2023-2024学年上海市高三（上）月考数学试卷（10月份）

这是一份2023-2024学年上海市高三（上）月考数学试卷（10月份），共22页。试卷主要包含了填空题，选择题，简答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）设集合P＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，Q＝{（x，y）|y＝﹣x+7，x∈R}，则P∩Q＝ ．
2．（4分）若要用反证法证明“对于三个实数a，b，c，若a≠c，则a≠b或b≠c”，应假设 ．
3．（4分）空间向量＝（2，2，﹣1）的单位向量的坐标是 ．
4．（4分）已知点P（t≠0）是角α其终边上一点，若，则sinα＝ ．
5．（4分）已知a，b∈R且a≠0，则的最小值是 ．
6．（4分）已知的展开式中的第4项为常数项，若从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率为 ．
7．（5分）已知数列{an}的前n项和，n∈N*．若{an}是等差数列，则{an}的通项公式为 ．
8．（5分）已知函数，将y＝f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）的图象上最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，则φ的值为 ．
9．（5分）已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是 ．
10．（5分）直线ax+by+c＝0与半圆x2+y2＝1（y≥0）交于A，B两点，设OA，OB的倾斜角是α，β，则cs（α+β）＝ ．
11．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是数学史上第一位重视概念的人，并且有意识地“以概念代替直觉”，以其名命名的函数D（x）＝ 为狄利克雷函数，现定义一个与狄利克雷函数类似的函数L（x）＝，则关于狄利克雷函数和L函数有以下四个结论：
（1）D（1）＝L（1）；
（2）函数L（x）是偶函数；
（3）L函数图象上存在四个点A、B、C、D，使得四边形ABCD为菱形；
（4）L函数图象上存在三个点A、B、C，使得△ABC为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是 ．​
12．（5分）已知函数在R上恒取正值，则实数θ的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，4'*2+5'*2＝18'）
（多选）13．（4分）有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则（ ）
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数不等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
14．（4分）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级其中常数p0（p0＞0）是听觉下限阈值，p是实际声压，下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则（ ）
A．p1＜3p3B．p2＞10p3
C．p3＝1000p0D．p2≤p1≤100p2
15．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC中点，点P在线段A1C1上，若直线OP与平面A1BC1所成的角为θ，则sinθ的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
16．（5分）已知数列{an}满足，则（ ）
A．当a1＝3时，{an}为递减数列，且存在常数M≤0，使得an＞M恒成立
B．当a1＝5时，{an}为递增数列，且存在常数M≤6，使得an＜M恒成立
C．当a1＝7时，{an}为递减数列，且存在常数M＞6，使得an＞M恒成立
D．当a1＝9时，{an}为递增数列，且存在常数M＞0，使得an＜M恒成立
三、简答题（本大题共有5题，14“3+18'*2＝78'）
17．（14分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为2，M、N分别为A1B、AC的中点．
（1）证明：MN∥平面BCC1B1；
（2）求A1B与平面A1B1CD所成角的大小．
18．（14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足asinCcsB+bsinAcsC＝．
（1）求角A；
（2）若△ABC为锐角三角形，求4sin2B﹣4sinBsinC的取值范围．
19．（14分）已知数列{an}满足：a1＝2，．
（1）求证{an﹣4}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求使不等式成立的所有正整数m，n的值．
20．（18分）已知两定点，，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y＝kx﹣1与曲线E交于A，B两个不同的点．
（1）求曲线E的方程；
（2）求实数k的取值范围；
（3）如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和△ABC的面积S△ABC．
21．（18分）已知f（x）＝lnx+，g（x）＝f（x）﹣x．
（1）求函数y＝f（x）的单调区间；
（2）容易证明f（x）＞1对任意的x＞1都成立，若点M的坐标为（1，1），P、Q为函数y＝f（x）图像上横坐标均大于1的不同两点，试证明：∠PMQ＜30°；
（3）数列{an}满足a1∈（0，1），an+1＝f（an），证明：．
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共有12题，4'*6+5'*6＝54'）
1．【分析】联立直线方程，解出x，y，即可求解．
【解答】解：集合P＝{（x，y）|y＝x+1，x∈R}，Q＝{（x，y）|y＝﹣x+7，x∈R}，
联立，解得，
故P∩Q＝{（3，4）}．
故答案为：{（3，4）}．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．【分析】假设结论的反面成立，即可求解．
【解答】解：假设结论的反面成立，即a＝b且b＝c成立．
故答案为：a＝b且b＝c成立．
【点评】本题主要考查反证法的应用，属于基础题．
3．【分析】得出，从而得出的单位向量坐标为：，然后进行向量坐标的数乘运算即可．
【解答】解：，
∴的单位向量的坐标为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了单位向量的定义及求法，根据向量的坐标求向量的长度的方法，向量坐标的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
4．【分析】由任意角的三角函数的定义可求t2+3的值，即可求解sinα的值．
【解答】解：由题意|OP|＝，
由csα＝＝，解得t＝±，
所以sinα＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，考查三角函数的化简求值，属于基础题．
5．【分析】根据绝对值三角不等式，即可容易求得结果．
【解答】解：由绝对值三角不等式可得，当且仅当时，等号成立，
又因为当a＞0时，；当a＜0时，，
所以，当且仅当a＝±2时，等号成立，
所以≥4，当且仅当或﹣2时，等号成立，
即的最小值是4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用，考查了基本不等式的应用，属于基础题．
6．【分析】利用二项展开式的通项公式，根据第4项为常数项，求得n，可得展开式系数有4项为奇数，3项为偶数，从而求得从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率．
【解答】解：∵的展开式中的第4项为xn﹣6，为常数项，∴n＝6，
故展开式的系数为，r＝0，1，2，3，4，5，6，其中，有4项为奇数，3项为偶数，
故从展开式中任意抽取一项，则该项的系数是偶数的概率为 ，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，古典概率，属于基础题．
7．【分析】利用等差数列的定义以及Sn，an的关系即可得出结论．
【解答】解：已知，
当n＝1时，a1＝S1＝2a﹣1；
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2（a﹣2）n+（3﹣a），
此时，当n＝2时，a2＝4（a﹣2）+（3﹣a）＝3a﹣5，
当n≥2时，an+1﹣an＝2（a﹣2），
而a2﹣a1＝3a﹣5﹣（2a﹣1）＝a﹣4，
若数列{an}是等差数列，
则2（a﹣2）＝a﹣4，
所以a＝0，
则an＝﹣4n+3．
故答案为：an＝﹣4n+3．
【点评】本题考查了等差数列的性质，重点考查了数列通项公式的求法，属中档题．
8．【分析】由条件根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）＝2sin（2x+2φ+），设g（x）的对称轴x＝x0，由条件求得x0＝0，可得g（0）＝2，即2sin（2φ+）＝2，从而求得φ 的值．
【解答】解：把函数 的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y＝g（x）＝2sin[2（x+φ）+]＝2sin（2x+2φ+）的图象，
再根据y＝g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，
设g（x）的对称轴x＝x0，则最高点的坐标为（x0，2），它与点（0，3）的距离的最小值为1，即＝1，求得x0＝0，
可得g（0）＝2，即2sin（2φ+）＝2，∴φ＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，三角恒等变换，图象的平移变换，三角函数的单调性及相关的运算问题，属于中档题．
9．【分析】建系，设C（m，0），B（﹣m，0），A（0，n），可得D（，），进而由题意可得BD2＝（）2+（）2＝4，故三角形的面积S＝mn＝••≤•＝，注意等号成立的条件即可．
【解答】解：以等腰三角形底边BC的中点为原点，建立如图所示的坐标系，
设C（m，0），则B（﹣m，0），A（0，n），
由中点坐标公式可得D（，），
由题意可得BD2＝（）2+（）2＝4，
∴三角形的面积S＝mn＝••≤•＝
当且仅当＝即n＝3m时取等号，
∴三角形的面积的最大值为
故答案为：
【点评】本题考查基本不等式求最值，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．
10．【分析】由三角函数的定义得：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ＝x1x2﹣y1y2，联立，利用韦达定理即可求解．
【解答】解：如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），因为直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，
由三角函数的定义得：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ＝x1x2﹣y1y2，
联立可得（a2+b2）x2+2acx+c2﹣b2＝0，
，
b2y1y2＝（﹣ax1﹣c）（﹣ax2﹣c）＝a2x1x2+ac（x1+x2）+c2＝，
所以cs（α+β）＝x1x2﹣y1y2＝﹣＝．
故答案为：＝．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．
11．【分析】根据狄利克雷函数的定义，结合奇偶性即可判断（1）（2）；利用反证法证明（3）错误；直接取点说明（4）正确．
【解答】解：由题意得，D（1）＝L（1）＝1，故（1）正确；
由L（x）＝，得L（﹣1）＝﹣1，L（1）＝1，不满足L（﹣1）＝L（1），则函数L（x）不是偶函数，故（2）错误；
L函数图像上的点要么在直线y＝x上，要么在直线y＝0上，
若L函数图像上存在四个点A、B、C、D，使得四边形ABCD为菱形，
∵菱形的对角线互相垂直平分，则直线y＝x和y＝0不是对角线所在直线方程，
不妨设A（a，a），B（b，b），C（m，0），D（n，0），
则AC与BD互相垂直平分，可得，可得A与B，C与D重合，且方程组不成立，故（3）错误；
取L函数图象上三个点A（3，3），B（3﹣，0），C（3+，0），
则AB＝BC＝AC＝2，使得△ABC为等边三角形，故（4）正确．
故答案为：（1）（4）．
【点评】本题考查了狄利克雷函数及该函数的奇偶性，综合运算能力，是中档题．
12．【分析】由题意可得4x（csθ+1）+9x（sinθ+1）＞2×6x恒成立，即（）x（csθ+1）+（）x（sinθ+1）＞2恒成立，设t＝（）x，则有t（csθ+1）+（sinθ+1）≥2，进而得sinθcsθ+sinθ+csθ＞1，令μ＝sinθ+csθ＝sin（θ+），则有μ2+2μ﹣3＞0，从而得1＜μ≤，再结合三角函数的性质求解即可．
【解答】解：已知条件等价于不等式4x（csθ+1）+9x（sinθ+1）＞2×6x恒成立，
上式两边同除以6x，则有（）x（csθ+1）+（）x（sinθ+1）＞2，
设t＝（）x，则t∈（0，+∞），
下面求（）x（csθ+1）+（）x（sinθ+1）＝t（csθ+1）+（sinθ+1）的最小值，
由t（csθ+1）+（sinθ+1）≥2，
当且仅当t2＝时，上式等号成立，
于是t（csθ+1）+（sinθ+1）的最小值为2，
根据题意得2＞2，
即sinθcsθ+sinθ+csθ＞1．①
令μ＝sinθ+csθ＝sin（θ+），则μ∈[﹣，]，
因此式①化为μ2+2μ﹣3＞0，
解得μ＜﹣3或μ＞1，
结合μ的范围，得1＜μ≤．
则＜sin（θ+）≤1．
于是2kπ+＜θ+＜2kπ+（k∈Z）．
故θ的取值范围是（2kπ，2kπ+）（k∈Z）．
故答案为：（2kπ，2kπ+）（k∈Z）．
【点评】本题考查了基本不等式的应用、三角函数的性质及转化思想，属于中档题．
二、选择题（本大题共有4题，4'*2+5'*2＝18'）
13．【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可．
【解答】解：对于选项A，令样本数据x1，x2，⋯，x6为1，2，2，2，2，9，
则x2，x3，x4，x5的平均数为2，而x1，x2，⋯，x6的平均数为3，两者不相等，故A错误；
对于选项B，不妨令x1，x2，…，x6从小到大排列，
所以x2，x3，x4，x5的中位数等于的中位数等于，故B正确；
对选项于C，令样本数据x1，x2，⋯，x6为0，1，2，8，9，10，
可知x1，x2，⋯，x6的平均数是5，x2，x3，x4，x5的平均数是5，
所以x1，x2，⋯，x6的方差+（2﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2，
x2，x3，x4，x5的方差，
所以，∴s1＞s2，故C错误；
对于选项D，不妨令x1，x2，…，x6从小到大排列，则x6≥x5，x2≥x1，
∴x6﹣x1≥x5﹣x2，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了平均数，中位数，标准差，极差的概念，属于基础题．
14．【分析】A选项，根据公式得到，A错误；B选项，根据公式得到；
C选项，根据公式得到p3＝100p0；D选项，根据公式得到．
【解答】解：A选项，燃油汽车，解得，
混合动力汽车，解得，
电动汽车，解得，
因为60≤L1≤90，50≤L2≤60，L3＝40，
所以，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，，
故p2≤p1≤100p2，D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，属于中档题．
15．【分析】设＝λ，以B1为原点建立坐标系，则＝（1，1，1）是平面A1BC1的一个法向量．＝（﹣λ，λ﹣，1）的坐标，得出sinα＝|cs＜，＞|关于λ的函数，根据二次函数的性质得出sinθ的取值范围．
【解答】解：设正方体边长为1，＝λ（0≤λ≤1）．
以D为原点，分别以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系，
则O（，，0），P（1﹣λ，λ，1），∴＝（﹣λ，λ﹣，1），
∵易证DB1⊥平面A1BC1，
∴＝（1，1，1）是平面A1BC1的一个法向量．
∴sinθ＝|cs＜，＞|＝，
当λ＝时sinθ取得最大值，当λ＝0或1时，sinθ取得最小值．
故选：A．
【点评】本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．
16．【分析】利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误．
【解答】解：因为，故，
对于A，若a1＝3，可用数学归纳法证明：an﹣6≤﹣3，即an≤3，
证明：当n＝1时，a1﹣6＝﹣3≤﹣3，此时不等关系an≤3成立；
设当n＝k时，ak﹣6≤﹣3成立，
则，故ak+1﹣6≤﹣3成立，
由数学归纳法可得an≤3成立．
而，
，an﹣6＜0，故an+1﹣an＜0，故an+1＜an，
故{an}为减数列，注意ak+1﹣6≤﹣3＜0，
故，结合an+1﹣6＜0，
所以，故，故，
若存在常数M≤0，使得an＞M恒成立，则，
故，故，故an＞M恒成立仅对部分n成立，
故A不成立．
对于B，若a1＝5，可用数学归纳法证明：﹣1≤an﹣6＜0，即5≤an＜6，
证明：当n＝1时，﹣1≤a1﹣6＝﹣1≤0，此时不等关系5≤an＜6成立；
设当n＝k时，5≤ak＜6成立，
则，故﹣1≤ak+1﹣6＜0成立，
即由数学归纳法可得5≤ak+1＜6成立．
而，
，an﹣6＜0，故an+1﹣an＞0，故an+1＞an，故{an}为增数列，
若M＝6，则an＜6恒成立，故B正确．
对于C，当a1＝7时，可用数学归纳法证明：0＜an﹣6≤1，即6＜an≤7，
证明：当n＝1时，0＜a1﹣6≤1，此时不等关系成立；
设当n＝k时，6＜ak≤7成立，
则，故0＜ak+1﹣6≤1成立，即6＜ak+1≤7
由数学归纳法可得6＜an≤7成立．
而，故an+1＜an，故{an}为减数列，
又，结合an+1﹣6＞0可得：，所以，
若，若存在常数M＞6，使得an＞M恒成立，
则恒成立，故，n的个数有限，矛盾，故C错误．
对于D，当a1＝9时，可用数学归纳法证明：an﹣6≥3即an≥9，
证明：当n＝1时，a1﹣6＝3≥3，此时不等关系成立；
设当n＝k时，ak≥9成立，
则，故ak+1≥9成立
由数学归纳法可得an≥9成立．
而，故an+1＞an，故{an}为增数列，
又，结合an﹣6＞0可得：，所以，
若存在常数M＞0，使得an＜M恒成立，则，
故，故，这与n的个数有限矛盾，故D错误．
故选：B．
【点评】本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立，是中档题．
三、简答题（本大题共有5题，14“3+18'*2＝78'）
17．【分析】（1）以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，求出和平面BCC1B1的法向量，利用空间向量证明即可，
（2）求出平面A1B1CD的法向量，利用空间向量求解即可．
【解答】（1）证明：如图，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），B1（2，2，2），M（2，1，1），N（1，1，0），
所以，
因为DC⊥平面BCC1B1，所以平面BCC1B1的一个法向量为，
因为，所以，因为MN不在平面BCC1B1内，
所以MN∥平面BCC1B1．
（2），，，
设平面A1B1CD的一个法向量为
则，令z＝1，则x＝﹣1，y＝0，
所以，
设A1B与平面A1B1CD所成角为θ，
则，
因为0°≤θ＜180°，
所以A1B与平面A1B1CD所成角为30°．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，线面角的计算，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
18．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得sin2A＝sinA，由A∈（0，π），sinA≠0，可求sinA＝，进而可求得A的值；
（2）由题意可求得A＝，可求得＜B＜，利用三角函数恒等变换的应用可求4sin2B﹣4sinBsinC＝1﹣2sin（2B+），进而利用正弦函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）因为asinCcsB+bsinAcsC＝，
所以由正弦定理可得sinAsinCcsB+sinBsinAcsC＝sinA，
所以sinA（sinCcsB+sinBcsC）＝sinAsin（B+C）＝sin2A＝sinA，
因为A∈（0，π），sinA≠0，
所以sinA＝，可得A＝或；
（2）若△ABC为锐角三角形，由（1）可得A＝，
所以，可得＜B＜，
因为4sin2B﹣4sinBsinC
＝4sin2B﹣4sinBsin（﹣B）
＝4sin2B﹣4sinB（csB+sinB）
＝2sin2B﹣2sinBcsB
＝1﹣（cs2B+sin2B）
＝1﹣2sin（2B+），
又B∈（，），可得2B+∈（，），
所以sin（2B+）∈（﹣，1），
所以4sin2B﹣4sinBsinC＝1﹣2sin（2B+）∈（﹣1，2），
即4sin2B﹣4sinBsinC的取值范围是（﹣1，2）．
【点评】本题考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质，考查了函数思想和转化思想的应用，属于中档题．
19．【分析】（1）令bn＝an﹣4，利用等比数列的定义即可证数列{bn}是等比数列，利用等比数列的通项公式求得数列{bn}的通项公式，即可解得数列{an}的通项公式．
（2）利用（1）中求得的解得，代入不等式分析并分类讨论，根据不等式的解法即可解得正整数m，n的值．
【解答】解：（1）证明：由题意，令bn＝an﹣4，则b1＝a1﹣4＝﹣2，
由题意，，易知bn≠0，
∴，
∴数列{bn}是首项为﹣2，公比为的等比数列，
∴，
∴．
（2）解：由（1）知，则，
∴不等式即，
∵2n＜2n+1，∴，
∴，
∵当m≥4时，，，
∴，不满足要求；
∴m＜4，又m∈N*，n∈N*
∴当m＝1时，，即
可解得：，∴n＝1；
当m＝2时，，即，
可解得：1＜2n＜4，∴n＝1；
当m＝3时，，即，
可解得：2＜2n＜8，∴n＝2．
综上，使不等式成立的所有正整数m，n的值为或或．
【点评】本题考查了等比数列的定义，数列不等式，属于较难题．
20．【分析】（1）首先根据曲线的定义判断出曲线E是双曲线的左支，a和c已知，则可求得b，曲线E的方程可得；
（2）设出A，B的坐标，把直线方程与双曲线方程联立消去y，进而根据直线与双曲线左支交于两点A，B，联立不等式求得k的范围；
（3）根据弦长公式求得|AB|的表达式，根据结果为6求得k，则直线AB的方程可得，
设C（x0，y0），根据，可得；根据x1+x2和y1+y2的值求得C点的坐标，代入双曲线方程求得m的值，进而求得点C到直线AB的距离，最后利用三角形面积公式求得三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，
且，易知b＝1，
故曲线E的方程为x2﹣y2＝1（x＜0）．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意建立方程组，
消去y，得（1﹣k2）x2+2kx﹣2＝0
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，有，
解得．
所以k的取值范围是．
（3）∵
＝＝
＝，
依题意得，
整理后得28k4﹣55k2+25＝0，
∴或，
但，
∴，
故直线AB的方程为，
设C（x0，y0），由已知，
得（x1，y1）+（x2，y2）＝（mx0，my0），
∴，（m≠0）
又，
∴点C
将点C的坐标代入曲线E的方程，得，解得m＝±4，
但当m＝﹣4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，
∴m＝4，点C的坐标为，
C到AB的距离为，
∴△ABC的面积．
故△ABC的面积为．
【点评】此题考查了双曲线的方程，考查了直线与双曲线相交，考查了方程思想，属于难题．
21．【分析】（1）求导分析f′（x）的符号，f（x）的单调性，即可得出答案．
（2）设h（x）＝lnx+﹣[（x﹣1）+1]，x＞1，求导分析单调性可得h（x）＜h（1）＝0，即lnx+＜（x﹣1）+1在（1，+∞）上恒成立，又当x＞1时，f（x）的图象始终夹在直线y＝1和直线y＝（x﹣1）+1之间，即可得出答案．
（3）根据题意可得g（x）＝lnx+﹣x，求导分析单调性，可得当x＞1时，g（x）＜g（1）＝0，由f（x）的单调性，可得a2＝f（a1）＞1，a3＝f（a2）＞1，…，an+1＝f（an）＞1，推出an+1﹣an+2＞an+2﹣an+3＞0，则＞1，即可得出答案．
【解答】解：（1）因为f（x）＝lnx+，定义域为（0，+∞），
所以f′（x）＝﹣＝，
令f′（x）＝0得x＝1，
所以在（0，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
（2）证明：设h（x）＝lnx+﹣[（x﹣1）+1]，x＞1，
则h′（x）＝﹣﹣＝，
当x＞1时，函数y＝﹣x2+x﹣单调递减，
所以y＜﹣12+﹣＝﹣1＜0，
所以h′（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，
所以h（x）在（1．+∞）上单调递减，
所以h（x）＜h（1）＝0，
所以lnx+＜（x﹣1）+1在（1，+∞）上恒成立，
所以当x＞1时，f（x）的图象始终夹在直线y＝1和直线y＝（x﹣1）+1之间，
又f（x）的图象不会和直线y＝1和直线y＝（x﹣1）+1相交，
又因为直线y＝1和直线y＝（x﹣1）+1的夹角为30°，
所以∠PMQ＜30°恒成立，得证．
（3）证明：g（x）＝f（x）﹣x＝lnx+﹣x，
g′（x）＝﹣﹣1＝＝﹣＜0恒成立，
又g（1）＝0，
所以当x＞1时，g（x）＜g（1）＝0，
由（1）知函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
因为a1∈（0，1），
所以a2＝f（a1）＞1，a3＝f（a2）＞1，…，an+1＝f（an）＞1，
又因为g（x）＜g（1）＝0，
所以an+2﹣an+1＝f（an+1）﹣an+1＜0，
所以an+2＜an+1，
又因为g（x）在（1，+∞）上单调递减，
所以g（an+2）＜g（an+1），
即+lnan+2﹣an+2＞+lnan+1﹣an+1，
即0＞an+3﹣an+2＞an+2﹣an+1，
所以an+1﹣an+2＞an+2﹣an+3＞0，
所以＞1，
所以g（）＜0．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题声源
与声源的距离/m
声压级/dB
燃油汽车
10
60﹣90
混合动力汽车
10
50﹣60
电动汽车
10
40