湖南省岳阳市湘阴县2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省岳阳市湘阴县2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设，则在复平面内对应点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．已知向量，满足，，，则( )
A.B.C.1D.2
3．已知两条不同的直线m､l和两个不同的平面，，下列命题是真命题的为( )
A.若，，则B.若，，，则
C.若，，则D.若，，则
4．下列统计量中可用于度量样本，，，离散程度的有( )
A. ，，，的标准差B. ，，，的中位数
C. ，，，的众数D. ，，，的平均数
5．池州九华山是著名的旅游胜地.天气预报8月1日后连续四天，每天下雨的概率为0.6.现用随机模拟的方法估计四天中恰有三天下雨的概率：在0～9十个整数值中，假定0，1，2，3，4，5表示当天下雨，6，7，8，9表示当天不下雨.在随机数表中从某位置按从左到右的顺序读取如下40组四位随机数：
9533 9522 0018 7472 0018 3879 5869 3281 7890 2692
8280 8425 3990 8460 7980 2436 5987 3882 0753 8935
9635 2379 1805 9890 0735 4640 6298 8054 9720 5695
1574 8008 3216 6470 5080 6772 1642 7920 3189 0343
据此估计四天中恰有三天下雨的概率为( )
A.B.C.D.
6．已知集合，，若，则a的值为( )
A.1B.2C.1或2D.1或
7．若非零向量与满足，且，则为( ).
A.三边均不相等的三角形B.直角三角形
C.底边和腰不相等的等腰三角形D.等边三角形
8．将函数图象上各点横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位得到曲线C.若曲线C的图象关于原点对称，则函数的一条对称轴可以为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知i是虚数单位，则下列说法正确的有( ).
A.
B.“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件
C.若复数，且，则
D.若复数z满足，则复数z的虚部为-2
10．下列运算结果正确的是( ).
A.已知，，若，则
B.已知点，，，，则向量在方向上的投影数量为
C.已知向量，，若，则
D.，向量不共线，点P在线段上，且，则
11．已知正四棱柱的底面边为1,侧棱长为a,M是的中点,
则( )
A.任意,
B.存在,直线与直线BM相交
C.平面与底面交线长为定值
D.当时,三棱锥外接球表面积为
三、填空题
12．已知点，，，()，试求当点P在第三象限时，的取值范围________.
13．图（1）为棱长为1的正方体，若正方体内有两个球相外切且又分别与正方体的三个面相切，则两球半径之和为________.
14．某商场举行有奖促销活动，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个.设1张奖券中特等奖､一等奖､二等奖的事件分别为A，B，C，则1张奖券的中奖概率为__________.
四、解答题
15．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，.
（1）求在R上的解析式；
（2）判断的单调性，并解不等式.
16．如图所示，平行四边形边所在的直线与菱形所在的平面垂直，且，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，______，求二面角的余弦值，从①，②这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题.
17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求的值；
（2）若，，求的面积.
18．某机械零件工厂为了检验产品的质量，质检部门随机在生产线上抽取了100个零件并称出它们的重量（单位：克）.重量按照，，…，分组，得到频率分布直方图如图所示.
（1）估计该工厂生产的零件重量的平均数；（每组数据用该组的中点值作代表）
（2）估计该工厂生产的零件重量的分位数；
（3）按各组零件数量比例用分层随机抽样方法从样本里重量不低于525克的零件中抽取6个零件，再从这6个零件中任取2个，求这2个零件的重量均在内的概率.
19．党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态.为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目现统计了4月份200名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；
（2）从（1）中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；
（3）为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，
方案一：每满80元可立减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折.
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案更优惠.
参考答案
1．答案：C
解析：由得，则对应点位于第三象限.故选C.
2．答案：C
解析：，
又，，，
9，
故选：C.
3．答案：B
解析：两条不同的直线m、l和两个不同的平面，，对于A，若，，则l与相交、平行或，故A错误;
对于B，若，，，则由线面垂直的性质得，故B正确;
对于C，若，，则m与相交、平行或，故C错误;
对于D，若，，则或，故D错误.
故选:B.
4．答案：A
解析：中位数是反应数据的变化，
方差是反应数据与均值之间的偏离程度，极差是用来表示统计资料中的变异量数，反应的是最大值与最小值之间的差距，平均数是反应数据的平均水平，故能反应一组数据离散程度的是标准差，极差.故选:A.
5．答案：B
解析：在40组四位随机数中，的整数恰出现3次的四位数有16组，故四天中恰有三天下雨的概率的估计值为.故选:B.
6．答案：C
解析：，，，或，或，
综上所述，答案选择:C
7．答案：D
解析：由，知，
中，的平分线与边BC垂直，.
又，.
，，为等边三角形，故选D.
8．答案：B
解析：将函数图象上各点横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位得到曲线C的函数解析式为，
因为曲线C的图象关于原点对称，所以，
所以，因为，所以，
所以，
令，
所以函数的对称轴方程为，，
当时，.
故选:B.
9．答案：ABD
解析：，则，故A正确.
由推不出是纯虚数，如，
，此时，为实数，故充分性不成立；
由为纯虚数，得，故必要性成立，
故"是"复数是纯虚数"的必要不充分条件，故B正确.
对于C，，解得，故C错误.
对于D，设，则，
则，故，解得
故z的虚部为，故D正确.
故选:ABD.
10．答案：ABCD
解析：对于A，，，，，解得，故A正确;对于B，点，，，，
，，
则向量在方向上的投影为，故B正确;
对于C，向量，，
，，
，
，解得，故C正确;
对于D，，向量不共线，点P在线段上，且，
，
，不共线，点P在线段上，
，解得，
此时有，
点P在线段靠近B点的三等分点上，符合要求，则，故D正确.
故选:ABCD.
11．答案：AC
解析：对于A,,,,,平面,
平面,平面,,故正确;
对于B,因为平面,平面,
所以平面,
与异面,故不相交,故错误;
对于C,延长BM,交于N点,连接交于P,M为中点,
,
所以,
所以,,
所以,
平面平面,
平面与底面交线为,
其中P为中点,所以,故正确对;
对于D,,是直角三角形,外接圆是以为直径的圆,
圆心设为,半径,
取中点Q,则平面,,
所以,
所以,
,故错误.
故选：AC.
12．答案：
解析：解得，设点，则，于是，即又点P在第三象限，所以解得.所以的取值范围为.
13．答案：.
解析：如图（2），作出正方体的体对角面，易知球心和在上，
过点，分别作，的垂线，垂足分别为E，F.
设球的半径为r，球的半径为R，
由，，得，
，
故答案为:
14．答案：或0.061
解析：1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖，
设事件"1张奖券中奖"，
则，
事件A，B，C两两互斥，
故1张奖券的中奖概率为.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）或
解析：（1）函数是定义在R上的奇函数，
，，，，
设，，
又当时，.
，，，
当时，，，
（2）由（1）可知，函数在R上单调递增，
，，，或，
不等式的解集为或.
16．答案：（1）证明见解析；
（2）选①，二面角的余弦值为；
选②，二面角的余弦值为
解析:（1），，是等边三角形。
，G为的中点，故，
.平面，.
，平面，平面，
平面平面.
（2）选①，由（1）知平面，
，，，
平面平面，平面，
平面，平面，
，，
是二面角的平面角，
，，
，，，
二面角的余弦值为.
选②，由（1）得平面，
，，，
平面平面，
平面，
平面，平面，，，
即为二面角的平面角，
，，，
，二面角的余弦值为
17．答案：（1）
（2）2
解析：（1）由，
得.
则，即，
又，则.
（2）由正弦定理，有，
所以，
由题知，则，故，
根据余弦定理，有，
解得或(负值舍去).
.
18．答案：（1）；
（2）；
（3）.
解析：（1）根据题意，，解得.
即各个小组的频率分别为0.15，0.2，0.35，0.25，0.05.
估计该工厂生产的零件重量的平均数约为
（2）设分位数为x，因为前三组频率和为0.7，前四组频率和为0.95，所以，
因此，可估计该工厂生产的零件重量的分位数约为.
（3）由条件知6个零件中，重量在内的零件个数为5，分别记为A，B，C，D，E；重量在内的零件个数为1，记为f.
从中随机抽取2个，样本空间为
，
所以
设"这2个零件的重量均在内"为事件M，
则
所以.
19．答案：（1）2；
（2）；
（3）应该选择方案二更优惠.
解析：（1）样本中，"水果达人"的频率为，
所以样本中"水果达人"的人数为，如图可知，消费金额在与的人数比为，
其中消费金额不低于100元的人数为人，
所以，抽取的5人中消费金额不低于100元的人数
（2）由（1）得，抽取的5人中消费金额低于100元的有3人，记为A，B，C
消费金额不低于100元的有2人，记为a，b
所有基本事件如下:，共有10种，其中满足题意的有7种，所以.