2023-2024学年广东省阳江市高二（上）月考数学试卷（一）

这是一份2023-2024学年广东省阳江市高二（上）月考数学试卷（一），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）直线y＝x+1的倾斜角为（ ）
A．135°B．30°C．60°D．45°
2．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若，则有序实数组（x，y，z）为（ ）
A．（1，1，1）B．（1，﹣1，﹣1）C．（1，1，﹣1）D．（﹣1，1，﹣1）
3．（5分）已知为两两垂直的单位向量，则＝（ ）
A．1B．C．D．2
4．（5分）过点（2，﹣1）且方向向量为（1，2）的直线方程为（ ）
A．y＝2x+5B．y＝﹣2x﹣5C．y＝2x﹣5D．y＝﹣2x+5
5．（5分）已知平面α＝{P|•＝0}，其中点P0（1，2，3），法向量＝（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（ ）
A．（3，2，1）B．（﹣2，5，4）C．（﹣3，4，5）D．（2，﹣4，8）
6．（5分）已知点A（﹣3，4），B（5，10），直线l过点O（0，0）且与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．[2，+∞）D．
7．（5分）如图所示，已知等腰直角三角形ADE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，且AD＝AE＝2，F是线段CD的中点，则BD与EF所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）如图，已知A（5，0），B（0，5），从点P（1，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程长为（ ）
A．2B．2C．2D．4
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
（多选）9．（5分）已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2
B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2
C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2
D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
（多选）10．（5分）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ）
A．若非零向量满足，则
B．任意向量满足
C．若为空间一基底，且，则A，B，C，D四点共面
D．已知向量，若，则为钝角
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．直线x﹣y﹣3＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是
B．若三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3﹣a不能构成三角形，则实数a的取值集合为{﹣1，1}
C．经过点（1，2）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或x﹣y+1＝0
D．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）
（多选）12．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AD＝AB＝1，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含端点），若D1M⊥MN，下列说法正确的是（ ）
A．A1M⊥MN
B．的最大值为0
C．△BNC面积的最大值为
D．三棱锥C1﹣A1D1M的体积不变
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0，l2：x﹣ay+1＝0，a∈R若l1⊥l2，则a的值为 ．
14．（5分）已知，，则在上的投影向量为 （用坐标表示）．
15．（5分）经过点P（﹣2，1）且与原点的距离为2的直线方程为 ．
16．（5分）已知在一个二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，CD＝5，则这个二面角的度数为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）设x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且，，
（1）求；
（2）求向量与夹角．
18．（12分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+y+2＝0的交点P．
（1）若直线l垂直于直线x﹣2y﹣1＝0，求直线l的方程；
（2）若直线l与经过两点A（8，﹣6），B（2，2）的直线AB平行，求直线l的方程．
19．（12分）已知直线l：（2a﹣1）x+（a+1）y+a﹣5＝0．
（1）若直线l与直线l′：x+2y﹣1＝0平行，求a的值并求这两条直线间的距离；
（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD上的中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）设PA＝AB＝1，求平面AEC与平面AED夹角的余弦值．
21．（12分）已知△ABC的顶点A的坐标为（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5＝0．
（Ⅰ）求顶点C的坐标；
（Ⅱ）求直线AB的方程．
22．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝SA＝3，点E在棱BC上．
（1）若E为BC的中点，求直线SE与平面SCD所成角的正弦值；
（2）是否存在一点E，使得点A到平面SDE的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角．
【解答】解：直线y＝x+1的斜率为1，
直线的倾斜角为α，∴tanα＝1，∴α＝45°．
故选：D．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，基本知识的考查．
2．【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理得到＝﹣﹣，再对比即可求解．
【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，
∴＝++＝﹣﹣，
∵，
∴x＝1，y＝﹣1，z＝﹣1，
∴（x，y，z）＝（1，﹣1，﹣1），
故选：B．
【点评】本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理，属于基础题．
3．【分析】根据向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果．
【解答】解：由题意知：，，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了向量的数量积，向量模的运算，属于基础题．
4．【分析】由题意先求出直线的斜率，再结合点斜式方程，即可求解．
【解答】解：直线的方向向量为（1，2），
则直线的斜率为k＝，
∵直线过点（2，﹣1），
∴直线的方程为y+1＝2（x﹣2），即y＝2x﹣5．
故选：C．
【点评】本题主要考查方向向量的定义，以及点斜式方程，属于基础题．
5．【分析】结合各个选项分别求出，计算的值是否为0，从而得出结论．
【解答】解：对于A，＝（2，0，﹣2），＝1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A在平面α内；
对于B，＝（﹣3，3，1），＝1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B不在平面α内；
对于C，＝（﹣4，2，2），＝1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C在平面α内；
对于D，＝（1，﹣6，5），＝1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D在平面α内．
故选：B．
【点评】本题考查平面的法向量和空间向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．【分析】根据两点斜率公式，结合图形以及倾斜角与斜率的关系即可求解．
【解答】解：直线OB，OA的斜率分别为，
结合图形可知：直线l过点O（0，0）且与线段AB相交时，．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线的斜率，属于基础题．
7．【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，写出和的坐标利用夹角公式求出余弦值即可．
【解答】解：因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE⋂平面ABCD＝AD，AE⊥AD，AE⊂平面ADE，
所以AE⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，所以AE⊥AB，又AB⊥AD，所以AB，AD，AE两两垂直，
分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
可得B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（1，2，0），
∴，，
设BD与EF所成的角大小为α，
则csα＝|cs＜，＞|＝＝＝，
即BD与EF所成的角的余弦值为．
故选：D．
【点评】本题考查了异面直线的夹角，考查空间向量在立体几何中的应用，是中档题．
8．【分析】分别求出点P关于y轴和直线AB的对称点坐标P'，P″，从而可得光线所经过的路程是P'P″．
【解答】解：设点P关于y轴的对称点为P'，
则P'（﹣1，0），
设点P关于直线AB：x+y﹣5＝0的对称点P″（a，b），
则，解得a＝5，b＝4，
所以P″（5，4），
则光线所经过的路程是|P'P″|＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了直线方程的求解与应用，点关于直线的对称点的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．
【解答】解：根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行；
当直线的倾斜角相等，则直线平行，
当直线平行，则倾斜角必相等．
故选：BCD．
【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．
10．【分析】根据向量共线定理判断A；
根据数量积的运算律判断B；
根据可判断C；
根据向量夹角公式求解判断D．
【解答】解：对于A，因为，，是非零向量，且满足，故存在实数λ，μ使得，故，所以，故A正确；
对于B，因为，不一定共线且向量数量积为实数，故不一定成立，故B错误；
对于C，，，是空间的一组基底，故A，B，C三点不共线，，，即，所以A，B，C，D四点共面，故C正确；
对于D，当与共线且反向时，有，即，所以，即，此时x＝﹣3，但不为钝角，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查空间向量的线性运算，数量积与夹角，属于中档题．
11．【分析】选项A，写出直线l与x，y轴的交点坐标，即可得解；
选项B，分两种情况：①三条直线相交于原点，可得a＝3；②直线x+ay＝3﹣a与前两条直线平行，可得a＝﹣1或1；
选项C，分直线经过原点和不经过原点，两种情况，进行讨论；
选项D，由直线的两点式方程，即可得解．
【解答】解：选项A，直线l与x，y轴的交点分别为（3，0），（0，﹣3），所以S＝×3×3＝，即A正确；
选项B，分两种情况：
①三条直线相交于一点，即原点（0，0），此时3﹣a＝0，所以a＝3；
②直线x+ay＝3﹣a与x+y＝0或x﹣y＝0平行，则﹣＝1或﹣1，所以a＝﹣1或1，
所以实数a的取值集合为{﹣1，1，3}，即B错误；
选项C，当直线经过原点时，其方程为y＝2x；
当直线不经过原点时，设其方程为，所以，解得a＝3，此时直线l的方程为x+y﹣3＝0，
综上，直线l的方程为y＝2x或x+y﹣3＝0，即C错误；
选项D，由直线的两点式知，＝，即（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1），即D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查直线的方程，两条直线的平行关系，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12．【分析】建立空间直角坐标系，设M，N坐标，由空间向量的坐标运算得参数关系，继而判断A，B，C，由等体积法转化后判断D．
【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AD＝AB＝1，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含端点），D1M⊥MN，
如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
设AM＝m（0＜m＜1），BN＝n（0＜n＜2），
则A1（1，0，2），B1（1，1，2），D1（0，0，2），M（1，m，0），N（1，1，n），
，，由，得﹣m2+m﹣2n＝0，
对于A，由，∴，∴A1M⊥MN，故A正确；
对于B，，∵0＜m＜1，∴m2﹣m＜0，即没有最大值，故B错误；
对于C，由﹣m2+m﹣2n＝0，得，∴当时，n取得最大值，
∴△BNC面积，故C正确；
对于D，△A1C1D1面积是定值，M到平面A1C1D1的距离为定值，∴三棱锥M﹣A1C1D1的体积为定值，
∵，∴三棱锥C1﹣A1D1M的体积不变，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查长方体结构特征、向量垂直的性质、向量数量积、三棱锥体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可．
【解答】解：若l1⊥l2，
则（a﹣1）×1+2×（﹣a）＝0，解得a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，属于基础题．
14．【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解．
【解答】解：∵，，
∴，，
设在上的投影向量为＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查空间向量的应用，考查计算能力，属于基础题．
15．【分析】由直线经过点P（﹣2，1），知：当直线的斜率k不存在时，直线方程x＝﹣2，它到原点的距离是2，成立；当直线的斜率k存在时，设直线方程为y﹣1＝k（x+2），整理，得kx﹣y+2k+1＝0，由直线与原点的距离为2，，解得k＝，由此能得到所求的直线方程．
【解答】解：∵直线经过点P（﹣2，1），
∴当直线的斜率k不存在时，直线方程x＝﹣2，它到原点的距离是2，成立；
当直线的斜率k存在时，设直线方程为y﹣1＝k（x+2），整理，得kx﹣y+2k+1＝0，
∵直线与原点的距离为2，
∴，解得k＝，
∴直线为，整理，得3x﹣4y+10＝0．
故所求的直线方程为：x＝﹣2或3x﹣4y+10＝0．
故答案为：x＝﹣2或3x﹣4y+10＝0．
【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的应用．易错点是容易忽视直线的斜率不存在的情况．
16．【分析】根据题意作图，由勾股定理容易得到AC⊥AD，进而可得AC⊥β，进一步可得α⊥β，进而得解．
【解答】解：如图，
连接AD，依题意，，
又，
所以AC2+AD2＝CD2，则AC⊥AD，
又AC⊥AB，AD∩AB＝A，AD⊂β，AB⊂β，
所以AC⊥β，
又AC⊂α，
所以α⊥β，即这个二面角的度数为90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查二面角的定义，考查线面垂直以及面面垂直的判定，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于基础题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【分析】（1）利用空间向量的垂直与共线，列出方程组求解x，y的值，从而可得+的坐标，再利用模的运算公式求解即可；
（2）由向量的坐标运算可得2+﹣，计算•＝0，即可求得夹角．
【解答】解：（1）x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且，，
可得x+y+1＝0，＝＝，解得x＝1，y＝﹣2，
则+＝（2，﹣1，2），
则|+|＝＝3．
（2）因为2+﹣＝（1，4，1），
所以•＝2×1+（﹣1）×4+2×1＝0
向量与夹角为．
【点评】本题考查空间向量的垂直与共线的性质，向量的模的求法，向量的夹角的求法，属于基础题．
18．【分析】（1）联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集即可得到交点P的坐标，根据直线l与x﹣2y﹣1垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为﹣1，可设出直线l的方程，把P代入即可得到直线l的方程；
（2）先求出直线l的斜率，再根据点斜式即可求出直线l的方程，
【解答】解：（Ⅰ）由，解得，由于点P的坐标是（﹣2，2）．
则所求直线l与x﹣2y﹣1＝0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m＝0．
把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m＝0，即m＝2．
所求直线l的方程为2x+y+2＝0．
（2）直线AB的斜率kAB＝＝﹣，
∵直线l与经过两点A（8，﹣6），B（2，2）的直线AB平行，
∴kAB＝kl＝﹣，
∴直线l的方程为y﹣2＝﹣（x+2），即4x+3y+2＝0．
【点评】此题考查学生会利用联立两直线的方程的方法求两直线的交点坐标，掌握直线的点斜式方程，属于基础题．
19．【分析】（1）根据直线平行列出方程求解a，再由平行线之间的距离公式求解；
（2）求出截距，再由截距相等求出a即可得解．
【解答】解：（1）因为直线l′：x+2y﹣1＝0且l∥l′，
所以，解得a＝1．
当a＝1时，直线l的方程为x+2y﹣4＝0，
直线l与直线l′间的距离为．
（2）令x＝0，得，即直线l在y轴上的截距为．
令y＝0，得，即直线l在x轴上的截距为．
因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，
解得a＝5或a＝2．
则直线l的方程是3x+2y＝0或x+y﹣1＝0．
【点评】本题主要考查平行直线间的距离公式，属于基础题．
20．【分析】（1）根据线线平行的定理，即可证明结论；
（2）建立以A为原点的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．
【解答】解：（1）证明：连接BD交AC于点O，连接EO，如图所示：
则O为BD的中点，
∵E为PD的中点，
∴OE∥PB
又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，
∴PB∥平面AEC；
（2）建立以A为原点的空间直角坐标系，如上图所示：
则，
∴，
∴平面ADE的法向量为，
设平面AEC的法向量为＝（x，y，z），
则，取x＝1，则y＝﹣1，z＝1，
∴平面AEC的法向量为＝（1，﹣1，1），
∴，
设平面AEC与平面ADE的夹角为θ，
则，
故平面AEC与平面ADE夹角的余弦值为．
【点评】本题考查直线与平面平行和二面角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21．【分析】（Ⅰ）通过AC边上的高线方程得AC的斜率，由点斜式得AC的方程，AC的方程与CM的方程联立得点C的坐标；
（Ⅱ）设出点B的坐标，根据中点关系，得M的坐标代入CM的方程，B点坐标代入BH方程，两个方程联立可解得B的坐标，再由两点式得AB的方程．
【解答】解：（Ⅰ）∵AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5＝0，
∴直线AC的斜率k＝﹣2，
∴直线AC的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣5），即：2x+y﹣11＝0，
∵直线AC与CM相交于点C，
∴由解得：．
∴点C的坐标为（4，3）；
（Ⅱ）设B（x1，y1），∵M是AB中点，且A（5，1），
∴点M的坐标为
代入CM所在直线方程2x﹣y﹣5＝0并化简得：2x1﹣y1﹣1＝0，
又∵点B（x1，y1）在直线BH上，∴x1﹣2y1﹣5＝0．
∴由解得：．
∴点B的坐标为（﹣1，﹣3）
∴直线AB的方程为，即：2x﹣3y﹣7＝0．
【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线的性质，属中档题．
22．【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出平面SCD的法向量，利用向量的夹角公式即可得解；
（2）求出平面SDE的法向量，利用点到平面距离的向量法求解即可．
【解答】解：（1）以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
又AD＝3AB＝SA＝3，则，
当点E为BC的中点时，，
所以，
设平面SCD的一个法向量为，则，
令b＝1，可得，则，
设直线SE与平面SCD所成角为，
则，
即直线SE与平面SCD所成角的正弦值为；
（2）设E（1，t，0），其中0≤t≤3，则，，
设平面SDE的一个法向量为，则，
令x＝3﹣t，可得，则，
所以点A到平面SDE的距离为，解得t＝2，
所以BE＝2，则．
综上，存在一点E，使得点A到平面SDE的距离为，此时．
【点评】本题考查利用空间向量求解线面角以及点到平面的距离，考查空间想象能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．