湖北省武汉市东西湖区2025届高三8月适应性考试数学试卷(含答案)

这是一份湖北省武汉市东西湖区2025届高三8月适应性考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,.若,则实数( )
A.B.C.D.
2．若复数z满足,则( )
A.B.C.D.
3．若,是夹角为的两个单位向量,与垂直,则( )
A.B.C.D.
4．已知,,,,则( )
A.B.C.D.
5．已知圆锥的高为6,体积为高的倍,用平行于圆锥底面的平面截圆锥,得到的圆台高是3,则该圆台的体积为( )
A.B.C.7D.9
6．已知函数,若,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
7．已知函数,其图象与直线相邻两个交点的距离为,若对任意恒成立,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．已知定义在R上的函数满足,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究,应用与推广,创建了超级杂交稻技术体系,为我国粮食安全,农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高,得出株高（单位:cm）近似服从正态分布.已知时,有,,.下列说法正确的是( )
A.该地水稻的平均株高约为100cm
B.该地水稻株高的方差约为100
C.该地株高超过110cm的水稻约占68.27%
D.该地株高低于的水稻约占99.87%
10．对于函数，下列说法正确的是( )
A.在上单调递增，在上单调递减
B.若方程有4个不等的实根，则
C.当时，
D.设，若对，，使得成立，则
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,例如：四叶草曲线就是其中一种,其方程为,则( )
A.曲线C有两条对称轴
B.曲线C上的点到原点的最大距离为
C.曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为
D.四叶草面积小于
三、填空题
12．已知过原点的直线与双曲线（，）交于M，N两点，点M在第一象限且与点Q关于x轴对称，，直线NE与双曲线的右支交于点P，若，则双曲线的离心率为__________.
13．已知直线是曲线和的公切线，则实数__________.
14．著名数学家欧几里得的《几何原本》中曾谈到:任何一个大于1的整数要么是质数,要么可以写成一系列质数的积,例如.已知,且,,,…,均为质数,若从,,,…,中任选2个构成两位数,且,则的十位数字与个位数字不相等的概率为________.
四、解答题
15．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,的面积为S,已知,.
（1）求角B;
（2）若,求S的值.
16．已知椭圆,过左焦点F且斜率大于0的直线l交E于A,B两点,AB的中点为G,AB的垂直平分线交x轴于点D.
（1）若点G纵坐标为,求直线GD的方程;
（2）若,求的面积.
17．如图,在直三棱柱中,E是上的点,且平面.
（1）求证:平面;
（2）若,,,P是棱AC上且靠近C的三等分点,求点A到平面的距离.
18．已知函数.
（1）当时,若有两个零点,求实数a的取值范围;
（2）当时,若有两个极值点,,求证:;
（3）若在定义域上单调递增,求的最小值.
19．有穷数列,,…,中,令,
（1）已知数列,2,,3,写出所有的有序数对,且,使得;
（2）已知整数列,,…,,n为偶数,若,满足:当i为奇数时,;当i为偶数时,.求的最小值;
（3）已知数列,,…,满足,定义集合.若且为非空集合,求证:.
参考答案
1．答案：C
解析：因为,所以直线与
直线平行,所以.
故选:C.
2．答案：C
解析：由,得.
故选:C.
3．答案：B
解析：由题意有,
又因为与垂直,
所以,
整理得,解得.
故选:B.
4．答案：A
解析：因为,,
所以,
解得,
所以,
又,,所以,所以.
故选:A
5．答案：C
解析：如下图所示:
易知圆锥的高,圆台的高,
设圆锥的底面圆半径为,则;
所以,解得;
可得圆台下底面圆面积为,上底面圆面积为,
所以该圆台的体积为.
故选:C
6．答案：D
解析：因为当时,是单调递增函数,此时,
当时,是单调递增函数,此时,
所以是定义在上的单调递增函数,
所以若即,
则,,
故选:D.
7．答案：A
解析：函数,其图象与直线相邻两个交点的距离为,
,.
若对任意恒成立,则时,恒成立,
由得,,即,,
所以,
所以,求得,又,所以,
故选:A.
8．答案：D
解析：,
,
,
,
,
,
,
故选:D
9．答案：ABD
解析：由题意可知,,,故A,B正确;
由题意得,
所以,故C错误;
所以,故D正确;
故选:ABD.
10．答案：BD
解析：函数，.
，
可得函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.
大致图象如图，
A.由上述分析可得A不正确.
B.若方程有4个不等的实根，
则，且时，有2个不等的实根，则，因此正确.
C.由函数在单调递减，
可得函数在单调递增，
因此当时，，
即，因此不正确；
D.设函数的值域为G，函数的值域为E.
，对，.
对，.
，若对，，使得成立，
则，因此正确.
故选BD.
11．答案：BCD
解析：对于A：当x变为时,不变,所以四叶草图象关于y轴对称;
当y变为时,不变,所以四叶草图象关于x轴对称;
当y变为x时,不变,所以四叶草图象关于轴对称;
当y变为时,不变,所以四叶草图象关于轴对称;
综上可知：有四条对称轴,错误;
对于B：因为,所以,
所以,所以,
取等号时,所以最大距离为,正确;
对于C：设任意一点,所以围成的矩形面积为xy,
因为,所以,所以,
取等号时,所以围成矩形面积的最大值为,正确;
对于D：由B可知,所以四叶草包含在圆的内部,
因为圆的面积为：,所以四叶草的面积小于,正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：设，，则，，根据可得，
则.
因为，所以，又，所以.
故双曲线的离心率.
13．答案：3
解析：设直线l与曲线相切于点，由，得，因为l与曲线相切，所以消去，得，解得.设l与曲线相切于点，由，得，即，因为是l与曲线的公共点，所以消去，得，即，解得.
14．答案：
解析：,可得,,,,
若从,,,中任选2个构成两位数,且数(,且,),
则有,,,,,共6个,
则十位数字与个位数字不相等的有35,37,35,37,57共5个,
所以的十位数字与个位数字不相等的概率为.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）
解析:（1）因为,所以,
所以,即,于是.
又,所以.
（2）,
因为,所以,故,
因为,所以.
由正弦定理得,解得.
所以
.
16．答案：（1）或;
（2）.
解析：设,,,,由题意,可设直线,
（1）将直线AB方程代入椭圆方程,
得,
所以,,
由,得,
解得:或.
当时,,,直线DG方程为,
当时,,,直线DG方程为,
综上所述,直线DG方程为或.
（2）由,得,
,
.
代入②式得,解得或（舍去）,
于是,
所以.
17．答案：（1）证明见解析
（2）.
解析：（1）平面平面,,
在直三棱柱中,底面,平面,
,又,,平面,
平面,即平面,
,平面.
（2）由（1）知平面,又在平面内,
,即,
又由直棱柱知平面APB,平面APB,,
作于M,于是,与相似,
,,,,
,即,
是棱AC上且靠近C的三等分点,
,,,得,
设点A到平面的距离为h,,
,得,
点A到平面的距离为.
18．答案：（1）
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）设,则,
在上单调递减,上单调递增,上单调递减,
,,
,当时,,
所以在上,上各有一个零点,
时有两个零点;
（2）（法一）
,设,则,
在上单调递增,在上单调递减,,
,,,
要证,只要证,只要证,
只要证,在上恒正即可,
而
,
在上递增,,成立;
（法二）,则,
由题意可得:在有两个不等的实根,,
即,
,
下证:对均不等式,
不妨设,则,令,
证即证,
即证在成立,设,
,
所以在上单调递减,可得,
即,可得,
由对均不等式可得:,
,故;
（3）（法一）恒成立,
恒成立,
,
当且仅当时,有最大值（这时即为极大值）,
设的极大值点为,则,
,
,
而,
在上减,在上单调递增,在上单调递减,
,
这时;
（法二）恒成立,
它表示以为动点的直线及其上方的点,
表示以为动点的抛物线,两者有公共点,
,
消去得,
恒成立,
,
在上单调递增,在上单调递减,
,
当且仅当时取等号.
19．答案：（1）,,,
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）为时,,
为时,,
为时,,
为时,,
故,且使得的有序数对有,,,;
（2）由题意可得,,
又为整数,故,,
则,
同理可得,
即有,
同理可得,当时,有,
即当时,有,
当时,,
故
;
（3）对于数列,,…,,,不妨设,
①首先考虑,的情况,
由于,,故,同理,,,
故.
②再考虑,,…,中有连续一段是连续的正整数的情况,
此时,,,,,…,,,
因为,,
故这说明此连续的项的和为负.
同理,当含有多段的连续正整数的情况时,每段的和为负,
再由①中结论,可得.
③若在①②中,由于,
此时去掉前m项,则可转化①②的情况,所以有.
④若,则,
所以此时有,
综上,结论成立.