2021-2022学年河南省洛阳市伊滨区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2021-2022学年河南省洛阳市伊滨区八年级下学期期中数学试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各式一定为二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．D．﹣1
4．已知平面直角坐标系内点P（1，2），Q（2，﹣3），那么线段PQ的长等于（ ）
A．5B．C．D．2
5．下列说法正确的是（ ）
A．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5则第三边的长度一定是4
B．三边长度分别为1，1，2的三角形是直角三角形，且1，1，是一组勾股数
C．三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形
D．一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形
6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简b的结果是（ ）
A．1B．b+1C．2aD．1﹣2a
7．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A．14B．16C．8+5D．14
8．如图，已知△ABC中，AB，AC＝3，BC＝1，AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD，则CD的长为（ ）
A．B．C．1D．
9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米
10．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）cm．
A．15B．C．12D．18
二、填空题（共5小题；共15分）
11．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．如果最简二次根式与可以合并，则x＝ ．
13．已知x＝2，代数式（7+4）x2+（2）x的值是 ．
14．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ °（点A，B，P是网格线交点）．
15．如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13．点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是 ．
三、解答题（共8小题；共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
17．如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′．
（2）△ABC的面积为 ；
（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，（在图形中标出点P）
18．先化简，再求值：，其中a＝2，b＝2．
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长．
20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝4，BD＝2，CD＝8．
（1）求证：∠BAC＝90°；
（2）P为BC边上一点，连接AP，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请求出BP的长．
21．一副直角三角板如图放置，点C在FD延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10．
（1）求∠CBD的度数；
（2）试求CD的长．
22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC，AE＝3，AF＝2．
（1）求BF的长度；
（2）求△ABE的面积．
23．学习了勾股定理和数的开方后，我们就能发现在部分特殊直角三用形中，直用边与斜边存在一些特殊的数量关系．例如：在等腰直角三角形中，两直角边相等，则有斜边平方等于一条直角边的平方的2倍，利用开方运算易得斜边是一条直角边的倍，因此若要解决线段之间的倍关系时，往往把问题放在等腰直角三角形中去思考；问题解决，如图CD⊥AB，垂足为A，且AB＝AC，D是CA延长线上一点，连接BD，点E是线段BD上的一点，连接CE交AB于点F，且BD＝CF．
（1）如图1，若BC＝6，则AC的长为 ；
（2）如图1，当点E是BD中点时，若BC＝6，求AF的长；
（3）如图2，连接AE，判断线段DE+EFAE是否成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题；共30分）
1．下列各式一定为二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，结合选项所给根式进行判断即可．
解：A、当x＝0时，被开方数是﹣1＜0，所以它不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、当x＜0时，它不是二次根式，故本选项不符合题意；
C、被开方数大于0，所以它是二次根式，故本选项符合题意；
D、当x＜﹣1时，被开方数是x+1＜0，它不是二次根式，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加法、乘法、除法和二次根式的性质逐一计算即可得．
解：A、2、3不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B、236，此选项错误；
C、22，此选项正确；
D、6，此选项错误；
故选：C．
3．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．D．﹣1
【分析】点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上，所以在直角△BOC中，根据勾股定理求得圆O的半径OA＝OB，然后由实数与数轴的关系可以求得a的值．
解：如图，点A在以O为圆心，OB长为半径的圆上．
∵在直角△BOC中，OC＝2，BC＝1，则根据勾股定理知OB，
∴OA＝OB，
∴a＝﹣1．
故选：A．
4．已知平面直角坐标系内点P（1，2），Q（2，﹣3），那么线段PQ的长等于（ ）
A．5B．C．D．2
【分析】根据点P（1，2），Q（2，﹣3），可以得到这两个点的横坐标的差和纵坐标的差，然后根据勾股定理可以求得PQ的长．
解：∵点P（1，2），Q（2，﹣3），
∴点P和点Q的横坐标的差为2﹣1＝1，纵坐标的差为：2﹣（﹣3）＝2+3＝5，
∴线段PQ的长为：，
故选：B．
5．下列说法正确的是（ ）
A．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5则第三边的长度一定是4
B．三边长度分别为1，1，2的三角形是直角三角形，且1，1，是一组勾股数
C．三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形
D．一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形
【分析】根据勾股数的定义及勾股定理的知识分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5则第三边的长度是4或，原命题错误，不符合题意；
B、因勾股数必须都是整数，故原命题错误，不符合题意；
C、∵122+352≠362，
∴三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形，错误，不符合题意；
D、A、一个三角形的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形，正确，符合题意．
故选：D．
6．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简b的结果是（ ）
A．1B．b+1C．2aD．1﹣2a
【分析】利用数轴得出a﹣1＜0，a﹣b＜0，进而利用二次根式的性质化简求出即可．
解：由数轴可得：a﹣1＜0，a﹣b＜0，
则原式＝1﹣a+a﹣b+b＝1．
故选：A．
7．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（ ）
A．14B．16C．8+5D．14
【分析】根据给出的运算程序计算即可．
解：当n时，n（n+1）＝215，
当n＝2时，n（n+1）＝8+515，
故选：C．
8．如图，已知△ABC中，AB，AC＝3，BC＝1，AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD，则CD的长为（ ）
A．B．C．1D．
【分析】根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用线段垂直平分线得出AD＝DB，进而利用勾股定理解答即可．
解：∵△ABC中，AB，AC＝3，BC＝1，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∵AB的垂直平分线分别交AC，AB于D，E，
∴AD＝DB，
设CD为x，AD＝DB＝3﹣x，
在Rt△CDB中，CD2+BC2＝DB2，
即x2+12＝（3﹣x）2，
解得：x，
即CD，
故选：B．
9．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，
∴BD2+22＝6.25，
∴BD2＝2.25，
∵BD＞0，
∴BD＝1.5米，
∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2米．
故选：C．
10．如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm．在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（ ）cm．
A．15B．C．12D．18
【分析】将圆柱沿过A的母线剪开，由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点F，使AF+CF最小，则先作出A关于杯口所在直线的对称点A'，连接A'C与杯口的交点即为F，此时AF+CF＝A'F+CF＝A'C，再利用勾股定理求A'C的长即可．
解：如图所示，将圆柱沿过A的母线剪开，
由题意可知，需在杯口所在的直线上找一点F，使AF+CF最小，
故先作出A关于杯口所在直线的对称点A'，连接A'C与杯口的交点即为F，此时AF+CF＝A'F+CF＝A'C，
根据两点之间线段最短，即可得到此时AF+CF最小，并且最小值为A'C的长度，
如图所示，延长过C的母线，过A'作A'D垂直于此母线于D，
由题意可知，A'D＝18÷2＝9（cm），
CD＝12﹣4+4＝12（cm），
由勾股定理得：A'C15（cm），
故蚂效到达蜂蜜的最短距离为15cm，
故选：A．
二、填空题（共5小题；共15分）
11．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥1，且x≠2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得：x﹣1≥0，再根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可．
解：由题意得：x﹣1≥0，且x﹣2≠0，
解得：x≥1，且x≠2，
故答案为：x≥1，且x≠2．
12．如果最简二次根式与可以合并，则x＝ 3 ．
【分析】根据同类二次根式的定义可得到2x+1＝7，然后解方程即．
解：∵，
而最简二次根式与可以合并，即它们是同类二次根式，
∴2x+1＝7，
∴x＝3．
故答案为3．
13．已知x＝2，代数式（7+4）x2+（2）x的值是 2 ．
【分析】首先不所求的式子化成（2）2x2+（2）x的形式，然后把x的值代入求解．
解：原式＝（2）2x2+（2）x
＝【（2）x】2+（2）（2）
＝【（2）（2）】2+（2）（2）
＝1+1
＝2．
14．如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝ 45 °（点A，B，P是网格线交点）．
【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
解：延长AP交格点于D，连接BD，
则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，
∴PD2+DB2＝PB2，
∴∠PDB＝90°，
∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，
故答案为：45．
15．如图，在Rt△ABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13．点D在边BC上，以AD为折痕将△ADB折叠得到△ADB′，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是 7或 ．
【分析】由勾股定理可以求出BC的长，由折叠可知对应边相等，对应角相等，当△DEB′为直角三角形时，可以分为两种情况进行考虑，分别利用勾股定理可求出BD的长．
解：在Rt△ABC中，BC12，
（1）当∠EDB′＝90°时，如图1，
过点B′作B′F⊥AC，交AC的延长线于点F，
由折叠得：AB＝AB′＝13，BD＝B′D＝CF，
设BD＝x，则B′D＝CF＝x，B′F＝CD＝12﹣x，
在Rt△AFB′中，由勾股定理得：
（5+x）2+（12﹣x）2＝132，
即：x2﹣7x＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝7，
因此，BD＝7．
（2）当∠DEB′＝90°时，如图2，此时点E与点C重合，
由折叠得：AB＝AB′＝13，则B′C＝13﹣5＝8，
设BD＝x，则B′D＝x，CD＝12﹣x，
在Rt△B′CD中，由勾股定理得：（12﹣x）2+82＝x2，解得：x，
因此BD．
故答案为：7或．
三、解答题（共8小题；共75分）
16．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）按照二次根式的混合运算法则，先括号里面，再乘除最后加减依次计算即可；
（2）按照乘法公式在依次计算次即可．
解：（1）原式＝3220；
（2）原式＝12﹣6﹣（3+44）＝12﹣6﹣3﹣44＝﹣1﹣4．
17．如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′．
（2）△ABC的面积为 5 ；
（3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，（在图形中标出点P）
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）利用分割法求三角形面积即可．
（3）连接CB′交直线l于点P，连接PB，此时PC+PB的值最小．
解：（1）△A′B′C′即为所求．
（2）S△ABC＝3×42×32×21×4＝5，
故答案为5．
（3）如图点P即为所求．
18．先化简，再求值：，其中a＝2，b＝2．
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后将a、b的值代入化简后的式子即可解答本题．
解：
＝1
，
当a＝2，b＝2时，
原式．
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，求EB′的长．
【分析】根据折叠得到BE＝EB′，AB′＝AB＝3，设BE＝EB′＝x，则EC＝4﹣x，根据勾股定理求得AC的值，再由勾股定理可得方程x2+22＝（4﹣x）2，再解方程即可算出答案．
解：根据折叠可得BE＝EB′，AB′＝AB＝3，
设BE＝EB′＝x，则EC＝4﹣x，
∵∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC5，
∴B′C＝5﹣3＝2，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝1.5，
故答案为：1.5．
20．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝4，BD＝2，CD＝8．
（1）求证：∠BAC＝90°；
（2）P为BC边上一点，连接AP，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请求出BP的长．
【分析】（1）在Rt△ABD中利用勾股定理可求AB2，同理在Rt△ACD中利用勾股定理可求AC2，而BC＝CD+BD＝10，易求AC2+AB2＝100＝BC2，从而可知△ABC是直角三角形．
（2）分三种情况：①当BP＝AB时；②当BP＝AP时；③当AP＝AB时；分别求出BP的长即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，AD＝4，BD＝2，
∴AB2＝AD2+BD2＝20，
又∵AD⊥BC，CD＝8，AD＝4，
∴AC2＝CD2+AD2＝80，
∵BC＝CD+BD＝10，
∴BC2＝100，
∴AC2+AB2＝100＝BC2，
∴∠BAC＝90°，△ABC是直角三角形．
（2）解：分三种情况：
①当BP＝AB时，
∵AD⊥BC，
∴AB2，
∴BP＝AB＝2；
②当BP＝AP时，P是BC的中点，
∴BPAB＝5；
③当AP＝AB时，BP＝2BD＝4．
综上所述：BP的长为2或5或4．
21．一副直角三角板如图放置，点C在FD延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10．
（1）求∠CBD的度数；
（2）试求CD的长．
【分析】（1）利用平行线的性质和给出的已知数据即可求出∠CBD的度数；
（2）过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝45°，进而可得出答案．
解：（1）∵∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝15°；
（2）过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝AC×tan60°＝10，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝105，
CM＝BC×cs30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝5，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5
22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE⊥AD，BE交AD的延长线于点E，点F在AB上，且EF∥AC，AE＝3，AF＝2．
（1）求BF的长度；
（2）求△ABE的面积．
【分析】（1）根据角平分线和平行可得△AFE是等腰三角形，从而可得AF＝EF＝2，再根据垂直定义可得∠AEF+∠BEF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，从而利用等角的余角相等可得∠BEF＝∠ABE，进而可得BF＝EF＝2，即可解答；
（2）利用（1）的结论可求出AB的长，再在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE的长，然后利用三角的面积进行计算即可解答．
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EF∥AC，
∴∠AEF＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠AEF，
∴AF＝EF＝2，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠AEF+∠BEF＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°，
∴∠BEF＝∠ABE，
∴BF＝EF＝2，
∴BF的长度为2；
（2）∵AF＝2，BF＝2，
∴AB＝AF+BF＝2+2＝4，
∵∠AEB＝90°，AE＝3，
∴BE，
∴△ABE的面积AE•BE
3
，
∴△ABE的面积为．
23．学习了勾股定理和数的开方后，我们就能发现在部分特殊直角三用形中，直用边与斜边存在一些特殊的数量关系．例如：在等腰直角三角形中，两直角边相等，则有斜边平方等于一条直角边的平方的2倍，利用开方运算易得斜边是一条直角边的倍，因此若要解决线段之间的倍关系时，往往把问题放在等腰直角三角形中去思考；问题解决，如图CD⊥AB，垂足为A，且AB＝AC，D是CA延长线上一点，连接BD，点E是线段BD上的一点，连接CE交AB于点F，且BD＝CF．
（1）如图1，若BC＝6，则AC的长为 3 ；
（2）如图1，当点E是BD中点时，若BC＝6，求AF的长；
（3）如图2，连接AE，判断线段DE+EFAE是否成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得出答案；
（2）证明Rt△BAD≌Rt△CAF（HL），推出∠DBA＝∠ACF，因为∠EFB＝∠AFC，推出∠BEF＝∠FAC＝90°，即可证明CB＝CD＝6解决问题；
（3）作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．只要证明四边形AMEN是正方形，Rt△AMD≌Rt△ANF（HL）即可解决问题．
解：（1）AB＝AC，CD⊥AB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴BCAC，
∵BC＝6，
∴AC；
故答案为：3；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝6，
∴AB＝AC＝3，
∵BD＝CF，AB＝AC，
∴Rt△BAD≌Rt△CAF（HL），
∴∠DBA＝∠ACF，
∵∠EFB＝∠AFC，
∴∠BEF＝∠FAC＝90°，
∴CE⊥BD，
∵BE＝DE，
∴CB＝CD＝6，
∴AF＝AD＝CD﹣AC＝6﹣3．
（3）DE+EFAE成立．
理由：如图2中，作AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．
∵△BAD≌△CAF，AM⊥BD于M，AN⊥EC于N．
∴AM＝AN（全等三角形对应边上的高相等），
∴∠AEM＝∠AEN＝45°，
∴AM＝EM＝EN＝AN，
∴四边形AMEN是正方形，
∵AD＝AF，AM＝AN，
∴Rt△AMD≌Rt△ANF（HL），
∴DM＝FN，
∴DE+EF＝EM+DM+EN﹣FN＝2EM，
∵AEEM，
∴DE+EFAE．