湖南省沅陵县第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省沅陵县第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知三条直线，，满足且，则与( )
A.平行B.垂直C.共面D.异面
2．已知圆M的圆心为，且经过圆与圆的交点.则圆M的面积为( )
A.B.C.D.
3．某班主任对全班50名学生进行了作业量的评价调查，所得数据如表所示：
则认为作业量的大小与学生的性别有关的犯错误的概率不超过( )
D.无充分证据
4．定义在R上的函数满足，当时，，若，则实数t的取值范围是( )
A.B.C.D.
5．将6名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行服务，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A.480种B.1080种C.1560种D.2640种
6．已知，，，则( )
A.B.C.D.
7．已知,,是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是( )
A.B.C.2D.
8．设数列的各项均为非零的整数，其前n项和为.若为正偶数，均有，且，则的最小值为( )
A.0B.22C.26D.31
二、多项选择题
9．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高X（单位：cm）的情况，得出，则下列说法正确的是( )
A.该地水稻株高的方差为10
B.若，则
C.随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
D.随机测量一株水稻，其株高在和株高在（单位：cm）的概率一样大
10．设，则下列选项正确的是( )
A.B.
C.D.
11．在平面直角坐标系中，有两个圆和，其中，为正常数，满足或，一个动圆P与两圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程可以是( )
A.两个椭圆B.两个双曲线
C.一个双曲线和一条直线D.一个椭圆和一个双曲线
三、填空题
12．已知数列为等比数列，，，则________.
13．已知直线与抛物线交于A,B两点，且(O为原点)，则抛物线方程为________.
14．已知曲线与曲线关于直线对称，则与两曲线均相切的直线的方程为________.
四、解答题
15．记数列的前n项和为，对任意，有.
（1）证明：是等差数列；
（2）若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围.
16．已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足.
（1）求{}和{}的通项公式；
（2）若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围.
17．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，M为的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
18．《中华人民共和国老年人权益保障法》规定，老年人的年龄起点标准是60周岁.为解决老年人打车难问题，许多公司均推出老年人一键叫车服务.某公司为调查老年人对打车软件的使用情况，在某地区随机抽取了100位老年人，调查结果整理如下：
（1）从该地区的老年人中随机抽取1位，试估计该老年人的年龄在且未使用过打车软件的概率；
（2）从参与调查的年龄在且使用过打车软件的老年人中，随机抽取2人进一步了解情况，用X表示这2人中年龄在的人数，求随机变量X的分布列及数学期望；
（3）为鼓励老年人使用打车软件，该公司拟对使用打车软件的老年人赠送1张10元的代金券，若该地区有5000位老年人，用样本估计总体，试估计该公司至少应准备多少张代金券.
19．设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）已知直线与曲线交于三点，，，且.
（i）若，，成等差数列，求k；
（ii）证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：若且,根据空间直线垂直的定义,可得,不平行,有可能共面,也有可能异面.故选B.
2．答案：B
解析：设两圆交点为A,B,由方程组,求得,或,故点、,又圆M的圆心为,
可得圆的半径.
故圆M的面积为:.
故选:B.
3．答案：B
解析：因为,又
所以认为作业量的大小与学生的性别有关的犯错误的概率不超过0.05.
故选：B
4．答案：D
解析：设，,，故是偶函数,
当时,,则,故在单调递增,
若,
则,
则,由是偶函数得，
而在上递增,故,解得:,
故选:D.
5．答案：C
解析：6名北京冬奥会志愿者分4组，有1，1，1，3和2，2，1，1两种分组方法，当为1，1，1，3时，有种;当为2，2，1，1时，有种，共有种不同的分配方案.故选:C.
6．答案：A
解析：令,则,所以在R上单调递增,
所以当时,,即当时,,
所以,即,
又因为,所以,
综上所述:.
故选:A.
7．答案：B
解析：设，，，
则由题意得：
，所以，所以
又因为
所以:
所以:
所以就是点到点的距离
所以的最小值是
所以的最小值是
故选B
8．答案：B
解析：因为,所以，互为相反数,不妨设，,
为了取最小值,取奇数项为正值,取偶数项为负值,且各项尽可能小,
由题意知,满足,取的最小值为,
满足,因为，,故取的最小值,
满足,因为,
,故取的最小值,
同理,取的最小值,
所以
满足,取的最小值,
满足,因为,所以,取的最小值,
满足,因为,所以,取的最小值,
同理,取的最小值,
所以
所以,
因为数列的各项均为非零的整数，,
所以当时,有最小值22.
故选:B.
9．答案：BC
解析：因为,所以,对于,因为,所以方差为100,所以A错误;
对于B,因为,
,所以,解得,所以B正确;
对于C,因为,由正态密度曲线的性质,则，，即，
所以随机测量一株水稻,其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大,所以C正确;
对于D,因为,由正态密度曲线的性质,,
又,即所以随机测量一株水稻,其株高在比株高在(单位:cm)的概率小,所以D错误.
故选:BC
10．答案：AB
解析：令,所以,所以原式可变形为，
所以,故A正确;
令,则,故B正确;
令,则,
令,则,所以,故C不正确;
令,则
所以,故D不正确.
故选:AB.
11．答案：BCD
解析：根据题意圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,所以,设圆P的半径为r,
（1）当,即两圆外离时,动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切,
①均内切时,,此时,
当时,此时p点的轨迹是以,为焦点的双曲线,
当时,此时点P在,的垂直平分线上.
②均外切时,,此时
此时P点的轨迹是与①相同.
③与一个内切与一个外切时,不妨设与圆内切,与圆外切,
,,,
与圆内切,与圆外切时,同理得,
此时点P的轨迹是以,为焦点的双曲线，与①中双曲线不一样.
(2)当,两圆相交,动圆P可能与两圆均内切或均外切或一个内切一个外切,
④均内切时轨迹和①相同.
⑤均外切时轨迹和①相同.
⑥与一个内切另一个外切时,不妨设与圆内切,与圆外切,
，，，
此时点P的轨迹是以,为焦点的椭圆.
与圆内切,与圆外切时,同理得
,
此时点P的轨迹是以,为焦点的椭圆.
故选:BCD.
12．答案：12
解析：数列为等比数列,,,由等比数列的性质得:
,,成等比数列,则.
故答案为:12.
13．答案：
解析：由已知,联立方程组,
消元得:,
设,,
则,,
因为,所以,
又,
故,解得,
抛物线方程为.
故答案为:.
14．答案：
解析：设曲线上任一点的坐标为,
该点关于直线的对称点为,,且,,
两曲线分别为,,设曲线上的切点为,曲线上的切点为,又的导函数为,的导函数为,
则根据题意可得
,
两式整理得,,解得,所以,
曲线与曲线的公切线的公切点为,
切线的斜率为1,
与两曲线均相切的直线的方程为.
故答案为:.
15．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）因为①，则②
①－②可得，
故为公差是的等差数列.
（2）当且仅当时,取得最大值,则,即,,解得,
的取值范围为.
16．答案：（1）；
（2）
解析：等差数列中,设公差为d,
则
数列中的前n项和为,且①,
当时,,
当时,②,
②-①得,
故数列是以1为首项,3为公比的等比数列,
所以;
（2）因为对恒成立.
当n为奇数时,
当n为偶数时,
综上：实数m的取值范围为.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，，，
，，.
设平面PCD的一个法向量为，则，
即，不妨令，则，，
所以，
设平面PAC的一个法向量为，则，
即，不妨令，则，，
所以，
因为，
所以，所以平面平面.
（2）由（1）知,，
因为,所以,
所以,解得,
故,所以,
设直线与平面所成的角为,
则,
18．答案：（1）
（2）
（3）3900张
解析：（1）在随机抽取的100位老年人中,年龄在且未使用过打车软件的人数为,所以随机抽取的这1位老年人的年龄在且末使用过打车软件的概率.
（2）由题可知，X的所有可能取值为0,1,2,
且，，，
所以X的分布列为:
故X的数学期望
（3）在随机抽取的100位老年人中,使用过打车软件的共有(人),所以估计该公司至少应准备张代金券.
19．答案：（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）（i）；（ii）证明见解析
解析：（1）易得,令,得；令,得,故的单调递增区间为和,单调递减区间为;
（2）（i）令,即,故一个交点为原点.
设,则,
令,解得,令,解得
故在上单调递减,在上单调递增,
当时,,当时,,则，，，
由，，成等差数列得,,则,且，,故有,即,解得(舍去),
则,则;
（ii）证明:要证,即证
又在上单调递减,即证,即证,
，，
则，
故在上单调递增,故,则,故.
认为作业量大
认为作业量不大
总计
男生
18
9
27
女生
8
15
23
总计
26
24
50
年龄/岁
80岁以上
使用过打车软件人数
41
20
11
5
1
未使用过打车软件人数
1
3
9
6
3
X
0
1
2
P