理a2+b2=c2．
(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AB边上的高为______．
(3)如图4，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4，AC=5，BC=6，设BD=x，求x的值．
【变式5-3】（2023春·全国·八年级期中）如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）
（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2＝c2；
（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出证明过程；
（3）当a＝3，b＝4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角边a，b分别与x轴、y轴重合（如图4中Rt△AOB的位置）．点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处．
①请写出C、D两点的坐标；
②若△CMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标．
【题型6 勾股定理与全等综合】
【例6】（2023春·安徽滁州·八年级校考期中）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为底边BC上的高线，E是AC上一点，连接BE交AD于点F，且∠CBE=45°．
(1)求证：AB2-AD2=BD⋅CD；
(2)如图1，若AB=6.5，BC=5，求AF的长；
(3)如图2，若AF=BC，以BF，EF和AE为边，能围成直角三角形吗？请判断，并说明理由．
【变式6-1】（2023春·江西宜春·八年级统考期中）如图，把一张矩形纸片沿对角线BD折叠，若BC=9，CD=3，那么AF的长为 ．
【变式6-2】（2023春·湖北襄阳·八年级校联考期中）如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（ ）
A．538B．22C．145D．10-52
【变式6-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=62，D是射线CB上的动点，过点A作AF⊥AD（AF始终在AD上方），且AF=AD，连接BF．
(1)如图1，当点D在线段BC上时，判断BF与DC的关系，并说明理由．
(2)如图2，若点D、E为线段BC上的两个动点，且∠DAE=45°，连接EF，DC=3，求ED的长．
(3)若在点D的运动过程中，BD=3，则AF=___．
(4)如图3，若M为AB中点，连接MF，在点D的运动过程中，当BD=__时，MF的长最小？最小值是___．
【题型7 由勾股定理确定在几何体中的最短距离】
【例7】（2023春·山西大同·八年级统考期中）如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．若AB=3，BC=4，CC1=5，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．74B．310C．89D．12
【变式7-1】（2023春·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期中）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为10cm，底面圆的周长为32cm
(1)点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，则蚂蚁需要爬行的最短路程是 cm；
(2)将左图改为一个无盖的圆柱形食品盒，点C距离下底面3cm，此时蚂蚁从C处出发，爬到盒内表面对侧中点B处(如右图)，则蚂蚁爬行的最短路程是 cm．
【变式7-2】（2023春·全国·八年级期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm
【变式7-3】（2023春·广东佛山·八年级统考期末）初中几何的学习始于空间的“实物和具体模型”，聚焦平面的“几何图形的特征和运用”，形成了空间几何问题要转化为平面几何问题的解题策略．
问题提出：如图所示是放在桌面上的一个圆柱体，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，如何求最短路程呢？
(1)问题分析：蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，可以有几条路径？在图中画出来；
(2)问题探究：①若圆柱体的底面圆的周长为18cm，高为12cm，蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，求最短路程；
②若圆柱体的底面圆的周长为24cm，高为4cm，蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，求最短路程；
③若圆柱体的底面圆的半径为r，高为h，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点B，求最短路程．
【题型8 由勾股定理构造图形解决实际问题】
【例8】（2023春·吉林白城·八年级统考期末）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．
【变式8-1】（2023春·全国·八年级期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式．倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗缓缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生．爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度．将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（ ）
A．10mB．11mC．12mD．13m
【变式8-2】（2023春·陕西西安·八年级西北大学附中校考期末）【问题探究】
(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使EF=12AE，并说明理由；
(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求12AM+MC的最小值；
【问题解决】
(3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍。那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置,并求出AM的长．(结果保留根号)
【变式8-3】（2023·四川德阳·八年级校考期末）目前，某市正积极推进“五城联创”，其中扩充改造绿地是推进工作计划之一.现有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为a＝9m和b＝12m，现要将此绿地扩充改造为等腰三角形，且扩充部分包含以b＝12m为直角边的直角三角形，则扩充后等腰三角形的周长为 .
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