内蒙古自治区第二地质中学2023-2024学年高二上学期12月第二次阶段测试（期中）数学试卷(含答案)

这是一份内蒙古自治区第二地质中学2023-2024学年高二上学期12月第二次阶段测试（期中）数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2．直线过定点A，则点A的坐标为( )
A.B.C.D.
3．设P是双曲线上一点,,分别是双曲线左、右两个焦点,若,则等于( )
A.-5B.11C.15D.5
4．已知点,,则点P的坐标为( )
A.B.C.D.
5．中国是世界上最古老的文明中心之一,中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器,中国陶瓷是世界上独一无二的,它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术,陶瓷形状各式各样,从不同角度诠释了数学中几何的形式之美,现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据,则该椭圆瓷盘的离心率为( )
A.B.C.D.2
6．点到双曲线的一条渐近线的距离为( )
A.4B.3C.5D.
7．圆上的点到直线的距离的最大值为( )
A.B.C.D.0
8．已知椭圆的左、右焦点分别是,,A,B是椭圆C上关于原点对称的两点,且,若,则椭圆C的离心率是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．己知双曲线,下列对双曲线C判断正确的是( )
A.实轴长是虚轴长的2倍B.焦距为2
C.离心率为D.渐近线方程为
10．已知,,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
11．已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，
，则下列结论正确的是( )
A.的周长为16B.
C.点P到x轴的距离为D.
12．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A.
B.
C.向量与的夹角是
D.与AC所成角的余弦值为
三、填空题
13．过点,的直线方程是______________________.
14．若向量与向量共线,则x的值为___________.
15．已知点,直线l过点,且l的一个方向向量为则点P到直线l的距离为________________.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为、,上顶点为A.若为正三角形,则该椭圆的离心率为_______________.
四、解答题
17．已知椭圆的一个焦点为.
（1）求出椭圆C的方程;
（2）求出椭圆C的长轴长和离心率.
18．已知圆与圆交于A、B两点.
（1）求两圆公共弦AB所在直线的方程;
（2）求公共弦的弦长.
19．己知圆,圆.若动圆C与圆外切,且与圆内切.
（1）求圆和圆的圆心和半径
（2）求动圆的圆心C的轨迹方程.
20．已知椭圆的离心率为,焦距为,斜率为k的直线与椭圆M有两个不同的交点A,B.
（1）求椭圆M的方程;
（2）若直线过椭圆的上顶点,且,求的值.
21．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，，M是BC的中点，点Q在PM上，且.
(1)证明：平面PAM；
(2)求平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值.
22．图,在长方体中,,,点E在棱AB上移动.
（1）求证：;
（2）当点E为棱AB的中点时,求点到平面的距离;
（3）当AE为何值时,平面与平面AECD所成角为?
参考答案
1．答案：A
解析：设直线的倾斜角为,
将直线 化为斜截式可得 ,
即直线斜率为 ;所以 , 又, 所以.
故选:A
2．答案：D
解析：直线可化简为，
故可得，可得，
故可得直线过定点.
故选:D.
3．答案：B
解析：由知,,
由双曲线定义知: ,故或-5, 故舍去.
故选:B.
4．答案：A
解析：设,
因为,,
所以,,
因为,所以,
所以 , 解得 , 即.
故选:A.
5．答案：B
解析：由题意椭圆长轴长为8,短轴长为4,可知,,
则 ,
所以椭圆的离心率为:.
故选:B.
6．答案：B
解析：双曲线 中,,且焦点在x轴上,
所以渐近线方程为, 即 ,由对称性可知, 点 到两条渐近线的距离相等,
不妨求点到的距离, 得 .
故选:B.
7．答案：A
解析：圆心O到直线 的距离,即直线和圆相交,
则圆 上的点到直线 的距离的最大值为 .
故选:A.
8．答案：D
解析：
9．答案：CD
解析：
10．答案：AD
解析：
11．答案：ABC
解析：依题意，，，，，.
所以三角形的周长为，A选项正确，
设，，
所以，
整理得，
所以，B选项正确，
设P到x轴的距离为h，则，，C选项正确，
，D选项错误.
故选：ABC.
12．答案：AB
解析：因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以，
，
则，所以A正确；
，所以B正确；
显然为等边三角形，则..
因为=，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，所以C不正确；
因为，，
所以||==6，||==6，
·=(+-)·(+)=36，
所以cs<>===，所以D不正确.
故选：AB.
13．答案：
解析：,故过点,的直线方程是 ,即 .
14．答案：3
解析：因为向量 与向量 共线,
所以 ,解得,
故答案为: 3
15．答案：
解析：易知,所以点P到直线l的距离为.
故答案为：.
16．答案：
解析：如图所示,
，为正三角形.
,
可得椭圆离心率.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）由焦点坐标为,所以椭圆焦点在x轴上,
所以,椭圆方程为：.
（2）由第一问,得,,
所以椭圆的离心率为,长轴长.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）两圆公共弦所在直线的方程为即,.
（2）到直线的距离,
所以公共弦长为.
19．答案：（1）圆的圆心为,半径为1;
圆的圆心为,半径为3
（2）
解析：（1）设动圆C的半径为R,
动圆C与圆外切且与圆内切,
,,
而,由椭圆的定义可知,动点C在以,为焦点,4为长轴长的椭圆上,
（2）设椭圆的方程为,半焦距为c,
则,,.
又可知圆与圆内切,∴点C不能在切点处,即椭圆应去掉点.
曲线C的方程为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得.,
解得,,
椭圆M的方程为.
（2）因为,椭圆上顶点为,
所以直线l的方程为,设.
联立,得.
又直线l与椭圆M有两个不同的交点,
所以,,
.
21．答案：(1)证明见解析
(2).
解析：（1）证明：由题平面ABCD，底面ABCD为矩形，以D为原点，直线DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，，，
，，，
∵∴，
∵，∴，
∵，且AM，平面PAM，∴平面PAM.
（法二）证明：由题平面ABCD，底面ABCD为矩形，以D为原点，直线DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图：
则，，，，，，
设是平面PAM的一个法向量.
，.
取，有
，，
则，.
平面PAM.
（法三）证明：连接DM
平面ABCD，平面ABCD，.
在中，，.
，，且，
平面PDM，
又平面PDM，.
，又，
，.
且，且AM，平面PAM，平面PAM.
（2）（接向量法）由（1）可知平面PAM的法向量为（也可为）.
平面PCD的一个法向量为.
.
∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为.
（法二）延长AM，DC，交于点N，连接PN.
，平面PAM，，平面PCD.
∴平面平面.
过D做于T，连接AT.
平面ABCD，.
又，，
平面PCD，又平面PCD，.
又，，DT，平面ADT，
平面ADT，，
为二面角的平面角.
在中，，
.
∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为.
22．答案：（1）见解析
（2）
（3）
解析：（1）D为坐标原点,直线DA,DC,分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设,
则,,,,
因为,所以
所以.
（2）略
（3）略