2023-2024学年江苏省高三（上）月考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年江苏省高三（上）月考数学试卷（10月份），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知复数z满足z（1+3i）＝2i，则|z|＝（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）设全集U＝{1，2，3，4，5}，若A∩B＝{2}，（∁UA）∩B＝{4}，（∁UA）∩（∁UB）＝{1，5}，则（ ）
A．3∉A，且3∉BB．3∈A，且3∉BC．3∉A，且3∈BD．3∈A，且3∈B
3．（5分）已知不共线的两个非零向量，，则“+与﹣所成角为锐角”是“||＞||”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）若x，y满足x＞0，y＞0，xy＝3x+y，则x+3y的最小值为（ ）
A．B．C．12D．16
5．（5分）函数y＝（x∈[﹣2，2]）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）已知函数在上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知a＝3ln3，b＝2+（ln3）2，c＝3ln3，则（ ）
A．a＞c＞bB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．b＞c＞a
二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）已知a＞b，则（ ）
A．ln（a2+1）＞ln（b2+1）B．a3＞b3
C．D．
（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝x﹣2sinx，则（ ）
A．f（x）的图象关于点（π，0）对称
B．f（x）在区间上单调递减
C．f（x）在[0，2π]上的极大值点为
D．直线y＝x+2是曲线y＝f（x）的切线
（多选）11．（5分）某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻t（单位：s）时过山车（看作质点）离地平面的高度h（单位：m）为h（t）＝Asin（ωt+φ）+B，（A＞0，ω＞0，．已知当t＝4时，过山车到达第一个最高点，最高点距地面50m，当t＝10时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面10m．则（ ）
A．A＝30
B．
C．过山车启动时距地面20米
D．一个周期内过山车距离地平面高于40m的时间是4s
（多选）12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）+f（﹣x﹣2）＝0，f（1+x）为偶函数，则（ ）
A．f（﹣1﹣x）+f（﹣1+x）＝0B．f（1﹣x）＝f（1+x）
C．f（x﹣4）＝f（x）D．f（2023）＝0
三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知函数f（x）＝，则＝ ．
14．（5分）已知向量＝（csα，﹣2），＝（1，sinα），且⊥，则＝ ．
15．（5分）在锐角三角形ABC，AB＝2，且，则AB边上的中线长为 ．
16．（5分）如图，将矩形纸片ABCD的右下角折起，使得点B落在CD边上点B1处，得到折痕MN．已知AB＝5cm，BC＝4cm，则当tan∠BMN＝ 时，折痕MN最短，其长度的最小值为 cm．
四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a＝3，，．
（1）求csC的值；
（2）求△ABC的周长．
18．（12分）已知函数 的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）将函数f（x）的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象．若g（x）在区间[0，m]上有且仅有5个零点，求m的取值范围．
19．（12分）已知函数．
（1）若f（x）在 处取得极值，求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）在区间（0，2）上存在极小值且不存在极大值，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣x•sinx﹣csx．
（1）若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，求该切线方程；
（2）讨论曲线y＝f（x）与直线y＝a的交点个数．
21．（12分）在△ABC中，，，AD是∠BAC的平分线．
（1）若，求AC；
（2）若，求AD．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+b（b＞a＞0）有两个零点x1，x2（x1＜x2）．
（1）若直线y＝bx﹣a与曲线y＝f（x）相切，求a+b的值；
（2）若对任意a＞0，，求的取值范围．
2023-2024学年江苏省决胜新高考高三（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：z（1+3i）＝2i，
则|z|＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
2．【分析】由题意逐个分析元素与集合的关系，结合选项得出答案．
【解答】解：由题意，A∩B＝{2}，则2∈A且2∈B，
（∁UA）∩B＝{4}，则4∉A且4∈B，
（∁UA）∩（∁UB）＝{1，5}，则1∉A且1∉B，5∉A且5∉B，
若3∉A且3∉B，则（∁UA）∩（∁UB）＝{1，5}不正确；
若3∉A且3∈B，则（∁UA）∩B＝{4}不正确；
若3∈A且3∈B，则A∩B＝{2}不正确．
故选：B．
【点评】本题考查元素与集合的关系，考查集合的运算，属于基础题．
3．【分析】利用向量的数量积公式，利用充分必要条件的定义判断即可．
【解答】解：，不共线，由题意，
+与﹣所成角为锐角等价于（+）（﹣）＞0，
则2＞2，即||＞||，反之成立，
则“+与﹣所成角为锐角”是“||＞||”的充分必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查数量积公式，充分必要条件的定义，属于基础题．
4．【分析】利用“1”的代换求最值即可．
【解答】解：x＞0，y＞0，xy＝3x+y，则有＝1，
≥10+6＝16，
当且仅当x＝y＝4时取等号．
故选：D．
【点评】本题利用基本不等式求最值，属于基础题．
5．【分析】先判断函数f（x）的奇偶性，再根据函数值的特点即可判断．
【解答】解：f（﹣x）＝＝﹣f（x），
则函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，
又f（1）＝＝sin1＞0，故排除C，
因为当x＞0时，g（x）＝sinx﹣x，x＞0，
有g′（x）＝csx﹣1＜0，
所以g（x）＝sinx﹣x单调递减，
所以g（x）＜g（0）＝0，
即sinx＜x，
所以y＝f（x）＝＜＝≤＝1，当且仅当x＝1时取等号，
所以f（x）＜1，故排除D．
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数值的特点是关键，属于中档题．
6．【分析】由题意，利用正弦函数的单调性和周期性，求得ω的取值范围．
【解答】解：∵函数在上单调递减，
∴＝≥π﹣①且②．
由①可得0＜ω≤2．
由②可得4k+≤ω≤2k+，k∈Z．取k＝0，求得≤ω≤．
综上可得，≤ω≤．
故选：B．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．
7．【分析】由两角和与差的三角函数求解即可．
【解答】解：已知，
则，
则，
则＝．
故选：B．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
8．【分析】构造函数f（x）＝x2+2﹣3x＝（x﹣1）（x﹣2），由1＜ln3＜2易得b＜c；构造函数g（x）＝3x﹣3x，由导数与函数的单调性求得g（x）的单调性，从而证得a＞c；由此可得a＞c＞b．
【解答】解：令f（x）＝x2+2﹣3x＝（x﹣1）（x﹣2），
所以x∈（1，2）时，f（x）＜0，
因为lne＜ln3＜lne2，即1＜ln3＜2，
所以f（ln3）＝（ln3）2+2﹣3ln3＜0，故（ln3）2+2＜3ln3，即b＜c，
令g（x）＝3x﹣3x，则g'（x）＝ln3⋅3x﹣3，显然g'（x）＝ln3⋅3x﹣3在（0，+∞）单调递增，
令g'（x）＞0，得，故g（x）在上单调递增，
因为1＜ln3＜3，故，则，
故g（x）在（1，+∞）上单调递增，则g（ln3）＞g（1）＝0，
即3ln3﹣3ln3＞0，即3ln3＞3ln3，故a＞c，
综上：a＞c＞b．
故选：A．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．【分析】根据已知条件，结合函数的单调性，以及特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于A，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但ln（a2+1）＝ln（b2+1），故A错误；
y＝x3在R上单调递增，
故a3＞b3，故B正确；
对于C，令a＝1，b＝﹣1，满足a＞b，但，故C错误；
对于D，y＝在R上单调递减，
则，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查函数的性质，属于基础题．
10．【分析】由f（2π﹣x）＝f（x），可判断A；利用导数可判断B；由极大值点的定义可判断C；利用切线的性质可判断D．
【解答】解：∵f（x）＝x﹣2sinx，∴f（2π﹣x）+f（x）＝2π﹣x﹣2sin（2π﹣x）+x﹣2sinx＝2π≠0，A错误；
f′（x）＝1﹣2csx，当 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，B正确；
f′（x）＝1﹣2csx＞0且0≤x≤2π⇒，则 不是f（x）在[0，2π]上的极值，C错误；
f′（）＝1﹣2cs＝1，，曲线 y＝f（x）在点处的切线方程为，即y＝x+2，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查函数的图象与性质，导数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．
11．【分析】根据题意得出函数h（t）的最值，列式求A，B，根据周期求ω，根据h（4）＝50求φ，再根据函数的解析式判断C、D即可．
【解答】解：由题意知，周期T满足T＝10﹣4＝6，解得T＝12，
所以ω＝＝，又因为，解得A＝20，B＝30，
所以h（t）＝20sin（t+φ）+30，
又h（4）＝50，即20sin（+φ）+30＝50，得sin（+φ）＝1，因为|φ|＜，所以φ＝﹣，
所以h（t）＝20sin（t﹣）+30．
所以选项A错误，选项B正确；
又因为h（0）＝20sin（﹣）+30＝﹣10+30＝20，过山车启动时距地面20米，选项C正确；
令h（t）＞40，得20sin（t﹣）+30＞40，即sin（t﹣）＞，
所以+2kπ＜t﹣＜+2kπ，k∈Z，解得2+12k＜t＜6+12k，k∈Z，
所以一个周期内过山车距离底面高于20m的时间是（6+12k）﹣（2+12k）＝4（s），选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
12．【分析】根据题f（x+2）+f（﹣x﹣2）＝0，得出函数f（x）为奇函数，由f（1+x）为偶函数，得出f（﹣x+1）＝f（x+1），从而得出该函数是周期函数，从而判断出选项．
【解答】解；∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）+f（﹣x﹣2）＝0，
∴函数f（x）是奇函数，
∵f（1+x）为偶函数，
∴f（﹣x+1）＝f（x+1），
∴函数f（x+4）＝f[（x+3）+1]＝f[﹣（x+3）+1]＝f（﹣x﹣2）
＝﹣f（x+2）＝﹣f[（x+1）+1]＝﹣f[﹣（x+1）+1]＝﹣f（﹣x）＝f（x），
∴函数f（x）是周期函数，周期是4，
故A，错误，B，C正确，
对于D：f（2023）＝f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）不一定是0，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性的综合应用，属中档题．
三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．【分析】依次将对应的值，代入f（x），即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝，
则＝f（2）＝2﹣lg22＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查函数的值，属于基础题．
14．【分析】由向量垂直的性质得csα＝2sinα，从而cs2α+sin2α＝5sin2α＝1，∴，cs2α＝，进而＝＝，由此能求出结果．
【解答】解：∵向量＝（csα，﹣2），＝（1，sinα），且⊥，
∴＝csα﹣2sinα＝0，∴csα＝2sinα，
∵cs2α+sin2α＝5sin2α＝1，∴，cs2α＝，
则＝＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查向量垂直的性质、同角三角函数关系式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．【分析】由题意将正切转化为正弦，余弦，再由正弦定理及余弦定理可得a2+b2＝c2，由余弦定理可得2abcsC＝a2+b2﹣c2＝c2，求出AB边的中线CD的向量表示，即＝（+），平方可得|CD|2＝c2，由题意可得|CD|的大小．
【解答】解：三角形中，由，可得+＝，
再由正弦定理和余弦定理可得：+＝，
整理可得：a2+b2＝c2，由余弦定理可得c2＝a2+b2﹣2abcsC，可得2abcsC＝a2+b2﹣c2＝c2，
设AB边的中线CD，则＝（+），
所以||2＝（2+2+2•）＝（a2+b2+2abcsC）＝（c2+c2）＝c2，
而c＝AB＝2，
所以|CD|＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理及余弦定理的应用，向量表示的中线的求法，属于中档题．
16．【分析】根据题意，设∠BMN＝θ，用θ表示MN，换元后，结合导数判断单调性，即可求解．
【解答】解：根据题意，设∠BMN＝θ，BN＝B1N＝x，
则∠B1NC＝2θ，在△B1NC中，cs2θ＝＝，可得x＝＝，
因此MN＝＝＝＝，
令sinθ＝t，t∈（0，]，
则MN＝，令f（t）＝t﹣t3，f′（t）＝1﹣3t2＝0，则t＝，
当0＜t＜时，f′（t）＞0，f（t）单调递增，当＜t≤，f′（t）＜0，f（t）单调递减，
因此f（t）max＝f（）＝﹣＝，
故MN≥＝3，
此时sinθ＝，csθ＝，tanθ＝．
故答案为：，3．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了三角形中的几何计算，考查了数形结合思想，属于中档题．
四、解答题。本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【分析】（1）结合诱导公式与同角三角函数的平方关系，求得csA，sinB和csB的值，再由两角和的余弦公式，求csC的值；
（2）先由同角三角函数的平方关系可得sinC的值，再利用正弦定理，求出b和c的长，即可得解．
【解答】解：（1）因为，，
所以A是锐角，csA＝＝，sinB＝sin（A+）＝csA＝，csB＝cs（A+）＝﹣sinA＝﹣，
因为A+B+C＝π，
所以csC＝﹣cs（A+B）＝﹣csAcsB+sinAsinB＝﹣×（﹣）+×＝．
（2）由（1）知csC＝，
因为C∈（0，π），所以sinC＝＝，
由正弦定理知，，
所以，
所以b＝3，c＝，
所以△ABC的周长为a+b+c＝3+3+．
【点评】本题考查解三角形与三角函数的综合应用，熟练掌握正弦定理，两角和的余弦公式，诱导公式与同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换花间函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，求出ω值．
（2）由题意，根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性和零点，求出m的取值范围．
【解答】解：（1）由于函数＝sin2ωx+cs2ωx＝2sin（2ωx﹣）
的最小正周期为＝π，
∴ω＝1，f（x）＝2sin（2x﹣）．
（2）将函数f（x）的图象先向左平移个单位长度，可得y＝2sin2x的图象；
再向上平移2个单位长度，得到函数y＝g（x）＝2sin2x+2的图象．
若g（x）在区间[0，m]上有且仅有5个零点，即sin2x＝﹣1在区间[0，m]上有且仅有5个解．
故有≤m＜，即m的取值范围为[，）．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和零点，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
19．【分析】（1）利用导数在极值点处的值为0，求出a；令导函数小于0求出x的范围为单调递减区间．
（2）利用二次方程实根的分布，结合二次函数的图象，从判别式、对称轴与区间的位置关系、区间端点值的正负，列出不等式，求出a的范围．
【解答】解：，f'（x）＝x2+（a﹣1）x+a，
（Ⅰ）∵f（x）在 处取得极值，
∴⇒⇒，
∴，
令 f'（x）＜0，则 ⇒，
∴函数f（x）的单调递减区间为 ．
（Ⅱ）∵f（x）在（0，2）内有极大值和极小值，
∴f′（x）＝x2+（a﹣1）x+a＝0在（0，2）内有两不等实根，
∴⇒⇒．
故实数a的取值范围为．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值和单调递区间，二次方程的实根分布，属域中档题．
20．【分析】（1）求导后，令导数为0，求得x0＝0，f（x0）＝﹣1，进而可求解；
（2）由（1）的结论判断单调性，求得f（x）的最小值，分a＝﹣1、a＝﹣1、a＞﹣1三种情况求解，可得答案．
【解答】解：（1）f（x）＝2x﹣（sinx+xcsx）+sinx＝x（2﹣csx），
因为曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与x轴平行，所以f'（x0）＝x0（2﹣csx0）＝0，
因为2﹣csx0＞0所以x0＝0，f（x0）＝﹣1，故所求切线方程为y＝﹣1．
（2）由（1）可知，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x（2﹣csx）＞0，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝x（2﹣csx）＜0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，因此，[f（x）]min＝f（0）＝﹣1．
所以当a＜﹣1时，曲线y＝f（x）与直线y＝a无交点；
当a＝﹣1时，曲线y＝f（x）与直线y＝a有且仅有一个交点；
当a＞﹣1时，当x∈[0，+∞）时，f（x）＞x2﹣x﹣1，令x2﹣x﹣1＝a，得舍去），
则，结合f（0）＝﹣1＜a，可知在x∈[0，+∞）上，曲线y＝f（x）与直线y＝a有且仅有一个交点，
又因为 f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）⋅sin（﹣x）﹣cs（﹣x）＝x2﹣x⋅sinx﹣csx＝f（x），即f（x）为偶函数，
所以在x∈（﹣∞，+∞）上，曲线y＝f（x）与直线y＝a有两个交点．
综上所述，当a＜﹣1时，曲线y＝f（x）与直线y＝a无交点；
当a＝﹣1时，曲线y＝f（x）与直线y＝a有且仅有一个交点；
当a＞﹣1时，曲线y＝f（x）与直线y＝a有两个交点．
【点评】本题主要考查导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性与极值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
21．【分析】（1）在△ABD中，利用正弦定理求得∠ADB＝或，再分两种情况，结合角分线的性质与三角函数的知识，即可求AC的长；
（2）在△ABC中，利用正弦定理求得∠C＝或，可知∠BAC的大小，再由角分线定理得＝，从而知，将其两边平方，结合平面向量数量积的运算法则，即可得解．
【解答】解：（1）在△ABD中，由正弦定理，得，
所以sin∠ADB＝＝＝，
因为∠ADB∈（0，π），所以∠ADB＝或，
当∠ADB＝时，∠BAD＝π﹣﹣＝，
因为AD平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠BAD＝π，不符合题意，舍去；
当∠ADB＝时，∠BAD＝π﹣﹣＝，
因为AD平分∠BAC，所以∠BAC＝2∠BAD＝，∠ACB＝，即△ABC为直角三角形，
所以AC＝ABsin∠B＝2×＝．
（2）因为AD平分∠BAC，所以由角分线定理知，＝＝，
所以，
所以，
在△ABC中，由正弦定理，得，
所以sin∠C＝，
因为∠C∈（0，π），所以∠C＝或，
当∠C＝时，∠BAC＝π﹣﹣＝，所以＝0，
所以＝（24+3×8+0）＝24（2﹣），
所以AD＝2（3﹣）；
当∠C＝时，∠BAC＝π﹣﹣＝，所以＝2×＝12，
所以＝（24+3×8+2）＝12，
所以AD＝2，
综上，AD＝2（3﹣）或AD＝2．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，角分线定理，平面向量的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
22．【分析】（1）利用切线方程的求法，线设切点坐标，求切线斜率，再构造函数，求其最小值，从而求得a+b的值．
（2）设b＝ma（m＞1），构造函数求解．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，
设切点为（x0，lnx0﹣ax0+b），则切线斜率，
所以切线方程为，
即，
所以，
则，
设，则F（x0）＝1，
，令F′（x）＝0，解得x＝1，
当x∈（0，1）时，F′（x）＜0，F（x）在（0，1）上单调递减；
当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以F（x）min＝F（1）＝0，所以x0＝1，
所以．
（2）设b＝ma（m＞1），由f（x1）＝f（x2）＝0，得lnx1﹣ax1+ma＝lnx2﹣ax2+ma＝0，
整理得，
设，则，
设，则，令h'（x）＝0，解得x＝m，
当x∈（0，m）时，h′（x）＞0，h（x）在（0，m）上单调递增；
当x∈（m，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）在（m，+∞）上单调递减，
所以h（x）≤h（m）＝﹣lnm＜0，所以g'（x）＜0，
即g（x）在（0，m）和（m，+∞）均单调递减，
因为，所以x1∈（0，1），
设，则由题意可知，t≥e，
所以，整理得，
设，则，
设，则，
所以H（t）单调递减，所以，
即G'（t）＜0，所以G（t）单调递减，
所以，即，
由题意可知，对任意x1∈（0，1）恒成立，
整理得（e﹣1）x1lnx1﹣x1≥﹣m，
设φ（x）＝（e﹣1）xlnx﹣x（x∈（0，1）），则φ'（x）＝（e﹣1）lnx+e﹣2，
令φ'（x）＝0，解得，
当x∈（0，）时，φ'（x）＜0，φ（x）在上单调递减；
当时，φ'（x）＞0，φ（x）在（m，+∞）上单调递增，
所以，
所以，即．
所以的取值范围是．
【点评】此题考查了函数导数的综合应用，考查了二次求导，考查了函数思想，属于难题．