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    2023-2024学年四川省成都市高三(上)月考数学试卷(文科)(10月份)

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    2023-2024学年四川省成都市高三(上)月考数学试卷(文科)(10月份)

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    这是一份2023-2024学年四川省成都市高三(上)月考数学试卷(文科)(10月份),共20页。试卷主要包含了已知zi=3﹣i,抛物线x=4y2的准线方程是,已知函数则f,定义在R上的奇函数f,下列说法正确的有,已知函数f等内容,欢迎下载使用。
    1.已知集合A={x∈Z|x2﹣3x﹣4≤0},B={x|x=2n,n∈Z},则A⋂B=( )
    A.{0,2,4}B.{﹣1,1,3}C.{﹣4,﹣2,0}D.{﹣3,﹣1,1}
    2.已知zi=3﹣i(i为虚数单位),则复数在复平面内对应的点位于( )
    A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
    3.抛物线x=4y2的准线方程是( )
    A.B.y=﹣1C.x=﹣D.x=
    4.已知函数则f(f(﹣6))=( )
    A.B.2C.D.3
    5.已知x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的最小值是( )
    A.1B.2C.11D.无最小值
    6.下列函数中,既是上的增函数,又是以π为周期的偶函数的是( )
    A.y=tanxB.y=cs2xC.y=sin2xD.
    7.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)是偶函数,当x∈(0,1]时,,则f(2024)=( )
    A.﹣2B.﹣1C.0D.2
    8.用半径为10cm,圆心角为216°的扇形围成一个圆锥的侧面,这个圆锥的体积为( )cm3
    A.128πB.128C.96πD.96
    9.下列说法正确的有( )
    ①对于分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k越大,说明“X与Y有关系”的把握越大;
    ②我校高一、高二、高三共有学生4800人,其中高三有1200人.为调查需要,用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本,那么应从高三年级抽取40人;
    ③若数据x1,x2,…,xn的方差为5,则另一组数据x1+1,x2+1,…,xn+1的方差为6;
    ④把六进制数210(6)转换成十进制数为:210(6)=0×60+1×61+2×62=78.
    A.①④B.①②C.③④D.①③
    10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,若将函数f(x)的图象向右平移个单位,得到函数g(x)的图象,则( )
    A.B.
    C.g(x)=sin2xD.
    11.人们用分贝(dB)来划分声音的等级,声音的等级d(x)(单位:dB)与声音强度x(单位:W/m2)满足.一般两人小声交谈时,声音的等级约为45dB,在有50人的课堂上讲课时,老师声音的等级约为63dB,那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的( )
    A.1倍B.10倍C.100倍D.1000倍
    12.函数f(x)的定义域为(0,6),当0<x≤2时,f(x)=﹣|x﹣1|+1且f(x)=2f(x+2),若函数g(x)=f(x)+m有四个不同的零点,则实数m的取值范围为( )
    A.B.C.(﹣2,﹣1)D.(1,2)
    13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a6=10,则S7= .
    14.已知x∈(﹣,0),csx=,则tan2x= .
    15.如图,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,且|AB|=|BO|=|OC|=|CD|,则该双曲线的渐近线方程为 .
    16.设函数,有下列结论:
    ①f(x)的图象关于点中心对称;
    ②f(x)的图象关于直线对称;
    ③f(x)在上单调递减;
    ④f(x)在上的最小值为.
    其中所有正确的结论是 .
    17.最近,纪录片《美国工厂》引起中美观众热议,大家都认识到,大力发展制造业,是国家强盛的基础,而产业工人的年龄老化成为阻碍美国制造业发展的障碍,中国应未雨绸缪.某工厂有30周岁以上(含30周岁)工人300名,30周岁以下工人200名,为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“30周岁以上(含30周岁)”和“30周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.
    (1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“30周岁以下组”工人的概率.
    (2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2的列联表,并判断是否有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?
    附表:.
    18.已知向量,函数.
    (1)求函数f(x)的单调递增区间;
    (2)在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且f(C)=3,c=1,,求△ABC的周长.
    19.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAB⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,△PAB为等边三角形,且PA=2,PC⊥CD,O为AB的中点.
    (1)若E为线段PC上动点,证明:AB⊥OE;
    (2)求点B与平面PCD的距离.
    20.已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l与E交于A,B两点,△ABF2的周长为8.且点(﹣1,)在E上.
    (1)求椭圆E的方程;
    (2)设直线l与圆O:x2+y2=a2交于C,D两点,当时,求△ABF2面积的取值范围.
    21.已知函数f(x)=2lnx﹣(a+1)x2﹣2ax+1,a∈R,a∈R.
    (1)当a=1时,求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
    (2)若函数f(x)有两个零点x1,x2,求实数a的取值范围;
    (3)在(2)的条件下,证明:.
    22.数学中有许多美丽的曲线,如在平面直角坐标系xOy中,曲线E:的形状如心形(如图),称这类曲线为心形曲线.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,当a=2时,
    (1)求E的极坐标方程;
    (2)已知P,Q为曲线E上异于O的两点,且,求△OPQ的面积的最大值.
    参考答案与试题解析
    1.【分析】根据一元二次不等式的求解方法,结合集合的交集,可得答案.
    【解答】解:由不等式x2﹣3x﹣4≤0,分解因式可得(x﹣4)(x+1)≤0,
    解得﹣1≤x≤4,
    则A={﹣1,0,1,2,3,4},
    所以A∩B={0,2,4}.
    故选:A.
    【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法,考查了集合的交集运算,属于基础题.
    2.【分析】由已知等式求出复数z,得到复数,由复数的几何意义得在复平面内对应的点所在象限.
    【解答】解:由zi=3﹣i,得,
    则,在复平面内对应的点(﹣1,3)位于第二象限.
    故选:B.
    【点评】本题主要考查共轭复数的定义,属于基础题.
    3.【分析】先根据抛物线的标准方程形式,求出p,再根据开口方向,写出其准线方程.
    【解答】解:∵2p=,
    ∴p=,开口向右,
    ∴准线方程是x=﹣.
    故选:C.
    【点评】根据抛物线的方程求其焦点坐标和准线方程,一定要先化为标准形式,求出的值,再确定开口方向,否则,极易出现错误.
    4.【分析】先求出f(﹣6)=8,再求得f(8)即可.
    【解答】解:f(﹣6)=2﹣(﹣6)=8,f(8)=;
    故选:C.
    【点评】本题考查分段函数的求值,考查运算求解能力,属于基础题.
    5.【分析】作出可行域,将目标函数变为,通过平移直线即可求出z的最小值.
    【解答】解:根据题意,可行域如图所示:
    将直线平移至刚好经过A(1,0)时,z取得最小值:z=1+2×0=1.
    故选:A.
    【点评】本题主要考查了简单的线性规划问题,考查了数形结合的数学思想,属于中档题.
    6.【分析】根据函数的奇偶性可排除选项AC;
    根据复合函数和余弦函数的单调性可排除选项B;
    可判断的奇偶性,并求该函数的周期,判断该函数在上的单调性,从而判断D的正误.
    【解答】解:y=tanx是奇函数,y=sin2x是奇函数,AC错误;
    时,2x∈(0,π),令t=2x,则y=cst在(0,π)上单调递减,且t=2x在上单调递增,
    ∴根据复合函数的单调性得出y=cs2x在(0,)上是减函数,B错误;
    的周期是π,是偶函数,在上单调递增,D正确.
    故选:D.
    【点评】本题考查了函数奇偶性的定义及判断,正弦函数、余弦函数和复合函数的单调性,函数周期的求法,考查了计算能力,是基础题.
    7.【分析】根据题意,由函数奇偶性的性质f(x)的周期为4的周期函数,结合函数的解析式和周期分析可得答案.
    【解答】解:根据题意,函数f(x)是定义在R上的奇函数,则f(﹣x)=﹣f(x),且f(0)=0,
    又函数f(x+1)是偶函数,则f(﹣x+1)=f(x+1),变形可得f(﹣x)=f(x+2),
    则有f(x+2)=﹣f(x),进而可得f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),
    所以函数f(x)是周期为4的周期函数,
    则f(2024)=f(506×4+0)=f(0)=0.
    故选:C.
    【点评】本题考查函数的奇偶性和周期性的性质以及应用,关键是分析函数的周期性,属于基础题.
    8.【分析】根据题意,设该圆锥的底面半径为x,结合圆锥的结构特征,求出圆锥的底面半径和高,进而计算可得答案.
    【解答】解:根据题意,设该圆锥的底面半径为x,
    若该圆锥的侧面展开图为半径为10cm,圆心角为216°的扇形,
    则有2πx=,解可得x=6,
    故圆锥的高h==8,
    圆锥的体积V=×8=96π.
    故选:C.
    【点评】本题考查圆锥的体积计算,涉及圆锥的侧面展开图,属于基础题.
    9.【分析】由独立性检验的原理可以判断①,由分层抽样的定义可以判断②,由方差的性质可以判断③,由六进制定义进行计算即可判断④.
    【解答】解:对于①,分类变量X与Y,它们的随机变量K2的观测值k越大,说明“X与Y有关系”的把握越大,即①正确;
    对于②,我校高一、高二、高三共有学生4800人,其中高三有1200人.为调查需要,用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为200的样本,那么应从高三年级抽取200×=50人,故②错误;
    对于③,若数据x1,x2,…,xn的方差为5,则另一组数据x1+1,x2+1,…,xn+1的方差仍为5,故③错误;
    对于④,六进制数210(6)转换成十进制数为:210(6)=0×60+1×61+2×62=78,故④正确.
    故选:A.
    【点评】本题主要考查独立性检验的原理,分层抽样,平均数和方差的关系,十进制和六进制的转换,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.
    10.【分析】直接利用函数的图象求出函数的关系式,进一步利用函数的平移变换的应用求出结果.
    【解答】解:由f(x)的部分图象知,,解得ω=2;
    由振幅知A=1,将代入可得f()=sin(+φ)=0,
    所以+φ=2kπ,k∈Z,又因为|φ|<,所以φ=,
    因此,
    将函数f(x)的图象向右平移 个单位,
    得到g(x)=f(x﹣)=sin[2(x﹣)+]=sin2x.
    故选:C.
    【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题,也考查了运算能力和数学思维能力,是基础题.
    11.【分析】根据所给声音等级与声音强度的函数关系,求出声音强度即可比较得解.
    【解答】解:∵声音的等级式d(x)(单位:dB)与声音强度x(单位:W/m2)满足,
    又∵老师的声音的等级约为63dB,
    ∴,解得x=10﹣6,即老师的声音强度约为10﹣6W/m2,
    ∵两人交谈时的声音等级大约为45dB,
    ∴,解得x=10﹣8,即两人交谈时的声音强度约为10﹣8W/m2,
    ∴老师上课时声音强度约为两人小声交谈时声音强度的倍.
    故选:C.
    【点评】本题主要考查函数的实际应用,掌握对数函数的公式是解本题的关键,属于基础题.
    12.【分析】先求出函数f(x)的解析式,进而作出其大致图象,再将问题转化为y=f(x)的图象与直线y=﹣m有4个不同的交点,结合图象即可得到答案.
    【解答】解:设2<x≤4,则0<x﹣2≤2,
    则f(x﹣2)=﹣|x﹣2﹣1|+1=﹣|x﹣3|+1,
    又f(x)=2f(x+2),则,
    于是当2<x≤4时,;
    设4<x<6,则2<x﹣2<4,
    则,
    又,
    于是当4<x<6时,;
    作出函数f(x)的大致图象如图所示,
    要使函数g(x)=f(x)+m有四个不同的零点,即y=f(x)的图象与直线y=﹣m有4个不同的交点,
    由图象可知,,则.
    故选:A.
    【点评】本题考查函数零点与方程根的关系,考查数形结合思想,属于基础题.
    13.【分析】根据等差数列的前n项和公式,及等差数列的性质,即可求解.
    【解答】解:∵等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a6=10,
    ∴.
    故答案为:35.
    【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式,及等差数列的性质,属于基础题.
    14.【分析】先利用二倍角公式求得cs2x,进而根据x的范围求得sin2x,则tan2x的值可得.
    【解答】解:cs2x=2cs2x﹣1=

    ∴2x∈(﹣π,0)
    ∴sin2x=﹣=﹣
    ∴tan2x==﹣
    故答案为:﹣
    【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用.应熟练掌握同角三角函数关系中平方关系,倒数关系和商数关系等关系.
    15.【分析】根据圆的性质,结合代入法、双曲线渐近线方程进行求解即可.
    【解答】解:设双曲线的标准方程为,
    设圆O与双曲线在第一象限内的交点为E,连接DE、OE,
    则|OE|=|OD|=|OC|+|CD|=2|OC|=2a,
    因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,则,
    故点,
    将点E的坐标代入双曲线的方程可得,所以,
    所以该双曲线的渐近线方程为.
    故答案为:.
    【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,渐近线方程的求法,是中档题.
    16.【分析】先利用三角恒等变换公式化简f(x),再根据正弦函数的图象与性质,逐一分析,即可得解.
    【解答】解:=2sinx(csx﹣sinx)=sinxcsx﹣sin2x=sin2x﹣=sin(2x+)﹣,
    ①f()=sin(2•+)﹣=sinπ﹣=﹣≠0,即①错误;
    ②f()=sin(2•+)﹣=sin﹣=,即②正确;
    ③当x∈时,2x+∈[,π],
    因为y=sinx在[,π]上单调递减,所以f(x)在上单调递减,即③正确;
    ④当x∈时,2x+∈[﹣,],
    所以sin(2x+)∈[﹣,1],所以f(x)∈[﹣1,],即④错误.
    故答案为:②③.
    【点评】本题考查三角函数的综合应用,熟练掌握三角恒等变换公式,正弦函数的图象与性质是解题的关键,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
    17.【分析】(1)根据分层抽样原理,结合频率分布直方图,求出每组应抽取的人数,根据概率公式即可求出;
    (2)由频率分布直方图,计算各组对应的生产能手数,填写2×2列联表,计算K2的值,从而得出统计结论.
    【解答】解:(1)由已知得,样本中有30周岁以上组工人60名,30周岁以下组工人40名,
    所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,30周岁以上组工人有60×0.05=3(人),
    记为A1,A2,A3;30周岁以下组工人有40×0.05=2(人),记为B1,B2
    从中随机抽取2名工人,所有可能的结果共有10种,他们是:(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).
    其中,至少有一名“30周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2).故所求的概率:,
    (2)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“30周岁以上组”中的生产能手60×0.5=30(人),“30周岁以下组”中的生产能手40×0.25=10(人),据此可得2×2列联表如下:
    所以得:.
    所以有95%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”.
    【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了分层抽样方法的应用问题,考查了2×2列联表的应用问题,属于基础题.
    18.【分析】(1)利用向量数量积的坐标表示,二倍角公式、辅助角公式求出并化简f(x),再利用正弦函数单调性求解作答.
    (2)由(1)求出C,再利用余弦定理求解作答.
    【解答】解:(1)由题意可得:,
    令,
    得,
    所以函数f(x)的单调递增区间是;
    (2)由(1)知,,即,
    因为C∈(0,π),所以,
    所以,解得,
    由余弦定理有:c2=a2+b2﹣2abcsC,
    即,
    解得,
    所以△ABC的周长为.
    【点评】本题考查平面向量的数量积,三角恒等变换,三角函数的性质,解三角形等,属于中档题.
    19.【分析】(1)连接OC,OP,可证OP⊥AB,PC⊥AB,进而可证AB⊥平面POC,可证结论;
    (2)可证OP,OC,OB两两垂直,以O为坐标原点,以OB,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面PCD的一个法向量,利用向量法可求点B与平面PCD的距离.
    【解答】解:(1)证明:连接OC,OP,∵△PAB为等边三角形,PA=2,O为AB的中点,
    ∴OP⊥AB,OA=1,OP=,
    ∵PC⊥DC,而底面ABCD为菱形,则CD∥AB,∴PC⊥AB,又∵OP⊥AB,
    OP⊂平面POC,PC⊂平面POC,OP∩PC=P,∴AB⊥平面POC,
    又∵OE⊂平面POC,∴AB⊥OE.
    (2)∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,OP⊂平面PAB,
    ∴OP⊥平面ABCD,
    又∵OC⊂平面ABCD,∴OP⊥OC,
    又由(1)知AB⊥平面POC,PO,OC⊂平面POC,故AB⊥OC,AB⊥PO,
    故OC==,
    以O为坐标原点,以OB,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,

    则P(0,0,),C(0,,0),D(﹣2,,0),B(1,0,0),
    ∴=(﹣2,,﹣),=(﹣2,0,0),=(1,﹣,0),
    设平面PCD的一个法向量=(x,y,z),
    则,
    取z=1,则=(0,﹣1,1),
    则点B与平面PCD的距离d===.
    【点评】本题考查线面垂直的证明,考查点到面的距离的求法,属中档题.
    20.【分析】(1)由△ABF2 的周长结合椭圆的定义得出4a=8,再将 代入椭圆方程,即可求出b,进而得出椭圆的方程;
    (2)设直线l的方程为x=my﹣1,由点到之间距离公式及勾股定理得出m2∈[0,2],设 A(x1,y1),B(x2,y2),由直线l方程与椭圆方程联立,得出 y1+y2 和y2y2 代入 =,设t=m²+1∈[1,3],h(t)=9t,由h(t)的单调性得出值域,即可求出的范围.
    【解答】解:(1)因为△ABF2 的周长为8,
    所以4a=8,解得a=2,
    将点 的坐标代入椭圆方程,
    得,解得,
    所以椭圆E的方程为;
    (2)由(1)知圆O的方程为x2+y2=4,设直线l的方程为x=my﹣1,
    则圆心O到直线l的距离,
    由 ,可得m²∈[0,2],
    设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组,
    消去x得(4+3m2)y2﹣6my﹣9=0,
    则,,
    所以=×|F1F2|×=12,
    设t=m2+1∈[1,3],则,
    设h(t)=9t+6,
    易知在[,+∞)上单调递增,则h(t)在[1,3]上单调递增,
    因为16≤h(t),
    所以.
    【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题,属于中档题.
    21.【分析】(1)由题意,对函数f(x)进行求导,根据导数的几何意义进行求解即可;
    (2)首先判断函数的单调性以及极值,根据函数的零点个数判断,再通过构造函数,根据函数的单调性以及零点,求解不等式的解集;(3)根据函数的单调性,将问题转化为证明,再构造函数,利用导数判断函数的单调性,即可证明.
    【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=2lnx﹣2x2﹣2x+1,
    可得,
    此时f′(1)=2﹣4﹣2=﹣4,
    又f(1)=﹣2﹣2+1=﹣3,
    所以函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y+3=﹣4(x﹣1),
    即y=﹣4x+1;
    (2)易知函数f(x)的定义域为(0,+∞),
    可得,
    当a≤﹣1时,f′(x)>0恒成立,f(x)单调递增,
    所以函数f(x)不可能有2个零点;
    当a>﹣1时,当时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
    当时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
    当x→0时,f(x)→﹣∞;当x→+∞时,f(x)→﹣∞,
    要使函数f(x)有2个零点,
    此时,
    即,
    整理得,
    不妨设,函数定义域为(﹣1,+∞),
    可得,
    所以函数g(x)在定义域上单调递增,
    又g(0)=0,
    则不等式的解集为(﹣1,0),
    故实数a的取值范围为(﹣1,0);
    (3)证明:由(2)知﹣1<a<0,
    此时,
    要证,
    即证,
    不妨设,
    因为,
    所以,
    又,且函数f(x)在上单调递增,
    此时需证,
    当,时,
    可得,
    因为f(x1)=f(x2),
    极值,
    不妨设,函数定义域为,
    可得h′(x)=
    =,
    所以函数h(x)在单调递增,
    此时,
    即,
    所以,
    又函数f(x)在上单调递增,
    所以,
    故.
    【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查了逻辑推理、分类讨论、转化思想和运算能力.
    22.【分析】(1)将x=ρcsθ,y=ρsinθ代入曲线E,化简可得答案;
    (2)不妨设,则△OPQ的面积,令t=sinθ+csθ,可得S=2﹣2t+t2﹣1,再利用配方计算可得答案.
    【解答】解:(1)将x=ρcsθ,y=ρsinθ代入曲线E,
    得ρ2=2(ρ﹣ρsinθ),即ρ=2(1﹣sinθ),
    所以,E的极坐标方程为ρ=2(1﹣sinθ);
    (2)不妨设,
    即,
    则△OPQ的面积
    =2﹣2(sinθ+csθ)+2sinθcsθ
    由于(sinθ+csθ)2=1+2sinθcsθ,
    令t=sinθ+csθ,则,2sinθcsθ=t2﹣1,
    则S=2﹣2t+t2﹣1=t2﹣2t+1=(t﹣1)2,
    故当时,,
    即△OPQ的面积的最大值为.
    【点评】本题考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化,属于中档题.生产能手
    非生产能手
    合计
    30岁以下
    30岁以上
    合计
    P(K2>k)
    0.15
    0.10
    0.05
    0.025
    0.010
    0.005
    0.001
    k
    2.072
    2.706
    3.841
    5.024
    6.635
    7.879
    10.828
    生产能手
    非生产能手
    合计
    30岁以下
    10
    30
    40
    30岁以上
    30
    30
    60
    合计
    40
    60
    100

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