2023-2024学年江苏省无锡市锡山区高三（上）段考数学试卷（9月份）

这是一份2023-2024学年江苏省无锡市锡山区高三（上）段考数学试卷（9月份），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，，则M∪N＝（ ）
A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[﹣2，1]D．[﹣1，2]
2．（5分）复数，则＝（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）cs72°sin54°sin30°＝（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）两个单位向量与满足，则向量与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
5．（5分）如图，AB是单位圆O的直径，点C，D是半圆弧上的两个三等分点，则＝（ ）
A．1B．C．D．
6．（5分）要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
7．（5分）在等差数列{an}中，若a2+a4+a6+a8+a10＝80，则的值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
8．（5分）若对任意的x1，x2∈（m，+∞），且x1＜x2，，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．[e2，+∞）D．[e3，+∞）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知等比数列{an}的各项均为正数，且3a1，，2a2成等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．a1＞0B．q＞0
C．或﹣1D．
（多选）10．（5分）下列结论正确的是（ ）
A．在△ABC中，若，则△ABC是钝角三角形
B．若a∈R，则
C．∀x∈R，x2﹣2x+1＞0
D．若P，A，B三点满足，则P，A，B三点共线
（多选）11．（5分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论正确的是（ ）
A．{an+Sn}是等差数列B．{an•Sn}是等比数列
C．{}是等差数列D．是等比数列
（多选）12．（5分）若f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，且对任意，都有f（x1+x2）＝f（x1）f（x2），则下列说法正确的是（ ）
A．f（1）一定为正数
B．2是f（x）的一个周期
C．若f（1）＝1，则
D．若f（x）在上单调递增，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（4，﹣7），若∥，⊥（+），则||＝ ．
14．（5分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且a3+a7＝﹣8，S5＝10，则S10＝ ．
15．（5分）已知函数f（x）＝acsx，g（x）＝x2+bx+2，若曲线y＝f（x）与y＝g（x）在公共点（0，m）处有公切线，则a+b＝ ．
16．（5分）如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别为直角三角形ABC的斜边AB、直角边BC、AC，N为AC的中点，点D在以AC为直径的半圆上．已知以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为3，sin∠DAB＝，则cs∠DNC＝ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数f（x）＝（sinωx+csωx）csωx﹣a（ω＞0）的最小正周期为4π，最大值为1．
（1）求ω，a的值，并求f（x）的单调递增区间；
（2）将f（x）图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再将得到的图象上所有点向右平移单位，得到g（x）的图象．若x∈（0，π），求满足g（x）≥的x的取值范围．
18．（12分）已知数列{an}为等差数列，且a1＝1，a5＝5；设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn＝2﹣Sn．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）若cn＝an•bn（n＝1，2，3，…），Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn．
19．（12分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y＝﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．
（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acsB＝2c﹣b．
（1）求角A；
（2）若a＝7，且△ABC的内切圆半径，求△ABC的面积S．
21．（12分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），﹣2S2，S3，4S4成等差数列，且a2+2a3+a4＝．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝﹣（n+2）lg2|an|，求数列的前n项和Tn．
22．（12分）已知函数f（x）＝﹣+bx+ab．
（1）若f（x）是奇函数，且有三个零点，求b的取值范围；
（2）若f（x）在x＝1处有极大值﹣，求当x∈[﹣1，2]时f（x）的值域．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】求出集合M、N，利用并集的定义可求得集合M∪N．
【解答】解：由M＝{x|x2﹣x﹣2≤0}＝[﹣1，2]，，
故M∪N＝[﹣2，2]．
故选：A．
【点评】本题考查了并集运算，熟练掌握并集的定义是解题的关键．
2．【分析】利用复数除法求出复数z，再利用共轭复数与复数加减法的意义求解作答．
【解答】解：依题意，，于是，
所以．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
3．【分析】利用二倍角的正弦公式即可得到答案．
【解答】解：
＝．
故选：D．
【点评】本题考查了二倍角公式，属基础题．
4．【分析】由题意可得，，根据可得，设与的夹角为θ，利用即可求解．
【解答】解：由题意可得，，且，
所以．
设与的夹角为θ，0°≤θ≤180°，
则，
所以θ＝150°．
故选：D．
【点评】本题考查了向量的夹角公式，属于基础题．
5．【分析】直接利用平面向量的数量积和圆周角与圆心角的关系的应用求出结果
【解答】解：设AB＝2，
则利用圆周角和圆心角的关系，
则，AC＝1，AD＝，
所以．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积，圆周角和圆心角的关系，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
6．【分析】，根据三角函数图象的平移变换即可求解．
【解答】解：因为，
所以将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基础题．
7．【分析】由等差数列通项公式求出a6＝16．再由a7﹣a8＝a1+6d﹣（a1+7d）＝（a1+5d）＝a6，由此能求出结果．
【解答】解：∵在等差数列{an}中，a2+a4+a6+a8+a10＝80，
∴a2+a4+a6+a8+a10＝5a6＝80，
解得a6＝16．
设等差数列{an}首项为a1，公差为d，
则a7﹣a8＝a1+6d﹣（a1+7d）＝（a1+5d）＝a6＝8．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的两项的代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
8．【分析】由题意，对不等式两边同时除以x1x2，整理得，构造函数，对函数f（x）进行求导，利用导数得到函数f（x）的单调性，进而即可求解．
【解答】解：易知m＞0，
因为，且0＜x1＜x2，
所以x1lnx2﹣x2lnx1＜2x1﹣2x2，
两边同时除以x1x2得，
即，
不妨设，函数定义域为（0，+∞），
因为当m＜x1＜x2时，f（x2）＜f（x1），
所以f（x）在（m，+∞）单调递减，
又，
当0＜x＜e3时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞e3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以m≥e3，
则m的取值范围为[e3，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理和运算能力．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．【分析】由已知结合等差数列的性质求得公比，进一步分析各选项得答案．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，q＞0，且an＞0．
由3a1，，2a2成等差数列，
得a3＝2a2+3a1，即，
∴q2﹣2q﹣3＝0，又q＞0，解得q＝3，
∴，．
结合选项可知，ABD正确，C错误．
故选：ABD．
【点评】本题考查等比数列的通项公式及等差数列的中项性质，考查计算能力，是基础题．
10．【分析】由数量积的定义可判断A；由a＜0，可判断B；∀x∈R，x2﹣2x+1＞0 可判断C；利用向量共线定理可判断D．
【解答】解：在△ABC中，若，则A为钝角，所以△ABC是钝角三角形，故A正确；
若a＜0，则，故B错误；
当x＝1时，x2﹣2x+1＝0，故C错误；
当时，则有，即，
所以P，A，B三点共线，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查向量数量积的性质和向量共线定理，考查不等式成立的条件，属基础题．
11．【分析】根据等差数列，等比数列的通项公式，对比性质可判断各个选项．
【解答】解：由{Sn}是等差数列，可得2S2＝S1+S3，即2（a1+a2）＝a1+a1+a2+a3，
∴a2＝a3，∵{an} 是各项均为正数的等比数列，
∴a2＝a2q，可得q＝1，∴an＝a1＞0，
an+Sn＝（n+1）a1，∴数列{an+Sn}是等差数列，因此A正确；
＝，∴{}是常数列，为等差数列，因此C正确；
∵，∴是等比数列，因此D正确；
∵anSn＝，∴{an⋅Sn}不是等比数列，因此B不正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查等差数列，等比数列的性质，属于基础题．
12．【分析】利用函数满足的条件，求解函数的周期性和单调性，对选项进行判断．
【解答】解：因为函数f（x）＝0符合条件，故A错误；
因为偶函数f（x）的图像关于直线x＝1对称，所以f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），故B正确；
因为对任意x1，，都有f（x1+x2）＝f（x1）f（x2），所以对任意x∈[0，1]，取得；
若f（1）＝1，即，故，
由2是f（x）的周期得，故C正确；
假设，由及f（x）≥0，x∈[0，1]，得，，
故，这与f（x）在上单调递增矛盾，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查函数的对称性和周期性，以及赋值法解决抽象函数问题，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．【分析】根据∥可设出向量c的坐标，再依据向量垂直求出c的坐标，进而求解|c|的值．
【解答】解：因为∥，
可设c＝（x，2x），由⊥（+）可得（1，2）•（4+x，﹣7+2x）＝0，
所以4+x+2（﹣7+2x）＝0，解得x＝2，
所以c＝（2，4），故|c|＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了向量的平行与垂直，向量的坐标表示，向量的模，考查了学生对基础知识的掌握情况，考查运算求解能力，属于基础题．
14．【分析】根据等差数列的通项公式以及前n项和公式求得结果．
【解答】解：由题意得，，
∴，
．
故答案为：﹣55．
【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式及通项公式的应用，属于基础题．
15．【分析】曲线f（x）与曲线g（x）在交点（0，m）处有公切线，则f（0）＝g（0）且f′（0）＝g′（x），由此列关于a，b的方程，解方程可得答案．
【解答】解：∵f（x）＝acsx，g（x）＝x2+bx+2，
∴f′（x）＝﹣a•sinx，g′（x）＝2x+b，
∵曲线f（x）＝acsx与曲线g（x）＝x2+bx+2在交点（0，m）处有公切线，
∴f（0）＝a＝g（0）＝2且f′（0）＝0＝g′（x）＝b，
即a＝2，b＝0，
∴a+b＝2
故答案为：2．
【点评】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中根据已知分析出f（0）＝g（0）且f′（0）＝g′（x）是解答的关键，是中档题．
16．【分析】根据以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为3，得到，设∠DAB＝α，根据条件可得∠DNC＝，再由sin∠DAB＝，求出cs∠DNC的值．
【解答】解：∵以直角边AC，BC为直径的两个半圆的面积之比为3，
∴，∴，
设∠DAB＝α，则，且，
由已知，得，整理得，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了与圆有关的比例线段，二倍角公式和两角和与差的余弦公式，考查了转化思想，属中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结论．
（2）由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得到g（x）的解析式，再利用正弦函数图象和性质，求得满足g（x）≥的x的取值范围．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝（sinωx+csωx）csωx﹣a＝sin2ωx+﹣a
＝sin（2ωx+）+﹣a （ω＞0）的最小正周期为＝4π，∴ω＝．
根据她的最大值为1+﹣a＝1，可得a＝，故f（x）＝sin（x+）．
令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z，
可得f（x）的增区间为[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z．
（2）将f（x）图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，可得y＝sin（x+） 的图象；
再将得到的图象上所有点向右平移单位，得到g（x）＝sin（x﹣+）＝sin（x﹣） 的图象．
g（x）≥，即sin（x﹣）≥，
可得2kπ+≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ+≤x≤2kπ+，
可得x的取值范围是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．
若x∈（0，π），则令k＝0，可得g（x）≥的x的取值范围[，]．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数图象和性质，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
18．【分析】（1）由已知等式可推出{bn}的首项和公比，从而可得到通项公式；
（2）写出数列{cn}的通项公式及前n项的和的公式，可用倍乘相减法求出数列{cn}前n项的和．
【解答】解：（1）由bn＝2﹣Sn，令n＝1，则b1＝2﹣S1，又S1＝b1，所以b1＝1，
当n≥2时，由bn＝2﹣Sn，可得bn﹣bn﹣1＝﹣（Sn﹣Sn﹣1）＝﹣bn，
即，
所以{bn}是以b1＝1为首项，为公比的等比数列，于是．
（2）数列{an}为等差数列，公差d＝1，可得an＝n，
从而，∴，，
∴，
＝．
从而．
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式及数列求和，掌握数列及等比数列的性质是解题的关键，属于中档题．
19．【分析】（1）利用总成本除以年产量表示出平均成本；利用基本不等式求出平均成本的最小值．
（2）利用收入减去总成本表示出年利润；通过配方求出二次函数的对称轴；由于开口向下，对称轴处取得最大值．
【解答】解：（1）设每吨的平均成本为W（万元/T），
则 （0＜x≤210），（4分）
当且仅当 ，x＝200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．（6分）
（2）设年利润为u（万元），则 ＝．（11分）
所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．（12分）
【点评】本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题、考查利用基本不等式求函数的最值需满足：一正、二定、三相等、考查求二次函数的最值关键看对称轴．
20．【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换求出csA，即可求A；
（2）利用余弦定理和三角形的面积公式求出bc，即可求面积．
【解答】解：（1）由正弦定理得：2sinAcsB＝2sinC﹣sinB，
即2sinAcsB＝2sin（A+B）﹣sinB，
即2sinAcsB＝2sinAcsB+2csAsinB﹣sinB，
即2csAsinB＝sinB．
因为B∈（0，π），所以sinB≠0，所以．
因为A∈（0，π），
所以．
（2）△ABC面积，
代入a＝7，和，整理得：bc＝2（b+c）+14①，
由余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccsA，得：b2+c2﹣bc＝49，
即（b+c）2﹣3bc＝49②，
①②联立可得：，解得：bc＝40或bc＝0（舍去），
所以．
【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，属于中档题．
21．【分析】（1）等比数列{an}的公比为q，q≠1，由等差数列中项性质和等比数列的求和公式，解方程可得公比，再由等比数列的通项公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；
（2）求得bn＝﹣（n+2）lg2|an|＝﹣（n+2）lg2＝n（n+2），得＝＝（﹣），由数列的裂项相消求和，可得所求和．
【解答】解：（1）等比数列{an}的公比为q，q≠1，
前n项和为成等差数列，
可得2S3＝4S4﹣2S2，即为2•＝4•﹣2•，
化为2q2﹣q﹣1＝0，解得q＝﹣，
，即为﹣a1+2•a1﹣a1＝，
解得a1＝﹣，
则an＝（﹣）n，n∈N*；
（2）bn＝﹣（n+2）lg2|an|＝﹣（n+2）lg2＝n（n+2），
可得＝＝（﹣），
即有前n项和Tn＝（1﹣+﹣+…+﹣+﹣）
＝（1+﹣﹣）＝﹣（+）＝．
【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式和等差数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
22．【分析】（1）根据函数的奇偶性求出a＝0，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点的个数，确定b的范围即可；
（2）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值，代入函数的解析式，求出函数的单调区间，求出函数的值域即可．
【解答】解：（1）若f（x）是奇函数，则a＝0，且f（0）＝0，
则f（x）＝﹣x3+bx，f′（x）＝﹣x2+b，
当b≤0时，f′（x）≤0，f（x）在R递减，f（x）在R上只有1个零点，不合题意；
b＞0时，令f′（x）＝﹣x2+b＞0，解得：﹣＜x＜，
故f（x）在（﹣∞，﹣）递减，在（﹣，）递增，在（，+∞）递减，
∵f（x）在R上有3个零点，∴f（）＞0，且f（﹣）＜0，
即f（）＝﹣+b＞0，即b＞0，而b＞0恒成立，
故b＞0，
故实数b的取值范围是（0，+∞）；
（2）f′（x）＝﹣x2+2ax+b，
由已知得f′（1）＝﹣1+2a+b＝0且f（1）＝﹣+a+b+ab＝﹣，
解得：或，
当a＝2，b＝﹣3时，f（x）＝﹣x3+2x2﹣3x﹣6，f′（x）＝﹣x2+4x﹣3，
令f′（x）≥0，解得：1≤x≤3，
故x＝1是f（x）的极小值点，不合题意，
当a＝﹣2，b＝5时，f（x）＝﹣x3﹣2x2+5x﹣10，f′（x）＝﹣x2﹣4x+5，
令f′（x）≥0，解得：﹣5≤x≤1，
故x＝1是f（x）的极大值点，符合题意，
故a＝﹣2，b＝5，
∵x∈[﹣1，2]，∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
又f（﹣1）＝﹣，f（1）＝﹣，f（2）＝﹣，
故f（x）在[﹣1，2]上的值域是[﹣，﹣]．
【点评】本题考查了函数的单调性，极值，最值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．