【开学考】2024秋高二上册开学摸底考试卷数学（北京专用）.zip

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一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
/ 12. （第一空3分，第二空2分）
13 . 14. 15.①④（答对一个给3分，全对给5分）
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（13分）
【解】解：（1）因为，
所以，（6分）
（2）设与夹角为，则
，（8分）
因为，所以，
所以与夹角的大小为，（9分）
（3）因为，
所以，（11分）
所以（13分）
17．（13分）
【解】（1）
如图所示，连接，交于点，
在正方体中，平面，而平面，
所以，（3分）
又因为在正方形中，，且注意到，平面，
所以平面，（3分）
而平面，
所以；（8分）
（2）
如图所示，连接，（9分）
因为分别为的中点，所以，（11分）
而平面，平面，（12分）
从而平面.（13分）
18．（14分）
【解】（1）在中，由正弦定理得（4分）
因为，所以，（6分）
由余弦定理得，代入，
解得或（舍）（8分）
（2）由余弦定理推论得，（10分）
因为，所以角；（11分）
因此的面积为.（14分）
19．（15分）
【解】（1）解：由题意知，样本中高一学生共有人，其中选择历史学科的学生有人，
故估计高一年级选历史学科的学生有人．（5分）
（2）解：应从样本中三个年级选历史的学生中分别抽取人数为1，2，2，
编号为，，，，，（6分）
从这5名运动员中随机抽取2名参加比赛，所有可能的结果为，
，，，，，，，，，共10种，
设为事件“这2名参赛同学来自不同年级”，（8分）
则为事件“这2名参赛同学来自相同年级”有，，，共2种，（10分）
所以事件发生的概率．（12分）
（3）解：，
，
，
，
，
，
当取得最大值时，．（15分）
20．（15分）
【解】（1）在中，因为，则，
整理得，且，所以.（6分）
（2）由正弦定理得,
,
,
,
于是,（8分）
又，故，所以或，（10分）
因此（舍去）或，所以.（12分）
（14分）
所以是等腰直角三角形.（15分）
21．（15分）
【解】（1）因为，所以，（1分）
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，（2分）
因为三棱柱，所以四边形是平行四边形，（3分）
因为，所以是菱形，所以，（4分）
因为，，平面，所以平面，（5分）
因为平面，所以；（6分）
（2）若选择条件①：
（ⅰ）因为，所以平行四边形为矩形，所以，（7分）
由（1）知，，
因为，，平面，所以平面，（8分）
因为平面，所以平面平面；（9分）
（ⅱ）因为平面，平面，
所以直线与平面所成的角为，所以，（10分）
因为，所以，，，，（11分）
作于，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以.（12分）
作于，连接，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以是二面角的平面角.（13分）
因为，所以，（14分）
因为，所以，所以，
所以二面角的正弦值为.（15分）
若选择条件②：，因为，
所以，所以，
由（1）知，，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；（9分）
（ⅱ）因为平面，平面，
所以直线与平面所成的角为，所以，
因为，所以，，，，
作于，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以.
作于，连接，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以是二面角的平面角.（13分）
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以二面角的正弦值为.（15分）
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
C
C
B
A
D
A
D
C
B
D