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    24.1.2 垂直于弦的直径 课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

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    人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径备课ppt课件

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    这是一份人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径备课ppt课件,共24页。PPT课件主要包含了垂径定理推论,如何确定圆心,拓展提升,圆材埋壁问径几何等内容,欢迎下载使用。
    这是赵州桥,建于1400多年前的隋朝,是一座世界闻名的石拱桥, 整个桥身是圆弧的一段,长50多米,宽9米多,这么长的桥,全部用石头砌成,没有桥墩,横跨在37米宽的河面上,这样巨型的跨度,在当时是首屈一指。是建桥史上的一个创举,比欧州19世纪建造的同类拱桥早一千二百多年,赵州桥经历了洪水,地震的袭击和一千多年使用的考验,依然雄姿焕发,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.
    赵州桥主桥拱的半径是多少?
    剪一个圆形纸片,沿着它的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?
    不借助任何工具,你能找到圆形纸片的圆心吗?由此你得到了什么结论?你能证明你的结论吗?
    圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
    例1 求证:圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
    导引:要证明圆是轴对称图形,只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.
    证明:如图,设CD是⊙O的任意一条直径,A为⊙O上点C,D以外 的任意一点.过点A作AA′⊥CD,交⊙O于点A′,垂足为M, 连接OA,OA′.
    在△OAA′中,∵OA=OA′
    圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
    ∴△OAA′是等腰三角形.
    又∵AA′⊥CD,(三线合一)
    ∴AM=MA′
    即CD是AA′的垂直平分线,
    那么对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点A′
    活动2:探索垂径定理 如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.根据圆的对称性,你发现图中有哪些相等的线段和弧?
    CD是直径,AB是弦,CD⊥AB
    定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段
    垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。
    欧几里得(古希腊数学家,公元前330年-公元前275年)《几何原本》第I卷中的第12个命题即为垂径定理,这可能是最早的有关于垂径定理的记载。
    欧几里得是谁?《几何原本》是什么?
    思考:下列哪些图形可以用垂径定理?你能说明理由吗?
    才有直径CD垂直弦AB,平分弦AB所对的两条弧。
    AB是弦,但不能是直径时,
    垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
    平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。
    ∵ CD是直径,
    根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备:
    (1)过圆心 (2)垂直于弦 (3)平分弦(4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧
    上述五个条件中的任意 个条件都可以推出其他 个结论.即知二推三
    例2如图:⊙O的半径是5cm,弦AB为6cm。求圆心O到弦AB的距离。
    圆心到弦的距离叫做弦心距。
    解:连接OA,过圆心O作OE⊥AB,垂足为E,
    变式1:如图,已知在 ⊙O 中,弦AB的长为8㎝,圆心O到AB的距离为3 ㎝,求⊙O的半径。
    变式2:在半径为5 ㎝的 圆中,圆心O到弦AB的距离为3 ㎝,求AB的长。
    则AB=2AE
     赵州桥的下部呈圆弧型,桥的跨度(弧所对的弦长)AB为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)CD为7.23m,你能求出桥拱所在圆的半径吗?
    弦的垂直平分线必经过圆心
    解得:r ≈ 27.3(m)
    在Rt△OAD中,由勾股定理,得
    ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
    解决求赵州桥拱半径的问题
    垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形
    OA2=AE2+OE2
    “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题。
    今有圆材,埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?
    解:连接OA,设OA=r,由CE=1寸,则OE=(r-1)寸
    CD为直径,弦AB⊥CD,AB=10寸
    高速公路的隧道,形状是圆的一部分,如图,路面AB是10米,净高CD是7米,则圆的半径OA是多少米?

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