浙江省杭州市萧山区城北片2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)

这是一份浙江省杭州市萧山区城北片2017届九年级(上)期中数学试卷(含解析)，共30页。
一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出四个选项中，只有一个是正确的．注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案．
1．从1～9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若OE=3，则AB的长是（ ）
A ．4 B．6 C．8 D．10
3．由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
4．与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ）
A．y=1+x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2x2
5．下列命题正确的是（ ）
A．相等的圆周角对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．三点确定一个圆 D．平分弦的直径垂直于弦
6．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A B C D
7．已知二次函数y=﹣x2﹣3x﹣，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且﹣3＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
8．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ ）
A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1
9．已知⊙O的半径为3，△ABC内接于⊙O，AB=3，AC=3，D是⊙O上一点，且AD=3，则CD的长应是（ ）
A．3 B．6 C． D．3或6
10．二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为P，其图象与x轴有两个交点A（﹣m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3am+6a），以下说法：
①m=3；②当∠APB=120°时，a=；③当∠APB=120°时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得△ABM是顶角为120°的等腰三角形；④抛物线上存在点N，当△ABN为直角三角形时，有a≥
正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
二.认真填一填（本题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．
11．若函数y=（m﹣1）x|m|+1是二次函数，则m的值为 ．
12．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是 ．
13．把一个体积是64立方厘米的立方体木块的表面涂上红漆，然后锯成体积为1立方厘米的小立方体，从中任取一块，则取出的这一块至少有一面涂红漆的概率是 ．
14．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为 ．
15．△ABC的一边长为5，另两边长分别是二次函数y=x2﹣6x+m与x轴的交点坐标的横坐标的值，则m的取值范围为 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，3），动圆D经过A、O，分别与两坐标轴的正半轴交于点E、F．当EF⊥OA时，此时EF= ．
三.全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在△ABC中，AC=4米，∠ABC=45°，试求小明家圆形花坛的半径长．
18．在1个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外，其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，若从中任意摸出一个球，这个球是白色的概率为0.5．
（1）求口袋中红球的个数；
（2）若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球，不放回，再找出一个画树状图的方法求甲摸的两个球且得2分的概率．
19．如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C=45°，
（1）求∠ABD的度数．
（2）若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径．
20．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
21．已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．
（1）求四边形AEOF的面积．
（2）设AE=x，S△OEF=y，写出y与x之间的函数关系式，求x取值范围．
22．某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30＜m≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围．
23．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．
①写出点M′的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．


参考答案与试题解析

一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出四个选项中，只有一个是正确的．注意可以用多种不同的方法来选取正确的答案．
1．从1～9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是（ ）
A．B．C．D．
【考点】概率公式．
【分析】先从1～9这九个自然数中找出是2的倍数的有2、4、6、8共4个，然后根据概率公式求解即可．
【解答】解：1～9这九个自然数中，是2的倍数的数有：2、4、6、8，共4个，
∴从1～9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是：．
故选B．

2．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若OE=3，则AB的长是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OA，根据勾股定理求出AE的长，进而可得出结论．
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，OA=5，OE=3，
∴AE===4，
∴AB=2AE=8．
故选C．

3．由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知（ ）
A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x=﹣3
C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可．
【解答】解：由二次函数y=2（x﹣3）2+1，可知：
A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；
C．其最小值为1，故此选项正确；
D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：C．

4．与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（ ）
A．y=1+x2B．y=（2x+1）2C．y=（x﹣1）2D．y=2x2
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【分析】抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同．
【解答】解：y=2（x﹣1）2+3中，a=2．
故选D．

5．下列命题正确的是（ ）
A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等
C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆的认识；垂径定理．
【分析】等弧只有在同圆或等圆中才能出现，因此，等弧所对的弦相等是正确的．
【解答】解：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故A错误；
等弧只有在同圆或等圆中才能出现，因此，等弧所对的弦相等是正确的，故B正确；
不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故C错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D错误．
故选B．

6．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=，与y轴的交点坐标为（0，c）．
【解答】解：解法一：逐项分析
A、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误；
B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误；
C、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选项错误；
D、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，即函数y=﹣mx2+2x+2开口方向朝上，对称轴为x===＜0，则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确；
解法二：系统分析
当二次函数开口向下时，﹣m＜0，m＞0，
一次函数图象过一、二、三象限．
当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，
对称轴x=＜0，
这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，
一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．

7．已知二次函数y=﹣x2﹣3x﹣，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且﹣3＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】先利用对称轴方程得到抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质求解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣3，
因为﹣3＜x1＜x2＜x3，
而抛物线开口向下，
所以y1＞y2＞y3．
故选A．

8．若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ ）
A．x1=﹣3，x2=﹣1B．x1=1，x2=3C．x1=﹣1，x2=3D．x1=﹣3，x2=1
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】直接利用抛物线与x轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案．
【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），
∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一个解为：x=﹣1，
∵抛物线的对称轴为：直线x=1，
∴二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），
∴方程ax2﹣2ax+c=0的解为：x1=﹣1，x2=3．
故选：C．

9．已知⊙O的半径为3，△ABC内接于⊙O，AB=3，AC=3，D是⊙O上一点，且AD=3，则CD的长应是（ ）
A．3B．6C．D．3或6
【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】根据题意，画出草图，此题中点D的位置是不确定的，点D可在上，也可在上，所以需分情况讨论．利用等边三角形的判定定理和性质求解．
【解答】解：第一种情况，当点D在AC弧上时，连接OA、OC、OD．
所以AD=OA=OC=OD=3，△AOD是等边三角形，∠ADO=∠DAO=∠AOD=60°．
过O作OP垂直弦AC于P，根据垂径定理，PA=PC=AC=．
∴在Rt△AOP中，OP=，
∴∠OAP=30°，∠AOP=60°=∠AOD．
∴OP与OD重合，即OD垂直平分弦AC，所以CD=AD=3．
第二种情况：当点D在AB弧上时，同理得△AOD是等边三角形，∠AOD=60°．
由（1）知∠AOC=120°．
∴∠AOD+∠AOC=180°，即D、O、C在同一直线上，故CD=6．
故选D．

10．二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为P，其图象与x轴有两个交点A（﹣m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3am+6a），以下说法：
①m=3；
②当∠APB=120°时，a=；
③当∠APB=120°时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得△ABM是顶角为120°的等腰三角形；
④抛物线上存在点N，当△ABN为直角三角形时，有a≥
正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①②③D．①②③④
【考点】二次函数综合题．
【分析】①把A、B两点的坐标分别代入抛物线的解析式得到①式和②式，将两式相减即可得到m=，即可得到C（0，3a﹣3b），从而得到c=3a﹣3b，代入②式，就可解决问题；
②设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，则有PG⊥x轴，只需求出点P的坐标就可解决问题；
③在第一象限内作∠MBA=120°，且满足BM=BA，过点M作MH⊥x轴于H，如图1，只需求出点M的坐标，然后验证点M是否在抛物线上，就可解决问题；
④易知点N在抛物线上且△ABN为直角三角形时，只能∠ANB=90°，此时点N在以AB为直径的⊙G上，因而点N在⊙G与抛物线的交点处，要使点N存在，点P必须在⊙G上或⊙G外，如图2，只需根据点与圆的位置关系就可解决问题．
【解答】解：①∵点A（﹣m，0）、B（1，0）在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴，
由①﹣②得
am2﹣bm﹣a﹣b=0，
即（m+1）（am﹣a﹣b）=0．
∵A（﹣m，0）与B（1，0）不重合，
∴﹣m≠1即m+1≠0，
∴m=，
∴点C的坐标为（0，3a﹣3b），
∵点C在抛物线y=ax2+bx+c上，
∴c=3a﹣3b，
代入②得a+b+3a﹣3b=0，即b=2a，
∴m==3，故①正确；
②∵m=3，∵A（﹣3，0），
∴抛物线的解析式可设为y=a（x+3）（x﹣1），
则y=a（x2+2x﹣3）=a（x+1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（﹣1，﹣4a）．
根据对称性可得PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=30°．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，
则有PG⊥x轴，
∴PG=AG•tan∠PAG=2×=，
∴4a=，
∴a=，故②正确；
③在第一象限内作∠MBA=120°，且满足BM=BA，过点M作MH⊥x轴于H，如图1，
在Rt△MHB中，∠MBH=60°，
则有MH=4sin60°=4×=2，BH=4cs60°=4×=2，
∴点M的坐标为（3，2），
当x=3时，y=（3+3）（3﹣1）=2，
∴点M在抛物线上，故③正确；
④∵点N在抛物线上，∴∠ABN≠90°，∠BAN≠90°．
当△ABN为直角三角形时，∠ANB=90°，
此时点N在以AB为直径的⊙G上，
因而点N在⊙G与抛物线的交点处，
要使点N存在，点P必须在⊙G上或⊙G外，如图2，
则有PG≥2，即4a≥2，也即a≥，故④正确．
故选D．

二.认真填一填（本题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．
11．若函数y=（m﹣1）x|m|+1是二次函数，则m的值为 ﹣1 ．
【考点】二次函数的定义．
【分析】根据二次项系数不等于0，二次函数的最高指数为2列出方程，求出m的值即可．
【解答】解：由题意得：m﹣1≠0，|m|+1=2，
解得m≠1，且m=±1，
∴m=﹣1．
故答案为：﹣1．

12．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是 35° ．
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【分析】首先连接BC，由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C=90°，继而求得∠B的度数，然后由D是的中点，根据弧与圆周角的关系，即可求得答案．
【解答】解：连接BC，
∵AB是半圆的直径，
∴∠C=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°﹣∠BAC=70°，
∵D是的中点，
∴∠DAC=∠B=35°．
故答案为：35°．

13．把一个体积是64立方厘米的立方体木块的表面涂上红漆，然后锯成体积为1立方厘米的小立方体，从中任取一块，则取出的这一块至少有一面涂红漆的概率是 ．
【考点】概率公式；认识立体图形．
【分析】根据题意可知共可据64块，至少有一面涂红漆的小正方体有56个，根据概率公式的计算即可得出结果．
【解答】解：∵至少有一面涂红漆的小正方体有56个，
∴至少有一面涂红漆的概率是=．
故答案为．

14．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为 0 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．
【解答】解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，
∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），
∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），
把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，
∴4a﹣2b+c=0，
故答案为：0．

15．△ABC的一边长为5，另两边长分别是二次函数y=x2﹣6x+m与x轴的交点坐标的横坐标的值，则m的取值范围为 2.75＜m≤9 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系及三角形的三边关系可得到（x1﹣x2）2＜25，把两根之积与两根之和代入（x1﹣x2）2的变形中，可求得m的取值范围，再由根的判别式确定出m的最后取值范围．
【解答】解：由根与系数的关系可得：x1+x2=6，x1•x2=m，
由三角形的三边关系可得：|x1﹣x2|＜5，
∴（x1﹣x2）2＜25．
∴（x1+x2）2﹣4x1•x2＜25，即：36﹣4m＜25．
解得：m＞．
∵方程有两个实根，
∴△≥0，即（﹣6）2﹣4m≥0．
解得：m≤9．
故答案为：2.75＜m≤9．

16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4，3），动圆D经过A、O，分别与两坐标轴的正半轴交于点E、F．当EF⊥OA时，此时EF= ．
【考点】垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．
【分析】作出辅助线，利用两点的距离公式计算出OA，根据圆周角定理得到EF为⊙D的直径，再根据垂径定理得到CO的值，设OE=t，根据勾股定理得出关于t的方程，进而计算出CE的值，设⊙D的半径为r，则OD=r，利用勾股定理得出关于t的方程，解出r的值即可．
【解答】解：连接AE、OD，作AB⊥x轴于B，OA与EF垂直于C，如图1，
∵A（4，3），
∴OA==5，
∵∠EOF=90°，
∴EF为⊙D的直径，
∵EF⊥OA，
∴CO=AC=OA=，
∴EO=EA，
设OE=t，则AE=t，BE=4﹣t，
在Rt△ABE中，AB=3，
∵AB2+BE2=AE2，
∴32+（4﹣t）2=t2，解得t=，
在Rt△OEC中，CE==，
在Rt△OCD中，设⊙D的半径为r，则OD=r，CD=r﹣，
∵DC2+OC2=OD2，
（r﹣）2+（）2=r2，解得r=，
∴EF=2r=；
故答案为．

三.全面答一答（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．
17．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在△ABC中，AC=4米，∠ABC=45°，试求小明家圆形花坛的半径长．
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】（1）分别作出AB、BC的垂直平分线，相交于一点O，再以点O为圆心，以OA为半径画圆，即可得解；
（2）连接OA，OC，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠AOC的度数为90°，然后根据等腰直角三角形直角边与斜边的关系求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，⊙O即为所求作的圆形花坛的位置；
（2）连接AO，CO，
∵∠ABC=45°，
∴∠AOC=2∠ABC=45°×2=90°，
∵AC=4米，
∴AO=AC=×4=2米．
即小明家圆形花坛的半径长2米．

18．在1个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外，其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，若从中任意摸出一个球，这个球是白色的概率为0.5．
（1）求口袋中红球的个数；
（2）若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球，不放回，再找出一个画树状图的方法求甲摸的两个球且得2分的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）首先设口袋中红球的个数为x；然后由从中任意摸出一个球，这个球是白色的概率为0.5，根据概率公式列方程即可求得口袋中红球的个数；
（2）根据题意画树状图，根据题意可得当甲摸得的两个球都是白球或一个黄球一个红球时得2分，然后由树状图即可求得甲摸的两个球且得2分的概率．
【解答】解：（1）设口袋中红球的个数为x，
根据题意得： =0.5，
解得：x=1，
∴口袋中红球的个数是1个；
（2）画树状图得：
∵摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，
∴当甲摸得的两个球都是白球或一个黄球一个红球时得2分，
∴甲摸的两个球且得2分的概率为： =．

19．如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，若∠C=45°，
（1）求∠ABD的度数．
（2）若∠CDB=30°，BC=3，求⊙O的半径．
【考点】圆周角定理；等腰直角三角形．
【分析】（1）求出∠A的度数，继而在Rt△ABD中，可求出∠ABD的度数；
（2）连接AC，则可得∠CAB=∠CDB=30°，在Rt△ACB中求出AB，继而可得⊙O的半径．
【解答】解：（1）∵∠C=45°，
∴∠A=∠C=45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=45°；
（2）连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=∠CDB=30°，BC=3，
∴AB=6，
∴⊙O的半径为3．

20．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【考点】二次函数的性质．
【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．
【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，
解得：m=2，
∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．

21．已知：如图，在半径为2的半圆O中，半径OA垂直于直径BC，点E与点F分别在弦AB、AC上滑动并保持AE=CF，但点F不与A、C重合，点E不与A、B重合．
（1）求四边形AEOF的面积．
（2）设AE=x，S△OEF=y，写出y与x之间的函数关系式，求x取值范围．
【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）先根据BC为半圆O的直径，OA为半径，且OA⊥BC求出∠B=∠OAF=45°，再根据全等三角形的判定定理得出△BOE≌△AOF，再根据S四边形AEOF=S△AOB即可得出答案；
（2）先根据圆周角定理求出∠BAC=90°，再根据y=S△OEF=S四边形AEOF﹣S△AEF即可得出答案．
【解答】解：（1）∵BC为半圆O的直径，OA为半径，且OA⊥BC，
∴∠B=∠OAF=45°，OA=OB，
又∵AE=CF，AB=AC，
∴BE=AF，
∴△BOE≌△AOF
∴S四边形AEOF=S△AOB=OB•OA=2．
（2）∵BC为半圆O的直径，
∴∠BAC=90°，且AB=AC=2，
y=S△OEF=S四边形AEOF﹣S△AEF=2﹣AE•AF=2﹣x（2﹣x）
∴y=x2﹣x+2（0＜x＜2）．

22．某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30＜m≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围．
【考点】二次函数的应用；分段函数．
【分析】（1）根据收费标准，分0＜x≤30，30＜x≤m，m＜x≤100分别求出y与x的关系即可．
（2）由（1）可知当0＜x≤30或m＜x＜100，函数值y都是随着x是增加而增加，30＜x≤m时，y=﹣x2+150x=﹣（x﹣75）2+5625，根据二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）y=．
（2）由（1）可知当0＜x≤30或m＜x＜100，函数值y都是随着x是增加而增加，
当30＜x≤m时，y=﹣x2+150x=﹣（x﹣75）2+5625，
∵a=﹣1＜0，
∴x≤75时，y随着x增加而增加，
∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，
∴30＜m≤75．

23．如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M′．
①写出点M′的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值；
（2）设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化；
（3）①由（2）可知m=，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值；
②可将求d1+d2最大值转化为求AC的最小值．
【解答】解：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，
∴y=3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=﹣1，
∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；
（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，
∴0=﹣x2+2x+3，
∴x=﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
令y=0代入y=﹣3x+3，
∴x=1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
S=S四边形OAMB﹣S△AOB
=S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
=×m×3+×1×（﹣m2+2m+3）﹣×1×3
=﹣（m﹣）2+
∴当m=时，S取得最大值．
（3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）；
②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，
根据题意知：d1+d2=BF，
此时只要求出BF的最大值即可，
∵∠BFM′=90°，
∴点F在以BM′为直径的圆上，
设直线AM′与该圆相交于点H，
∵点C在线段BM′上，
∴F在优弧上，
∴当F与M′重合时，
BF可取得最大值，
此时BM′⊥l1，
∵A（1，0），B（0，3），M′（，），
∴由勾股定理可求得：AB=，M′B=，M′A=，
过点M′作M′G⊥AB于点G，
设BG=x，
∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2=M′A2﹣AG2，
∴﹣（﹣x）2=﹣x2，
∴x=，
cs∠M′BG==，
∵l1∥l′，
∴∠BCA=90°，
∠BAC=45°
方法二：过B点作BD垂直于l′于D点，过M点作ME垂直于l′于E点，则BD=d1，ME=d2，
∵S△ABM=×AC×（d1+d2）
当d1+d2取得最大值时，AC应该取得最小值，当AC⊥BM时取得最小值．
根据B（0，3）和M′（，）可得BM′=，
∵S△ABM=×AC×BM′=，∴AC=，
当AC⊥BM′时，cs∠BAC===，
∴∠BAC=45°．

2017年1月18日